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1、第二章 習題2-1 1. 試利用本節(jié)定義5后面的注（3）證明：若xn=a,則對任何自然數(shù)k，有xn+k=a. 證：由，知，，當時，有 取，有，，設(shè)時（此時）有 由數(shù)列極限的定義得 . 2. 試利用不等式說明：若xn=a,則∣xn∣=|a|.考察數(shù)列xn=(-1)n，說明上述結(jié)論反之不成立. 證： 而 于是， 即 由數(shù)列極限的定義得 考察數(shù)列 ，知不存在，而，， 所以前面所證結(jié)論反之不成立。 3. 利用夾逼定理證明： (1) =0；

2、 (2) =0. 證：（1）因為 而且 ，， 所以由夾逼定理，得 . （2）因為，而且， 所以，由夾逼定理得 4. 利用單調(diào)有界數(shù)列收斂準則證明下列數(shù)列的極限存在. (1) xn=，n=1,2,…； (2) x1=,xn+1＝,n=1,2,…. 證：（1）略。 （2）因為，不妨設(shè)，則 故有對于任意正整數(shù)n，有，即數(shù)列有上界， 又 ，而,， 所以 即 ， 即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。 綜上所述，數(shù)列是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故其極限存在。 習題2-2 1※. 證明：f(x)=

3、a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a. 證：先證充分性：即證若，則. 由及知： ,當時，有， 當時，有。 取，則當或時，有， 而或就是， 于是，當時，有， 所以 . 再證必要性：即若，則, 由知，，當時，有， 由就是 或，于是，當或時，有. 所以 綜上所述，f(x)=a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a. 2. (1) 利用極限的幾何意義確定 (x2+a),和； (2) 設(shè)f(x)= ，問常數(shù)a為何值時，f(x)存在. 解：

4、（1）因為x無限接近于0時，的值無限接近于a，故. 當x從小于0的方向無限接近于0時，的值無限接近于0，故. （2）若存在，則， 由（1）知 ， 所以，當時，存在。 3. 利用極限的幾何意義說明sinx不存在. 解：因為當時，的值在-1與1之間來回振擺動，即不無限接近某一定直線，亦即不以直線為漸近線，所以不存在。 習題2-3 1. 舉例說明：在某極限過程中，兩個無窮小量之商、兩個無窮大量之商、無窮小量與無窮大量之積都不一定是無窮小量，也不一定是無窮大量. 解：例1：當時，都是無窮小量，但由（當時，）不是無窮大量

5、，也不是無窮小量。 例2：當時，與都是無窮大量，但不是無窮大量，也不是無窮小量。 例3：當時，是無窮小量，而是無窮大量，但不是無窮大量，也不是無窮小量。 2. 判斷下列命題是否正確： (1) 無窮小量與無窮小量的商一定是無窮小量； (2) 有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量； (3) 有界函數(shù)與無窮大量之積為無窮大量； (4) 有限個無窮小量之和為無窮小量； (5) 有限個無窮大量之和為無窮大量； (6) y=xsinx在(-∞，+∞)內(nèi)無界，但xsinx≠∞； (7) 無窮大量的倒數(shù)都是無窮小量； (8) 無窮小量的倒數(shù)都是無窮大量. 解：（1）錯誤，如

6、第1題例1； （2）正確，見教材§2.3定理3； （3）錯誤，例當時，為無窮大量，是有界函數(shù)，不是無窮大量； （4）正確，見教材§2.3定理2； （5）錯誤，例如當時，與都是無窮大量，但它們之和不是無窮大量； （6）正確，因為，正整數(shù)k，使，從而，即在內(nèi)無界，又，無論多么大，總存在正整數(shù)k，使，使，即時，不無限增大，即； （7）正確，見教材§2.3定理5； （8）錯誤，只有非零的無窮小量的倒數(shù)才是無窮大量。零是無窮小量，但其倒數(shù)無意義。 3. 指出下列函數(shù)哪些是該極限過程中的無窮小量，哪些是該極限過程中的無窮大量. (1) f(x)= ,x→2;

