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1、2017年中考數(shù)學(xué)專題練習(xí)《特殊四邊形》 一．選擇題 1.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE. AC，BE相交于點F，則∠BFC為( ) A．45° B．55° C．60° D．75° 2．下列關(guān)于矩形的說法中正確的是（　?。? A．對角線相等的四邊形是矩形 B．矩形的對角線相等且互相平分 C．對角線互相平分的四邊形是矩形 D．矩形的對角線互相垂直且平分 3.下列命題中，真命題是( ) A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對角

2、線互相垂直平分的四邊形是正方形 4．如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平；再一次折疊，使點D落到EF上點G處，并使折痕經(jīng)過點A，展平紙片后∠DAG的大小為（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．（2016·四川瀘州）如圖，矩形ABCD的邊長AD=3，AB=2，E為AB的中點，F(xiàn)在邊BC上，且BF=2FC，AF分別與DE、DB相交于點M，N，則MN的長為（　?。? A． B． C． D． 6．如圖，在矩形ABCD中（AD＞AB），點E是BC上一點，且DE=DA，AF⊥DE，垂足為點F，在下列結(jié)論中，不一定正確的是（　?。?/p>

3、 A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 二．填空題 7. （2016·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=　 　度． 8. 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點P是這個菱形內(nèi)部或邊上的一點，若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點不重合）兩點間的最短距離為　 ?。? 9. 如圖，在菱形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標(biāo)為（8，2），點D的坐標(biāo)為（0，2），則點C的坐標(biāo)為

4、 ． 10. 如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點D的對應(yīng)點D'落在∠ABC的角平分線上時，DE的長為 . 11. 如圖，正方形ABCD的邊長為a，在AB、BC、CD、DA邊上分別取點A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在邊A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分別取點A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次規(guī)律繼續(xù)下去，則正方形AnBnCnDn的面積為 ． 三．解答題 12.已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，

5、AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P． （1）求證：AP=BQ； （2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長． 13．已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F(xiàn)，且∠EAF=60°． （1）如圖1，當(dāng)點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系； （2）如圖2，當(dāng)點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF； （3）如圖3，當(dāng)點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離． 14．如圖，

6、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E． （1）求證：MD=ME； （2）填空： ①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時，DE=　?。? ②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為　　時，四邊形ODME是菱形． 15．（2016·陜西）問題提出 （1）如圖①，已知△ABC，請畫出△ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形． 問題探究 （2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最?。咳舸嬖?，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由． 問題解決 （3

7、）如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，經(jīng)研究，只有當(dāng)點E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由． 7. 22.5°8. 2﹣2 9. （4，4）10. 或.11. 12. 解：（1）∵正方形ABCD ∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠

8、DAP=90° ∵DP⊥AQ ∴∠ADP+∠DAP=90° ∴∠BAQ=∠ADP ∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P ∴∠AQB=∠DPA=90° ∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ （2）①AQ﹣AP=PQ ②AQ﹣BQ=PQ ③DP﹣AP=PQ ④DP﹣BQ=PQ 13. （1）解：結(jié)論AE=EF=AF． 理由：如圖1中，連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，△ADC是等邊三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC

9、， ∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等）， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF=AF． （2）證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF． （3）解：過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H， ∵∠EAB=15°，∠ABC=60°， ∴∠AEB=45°， 在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4， ∴BG=2，AG=2， 在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°， ∴AG=GE

10、=2， 14. （1）證明：∵∠ABC=90°，AM=MC， ∴BM=AM=MC， ∴∠A=∠ABM， ∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ADE+∠ABE=180°， 又∠ADE+∠MDE=180°， ∴∠MDE=∠MBA， 同理證明：∠MED=∠A， ∴∠MDE=∠MED， ∴MD=ME． （2）①由（1）可知，∠A=∠MDE， ∴DE∥AB， ∴=， ∵AD=2DM， ∴DM：MA=1：3， ∴DE=AB=×6=2． 故答案為2． ②當(dāng)∠A=60°時，四邊形ODME是菱形． 理由：連接OD、OE， ∵OA=OD，∠A=60°， ∴△AOD是等邊

11、三角形， ∴∠AOD=60°， ∵DE∥AB， ∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°， ∴△ODE，△DEM都是等邊三角形， ∴OD=OE=EM=DM， ∴四邊形OEMD是菱形． 故答案為60°． 15. 解：（1）如圖1，△ADC即為所求； （2）存在，理由：作E關(guān)于CD的對稱點E′， 作F關(guān)于BC的對稱點F′， 連接E′F′，交BC于G，交CD于H，連接FG，EH， 則F′G=FG，E′H=EH，則此時四邊形EFGH的周長最小， 由題意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°， ∴AF′=6，AE′=8， ∴E′F′

12、=10，EF=2， ∴四邊形EFGH的周長的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10， ∴在邊BC、CD上分別存在點G、H， 使得四邊形EFGH的周長最小， 最小值為2+10； （3）能裁得， 理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°， ∴∠1=∠2， 在△AEF與△BGF中，， ∴△AEF≌△BGF， ∴AF=BG，AE=BF，設(shè)AF=x，則AE=BF=3﹣x， ∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合題意，舍去）， ∴AF=BG=1，BF=AE=2， ∴DE=4，CG=5， 連接EG， 作△EFG關(guān)于EG的對稱△EOG， 則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°， 以O(shè)為圓心，以EG為半徑作⊙O， 則∠EHG=45°的點在⊙O上， 連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上， 連接EH′GH′，則∠EH′G=45°， 此時，四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的， ∴C在線段EG的垂直平分線設(shè)， ∴點F，O，H′，C在一條直線上， ∵EG=，