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1、 ［機(jī)器學(xué)習(xí)］信息熵、信息增益的概念 信息熵 信息熵表示隨機(jī)變量的不確定性。 不確定性越大（即所謂的信息量越大），信息熵越大。 信息可不可以量化？ 首先從直覺上來講，是可以的。不然我們?cè)趺从X得有的人廢話特別多，卻沒什么信息量；而有的人一語中的，一句話就傳達(dá)了很大的信息量。 為什么有的信息大，有的信息??？ 有些事情本來不是很確定：例如明天股票是漲是跌； 1）“明天NBA決賽開始了“，和“股票跌漲“沒關(guān)系，所以“明天NBA決賽開始了“對(duì)“股票跌漲“帶來的信息量很小。 2）但是“明天NBA決賽開始了“，“大家都不關(guān)注股票了，沒人坐莊有99%的股都會(huì)下跌“，這句話對(duì)“對(duì)票跌漲“帶來

2、的信息量很大。因?yàn)樗贡緛聿淮_定的事情變得十分確定 而有些事情本來就很確定：例如每天太陽從東方升起；你再告訴我一百遍，這句話還是沒有信息量的。 因?yàn)檫@件事情不能更確定了 所以說信息量的大小跟事情的不確定性有關(guān)。 那么，不確定性的變化跟什么有關(guān)呢？ 1. 跟事情的可能結(jié)果的數(shù)量有關(guān) 例如我們討論太陽從哪升起。本來就只有一個(gè)結(jié)果，我們?cè)缇椭?，那么無論誰傳遞任何信息都是沒有信息量的。 當(dāng)可能結(jié)果數(shù)量比較大時(shí)，我們得到的新信息才有潛力擁有大信息量。 2. 跟概率有關(guān)。 單看可能結(jié)果數(shù)量不夠，還要看初始的概率分布。例如一開始我就知道小明在電影院的有15*15個(gè)座位的A廳看電影。小明可

3、以坐的位置有225個(gè)，可能結(jié)果數(shù)量算多了?？墒羌偃缥覀円婚_始就知道小明坐在第一排的最左邊的可能是99%，坐其它位置的可能性微乎其微，那么在大多數(shù)情況下，你再告訴我小明的什么信息也沒有多大用，因?yàn)槲覀儙缀醮_定小明坐第一排的最左邊了。 那么，怎么衡量不確定性的變化的大小呢？怎么定義呢？這個(gè)問題不好回答，但是假設(shè)我們已經(jīng)知道這個(gè)量已經(jīng)存在了，不妨就叫做信息量 那么你覺得信息量起碼該滿足些什么特點(diǎn)呢？ 一，起碼不是個(gè)負(fù)數(shù)吧 不然說句話還偷走信息呢? 二，起碼0信息量口和0信息量口之間可以口相加叩巴！ 假如你告訴我的第一句話的信息量是3，在第一句話的基礎(chǔ)上又告訴我一句話，額外信息量是4，那么

4、兩句話信息量加起來應(yīng)該等于7吧！難道還能是5是9？ 三，信息量是連續(xù)依賴于概率 剛剛已經(jīng)提過，信息量跟概率有關(guān)系，但我們應(yīng)該會(huì)覺得，信息量是連續(xù)依賴于概率的吧！ 就是說，某一個(gè)概率變化了0.0000001，那么這個(gè)信息量不應(yīng)該變化很大。 四，新信息有更大的潛力具有更大的信息量 剛剛也提過，信息量大小跟可能結(jié)果數(shù)量有關(guān)。假如每一個(gè)可能的結(jié)果出現(xiàn)的概率一樣，那么對(duì)于可能結(jié)果數(shù)量多的那個(gè)事件，新信息有更大的潛力具有更大的信息量，因?yàn)槌跏紶顟B(tài)下不確定性更大。 那有什么函數(shù)能滿足上面四個(gè)條件呢？ 負(fù)的對(duì)數(shù)函數(shù)，也就是-log(x)! 底數(shù)取大于1的數(shù)保證這個(gè)函數(shù)是非負(fù)的就行。前面再隨便乘

5、個(gè)正常數(shù)也行。 a. 為什么不是正的？因?yàn)榧偃缡钦?，由于x是小于等于1的數(shù)，log(x)就小于等于0了。第一個(gè)特點(diǎn)滿足。 b. 咱們?cè)賮眚?yàn)證一下其他特點(diǎn)。三是最容易的。假如x是一個(gè)概率，那么log(x)是連續(xù)依賴于x的°done c。四呢？假如有n個(gè)可能結(jié)果，那么出現(xiàn)任意一個(gè)的概率是1/n,而-log(1/n)是n的增函數(shù)，沒問題。 d。最后驗(yàn)證二。由于-log(xy)=-log(x)-log(y),所以也是對(duì)的。學(xué)數(shù)學(xué)的同學(xué)注意，這里的y可以是給定x的條件概率，當(dāng)然也可以獨(dú)立于X。 Bytheway,這個(gè)函數(shù)是唯一的(除了還可以多乘上任意一個(gè)常數(shù))，有時(shí)間可以自己證明一下，或者查

6、書。 ok,所以我們知道一個(gè)事件的信息量就是這個(gè)事件發(fā)生的概率的負(fù)對(duì)數(shù)。 最后終于能回到信息熵。信息熵是跟所有可能性有關(guān)系的。每個(gè)可能事件的發(fā)生都有個(gè)概率。信息熵就是平均而言發(fā)生一個(gè)事件我們得到的信息量大小。所以數(shù)學(xué)上,信息熵其實(shí)是信息量的期望。(表達(dá)式參考其它答案或者看下面) 至于為什么用“熵”這個(gè)怪字？大概是當(dāng)時(shí)翻譯的人覺得這個(gè)量跟熱力學(xué)的熵有關(guān)系，所以就用了這個(gè)字，君不見字里頭的火字旁？ 而熱力學(xué)為什么用這個(gè)字？這個(gè)真心不知道。。。 信息增益 熵：表示隨機(jī)變量的不確定性。 條件熵：在一個(gè)條件下,隨機(jī)變量的不確定性。 信息增益：熵-條件熵 在一個(gè)條件下,信息不確定性減少的

7、程度! 通俗地講，X(明天下雨)是一個(gè)隨機(jī)變量，X的熵可以算出來，Y(明天陰天)也是隨機(jī)變量，在陰天情況下下雨的信息熵我們?nèi)绻仓赖脑?此處需要知道其聯(lián)合概率分布或是通過數(shù)據(jù)估計(jì))即是條件熵。 兩者相減就是信息增益!原來明天下雨例如信息熵是2,條件熵是0.01(因?yàn)槿绻顷幪炀拖掠甑母怕屎艽?信息就少了),這樣相減后為 1.99,在獲得陰天這個(gè)信息后,下雨信息不確定性減少了1.99!是很多的!所以信息增益大!也就是說,陰天這個(gè)信息對(duì)下雨來說是很重要的! 所以在特征選擇的時(shí)候常常用信息增益，如果IG(信息增益大)的話那么這個(gè)特征對(duì)于分類來說很關(guān)鍵??決策樹就是這樣來找特征的！ 參考 感謝知乎的朋友［滴水］、［KayZhou］