《數(shù)學(xué)四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題 理（49頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講數(shù)列的綜合問題專題四數(shù)列、推理與證明熱點(diǎn)分類突破真題押題精練熱點(diǎn)分類突破熱點(diǎn)一利用Sn，an的關(guān)系式求an1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.(2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(3)在已知數(shù)列an中，滿足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).例例1已知等差數(shù)列an中，a22，a3a58，數(shù)列bn中，b12，其前n項(xiàng)和Sn滿足： bn1Sn2(nN*).(1

2、)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；解答解解a22，a3a58，2d23d8，d1，ann.bn1Sn2(nN*)，bnSn12(nN*，n2).由，得bn1bnSnSn1bn (nN*，n2)，bn12bn (nN*，n2).b12，b22b1，bn為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，bn2n.解答思維升華思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.思維升華兩式相減，得證明跟蹤演練跟蹤演練1(2017天津市紅橋區(qū)重點(diǎn)中學(xué)八校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足

3、Snn2(an2)(nN*).(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列；證明證明Snn2(an2)，當(dāng)n2時(shí)，Sn1(n1)2(an12)，兩式相減，得an12an2an1，an2an11，an12(an11)，又當(dāng)n1時(shí)，a112(a12)，得a13，a112，數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(2)若bnanlog2(an1)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解答解解由(1)知，an122n12n，an2n1，又bnanlog2(an1)，bnn(2n1)，Tnb1b2b3bn(12222323n2n)(123n)，設(shè)An12222323(n1)2n1n2n，則2An122223(n1

4、)2nn2n1，兩式相減，得An222232nn2n1An(n1)2n12.熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題.例例2設(shè)fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；解答解解方法一方法一由題設(shè)fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，則2fn(2)2222(n1)2n1n2n，

5、由得，fn(2)12222n1n2n所以fn(2)(n1)2n1.(n1)2n1.證明思維升華思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn)(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視.(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件.(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.思維升華證明證明因?yàn)閒n(0)10，又fn(x)12xnxn10，證明跟蹤演練跟蹤演練2(2016屆浙江省寧波市期末)已知數(shù)列an滿足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求證：bn是等比數(shù)列；證明證明a12，a22(22)8，an12(Snn1)(nN*

6、)an2(Sn1n)(n2)，兩式相減，得an13an2(n2).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n1時(shí)上式也成立，即an13an2(n1).所以an113(an1)，即bn13bn，且b13.故bn是等比數(shù)列.(2)記數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn；解答解解由(1)得bn3n.Tn13232333n3n，3Tn132233334n3n1，兩式相減，得2Tn332333nn3n1證明熱點(diǎn)三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題.求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項(xiàng)，還是解遞推關(guān)系問

7、題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進(jìn)行合理推算，得出實(shí)際問題的結(jié)果.例例3自從祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬(wàn)元的蔬菜加工廠M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬(wàn)元，從第七年開始，每年年初M的價(jià)值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；解答解解當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列，故an1201

8、0(n1)13010n，當(dāng)n7時(shí)，數(shù)列an從a6開始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a61306070為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，(2)設(shè)An ，若An大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對(duì)M更新，證明：必須在第九年年初對(duì)M更新.證明思維升華證明證明設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得當(dāng)1n6時(shí)，Sn120n5n(n1)，當(dāng)n7時(shí)，由于S6570，因?yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對(duì)M更新.思維升華思維升華常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式：按

9、復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲(chǔ)蓄單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr).(4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b .跟蹤演練跟蹤演練3(2017全國(guó))幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20,21，再接下來的三項(xiàng)是20,21,22，依

10、此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A.440 B.330 C.220 D.110答案解析設(shè)N是第n1組的第k項(xiàng)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，真題押題精練真題體驗(yàn)1.(2016浙江)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.1答案解析1212112當(dāng)n2時(shí)，由已知可得an12Sn1，an2Sn11，由，得an1an2an，an13an，又a23a1，an是以a11為首項(xiàng)，以q3為公比的等比數(shù)列.2.(2017山東)已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1x23，x3x22.(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)

11、公式；解解設(shè)數(shù)列xn的公比為q.12所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn2n1.解答(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.12解答解解過P1，P2，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，12所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2， 則2Tn320521722(2n1)2n2(2n

12、1)2n1， 由，得Tn321(2222n1)(2n1)2n112押題預(yù)測(cè)解答押題依據(jù)押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識(shí)，考查反證法的數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式Snkan1，k為不等于0的常數(shù).(1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列；押題依據(jù)解解若數(shù)列an是等比數(shù)列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3，于是a10，顯然矛盾，故數(shù)列an不是等比數(shù)列.解答押題依據(jù)押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識(shí)，高考的熱點(diǎn)問題，即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合，其中將求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法“裂項(xiàng)相消法”與“錯(cuò)位相減法”結(jié)合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力.押題依據(jù)從而Snan1.當(dāng)n2時(shí)，由Sn1an，得anSnSn1an1an，即an12an，此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為a2 、公比為2的等比數(shù)列.從而其前n項(xiàng)和Sn2n2 (nN*).解答解解由得bnn2，記C2121220n2n2，則2C2120221n2n1，即n2n900，因?yàn)閚N*，故n9，從而最小正整數(shù)n的值是10.