7、 (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞； (3) f(x)= ,x→0+，x→0-； (4) f(x)= -arctanx,x→+∞; (5) f(x)= sinx,x→∞; (6) f(x)= ，x→∞. 解：（1），即時，是無窮小量，所以是無窮小量，因而也是無窮大量。 （2）從的圖像可以看出，，所以，當時，時，是無窮大量； 當時，是無窮小量。 （3）從的圖可以看出，， 所以，當時，是無窮大量； 當時，是無窮小量。 （4）， 當時，是無

8、窮小量。 （5）當時，是無窮小量，是有界函數(shù)， 是無窮小量。 （6）當時，是無窮小量，是有界變量， 是無窮小量。 習題2-4 1.若f(x)存在，g(x)不存在，問［f(x)±g(x)］, ［f(x)·g(x)］是否存在，為什么? 解：若f(x)存在，g(x)不存在，則 （1）［f(x)±g(x)］不存在。因為若［f(x)±g(x)］存在，則由或以及極限的運算法則可得g(x)，與題設(shè)矛盾。 （2）［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，則，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。 又如：，，則，不存在，而 ［f(x)·g(x)］不存在

9、。 2. 若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，證明f(x)≥g(x). 證：設(shè)f(x)=A，g(x)=B，則，分別存在，，使得當時，有，當時，有 令，則當時，有 從而，由的任意性推出即 . 3. 利用夾逼定理證明：若a1,a2，…，am為m個正常數(shù)，則 =A, 其中A=max{a1,a2,…，am}. 證：因為，即 而，，由夾逼定理得 . 4※. 利用單調(diào)有界數(shù)列必存在極限這一收斂準則證明：若x1＝,x2=,…，xn+1=（n=1,2,…），則xn存在，并求該極限. 證：因為有 今設(shè)，則，由數(shù)學(xué)歸納法知，對于任意正整數(shù)n有，即數(shù)列單調(diào)遞增。

10、又因為，今設(shè)，則，由數(shù)學(xué)歸納法知，對于任意的正整數(shù) n有，即數(shù)列有上界，由極限收斂準則知存在。 設(shè)，對等式兩邊取極限得，即，解得，（由極限的保號性，舍去），所以. 5. 求下列極限： (1) ； (2) ； (3) ; (4) ； (5) . 解：（1）原式=； （2）因為，即當時，是無窮小量，而是有界變量，由無窮小量與有界變量的乘積是無窮小量得：； （3） 而， ； （4）； （5）. 6. 求下列極限： (1) ； (2) ； (3) ;

11、 (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ； (9) ； (10) ； (11) . 解： （2） （3）； （4）； （5） ； （6） ； （7） ； （8）（無窮小量與有界函數(shù)之積為無窮小量） ； （9） ； （10） （11）當時，是無窮小量，是有界函數(shù)， 它們之積是無窮小量，即。 習題2-5 求下列極限(其中a＞0,a≠1為常數(shù)）： 1. ; 2. ;

12、3. xcotx; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12.; 13. ; 14. ; 15.; 16. . 解：1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 8.令，則，當時，， . 9. （利用了第8題結(jié)論）； 10. ； 11. ； 12. ； 13.令，則，當，， ； 14.令，則，當，，

13、 . 習題2-6 1. 證明： 若當x→x0時，(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，則當x→x０時，(x)～β(x)的充要條件是＝０. 證：先證充分性. 若＝０，則＝0, 即，即. 也即，所以當時，. 再證必要性： 若當時，，則， 所以＝＝. 綜上所述，當x→x0時，(x)～β(x)的充要條件是 ＝０. 2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，證明(x)=0. 證： 即 . 3. 證明： 若當x→0時，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，則f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由

14、此判斷當x→0時，tanx－sinx是x的幾階無窮小量. 證: ∵當x→0時, f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb) ∴ 于是: ∴當x→0時, , ∵ 而當x→0時, , 由前面所證的結(jié)論知, , 所以,當x→0時,是x的3階無窮小量. 4. 利用等價無窮小量求下列極限： (1) (b≠0)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) (a≠b)； (7) ； (8) 設(shè)＝100,求f(x). 解

15、 (8)由,及知必有, 即 , 所以 . 習題2-7 １.研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形： (1) f(x)= (2) f(x)＝ 解: (1) ∴ f(x)在x=0處右連續(xù), 又 ∴ f(x)在x=1處連續(xù). 又 ∴ f(x)在x=2處連續(xù). 又f(x)在(0,1),(1,2)顯然連續(xù),綜上所述, f(x)在[0,2]上連續(xù).圖形如下: 圖2-1 (2) ∴ f(x)在x=1處連續(xù). 又 故 ∴

16、 f(x)在x=-1處間斷, x=-1是跳躍間斷點. 又f(x)在顯然連續(xù). 綜上所述函數(shù)f(x)在x=-1處間斷,在上連續(xù).圖形如下: 圖2-2 2. 說明函數(shù)f(x)在點x0處有定義、有極限、連續(xù)這三個概念有什么不同?又有什么聯(lián)系? 略. 3.函數(shù)在其第二類間斷點處的左、右極限是否一定均不存在?試舉例說明. 解:函數(shù)在其第二類間斷點處的左、右極限不一定均不存在. 例如是其的一個第二類間斷點,但即在處左極限存在,而,即在處右極限不存在. 4.求下列函數(shù)的間斷點，并說明間斷點的類型： (1) f(x)= ； (2) f(x)＝； (3

17、) f(x)= ； (4) f(x)= ； (5) f(x)= . 解: (1)由得x=-1, x=-2 ∴ x=-1是可去間斷點,x=-2是無窮間斷點. (2)由sinx=0得,k為整數(shù). ∴ x=0是跳躍間斷點. (4)由x2-4=0得x=2,x=-2. ∴ x=2是無窮間斷點,x=-2是可去間斷點. (5) 在x=0無定義 故x=0是f(x)的可去間斷點. 5.適當選擇a值，使函數(shù)f(x)= 在點x=0處連續(xù). 解: ∵f(0)=a, 要f(x)在x=0處連續(xù),必須. 即a=1. 6※.設(shè)f(x)

18、= ，討論f(x)的連續(xù)性. 解: 所以, f(x)在上連續(xù),x=0為跳躍間斷點. 7. 求下列極限： (1) ； (2) ； (3) ln(x-1); (4) arcsin； (5) (lnx)x. 解: 習題2-8 1. 證明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一個介于1和2之間的根. 證: 令,則在[1,2]上連續(xù), 且 , 由零點存在定理知至少存在一點使得. 即 , 即方程至少有一個介于1和2之間的根.

19、 2. 證明方程ln（１＋ex）-2x=0至少有一個小于1的正根. 證: 令,則在上連續(xù),因而在[0,1]上連續(xù), 且 由零點存在定理知至少存在一點使得. 即方程至少有一個小于1的正根. 3※. 設(shè)f(x)∈C（-∞，+∞），且f(x)=A, f(x)=B,A·B＜0，試由極限及零點存在定理的幾何意義說明至少存在一點x0∈（－∞,＋∞），使得f(x0)＝０. 證: 由A·B<0知A與B異號,不防設(shè)A>0,B<0 由,及函數(shù)極限的保號性知,,使當,有 ,使當時,有. 現(xiàn)取,則, ,則,且, 由題設(shè)知在上連續(xù),由零點存在定理,至少存在一點使, 即至少存在一點使. 4.設(shè)多項式Pn(x)＝xn+a1+…+an.，利用第3題證明： 當n為奇數(shù)時，方程Pn(x)=0至少有一實根. 證: ,由極限的保號性知. ,使當時有,此時與同號,因為n為奇數(shù),所以(2X)n與(-2X)n異號,于是與異號,以在上連續(xù),由零點存在定理,至少存在一點,使,即至少有一實根. 19