《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修2-2（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 知識點一　導(dǎo)數(shù)的概念 1．定義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ，稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)． 2．幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，表示為f′(x0)，其切線方程為 ． 知識點二　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 1．c′＝0. 2．(xα)′＝ . 3．(ax)′＝ (a>0)． 4．(ex)′＝ . 5．(logax)′＝()′＝(a>0，且a≠1)． 6．(ln x)′＝. 7．(sin x)′＝ . 8．(cos x)′＝ . 知

2、識點三　導(dǎo)數(shù)的運算法則 1．[f(x)±g(x)]′＝ ． 2．[f(x)·g(x)]′＝ ． 3．[]′＝ (g(x)≠0)． 知識點四　復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 1．復(fù)合函數(shù)記法：y＝f(g(x))． 2．中間變量代換：y＝f(u)，u＝g(x)． 3．逐層求導(dǎo)法則：y′x＝y(tǒng)′u·u′x. 知識點五　函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù) 1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果________，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果________，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 2．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (1)極大值：在點x＝a

3、附近，滿足f(a)≥f(x)，當(dāng)xa時，________，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)的極大值； (2)極小值：在點x＝a附近，滿足f(a)≤f(x)，當(dāng)xa時，________，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值． 3．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟 (1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的______與______處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是________，最小的一個就是______． 知識點六　微積分基本定理

4、 如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝________. 知識點七　定積分的性質(zhì) 1．?kf(x)dx＝ (k為常數(shù))． 2．?[f1(x)±f2(x)]dx＝ . 3．?f(x)dx＝ (其中a0)，直線l是曲線y＝f(x)的一條切線，當(dāng)l的斜率最小時，直線l與直線10x＋y＝6平行． ①求a的值； ②求

5、f(x)在x＝3處的切線方程． 　 　 　 反思與感悟　利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時關(guān)鍵是找到切點，若切點未知需設(shè)出．常見的類型有兩種，一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進(jìn)而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設(shè)切點為Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類型． 跟蹤訓(xùn)練1　直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(2,3)，則b＝________. 類型二　函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題 例2　設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (

6、1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； (2)求證：當(dāng)a>ln 2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1. 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和證明不等式，考查運算能力、分析問題、解決問題的能力． 跟蹤訓(xùn)練2　已知函數(shù)f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0. (1)當(dāng)a＝－4時，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為8，求a的值． 　 　 　 　 　 　 類型三　生活中的優(yōu)化問題 例3　某公司為獲得更大的收益，每年要投入一

7、定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)． (1)若該公司將當(dāng)年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司獲得的收益最大？ (2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費x(百萬元)，可增加的銷售額為－x3＋x2＋3x(百萬元)．請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大． 　 　 　 　 　 反思與感悟　解決優(yōu)化問題的步驟： (1)要分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域． (2)要通過研

8、究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具． (3)驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義． 跟蹤訓(xùn)練3　某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大． 　 　 　 　 類型四　

9、定積分與微積分基本定理 例4　(1)設(shè)f(x)＝則?f(x)dx＝________. (2)如圖，是由直線y＝x－2，曲線y2＝x所圍成的圖形，試求其面積S. 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　由定積分求曲邊梯形面積的方法步驟： (1)畫出函數(shù)的圖象，明確平面圖形的形狀． (2)通過解方程組，求出曲線交點的坐標(biāo)． (3)確定積分區(qū)間與被積函數(shù)，轉(zhuǎn)化為定積分計算． (4)對于復(fù)雜的平面圖形，常常通過“割補(bǔ)法”來求各部分的面積之和． 跟蹤訓(xùn)練4　求由拋物線y＝x2－1，直線x＝2，y＝0所圍成的圖形的面積． 　 　 　 　

10、 　 　 1．已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ln(2－x)(a∈R)，設(shè)曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為l，若l與圓C：x2＋y2＝相切，則a＝________. 2．體積為16π的圓柱，它的半徑為________時，圓柱的表面積最?。? 3．設(shè)兩拋物線y＝－x2＋2x，y＝x2所圍成的圖形為M，求M的面積． 4．已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 　 　 　 　 　 1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任

11、意一點處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明確“過點P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點． 2．借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三角函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體． 3．利用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問題． 4．不規(guī)則圖形的面積可用定積分求，關(guān)鍵是確定積分上、下限及被積函數(shù)，積分的上、下限一般是兩曲線交點的橫坐標(biāo)． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 2．y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 知識點二 2．αxα－1　3.ax

12、ln a　4.ex　6.　7.cos x 8．－sin x 知識點三 1．f′(x)±g′(x) 2．f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　3. 知識點五 1．f′(x)>0　f′(x)<0 2．(1)f′(x)>0　f′(x)<0 (2)f′(x)<0　f′(x)>0 3．(2)極值　端點　最大值　最小值 知識點六 F(b)－F(a) 知識點七 1．k?f(x)dx　2.?f2(x)dx 3．?f(x)dx＋?f(x)dx 題型探究 例1　(1)－1 解析　f′(1)＝k＋1＝0，k＝－1. (2)解?、賔′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－

13、9， f′(x)min＝－a2－9， 由題意知－a2－9＝－10， ∴a＝1或－1(舍去)． 故a＝1. ②由①得a＝1. ∴f′(x)＝x2＋2x－9， 則k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10. ∴f(x)在x＝3處的切線方程為y＋10＝6(x－3)， 即6x－y－28＝0. 跟蹤訓(xùn)練1　－15 解析　令f(x)＝x3＋ax＋1， 由題意知f(2)＝3，則a＝－3. ∴f(x)＝x3－3x＋1. ∴f′(2)＝3×22－3＝9＝k， 又點(2,3)在直線y＝9x＋b上， ∴b＝3－9×2＝－15. 例2　(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(

14、x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． (2)證明　設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知當(dāng)a>ln 2－1時，g′(x)取

15、最小值為g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是對任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0， 所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增． 于是當(dāng)a>ln 2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)． 而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0， 故ex>x2－2ax＋1. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)當(dāng)a＝－4時，由f′(x)＝＝0， 得x＝或x＝2. 由f′(x)>0，得x∈(0，)或x∈(2，＋∞)， 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)和(2，＋∞)． (2)因為f′(x)＝，a<0， 由f′(x)＝0得x＝－或x＝

16、－. 當(dāng)x∈(0，－)時，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(－，－)時，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(－，＋∞)時，f(x)單調(diào)遞增， 易知f(x)＝(2x＋a)2≥0， 且f(－)＝0. ①當(dāng)－≤1，即－2≤a<0時， f(x)在[1,4]上的最小值為f(1)， 由f(1)＝4＋4a＋a2＝8， 得a＝±2－2，均不符合題意． ②當(dāng)1<－≤4，即－8≤a<－2時，f(x)在[1,4]上的最小值為f(－)＝0，不符合題意． ③當(dāng)－>4，即a<－8時，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8， 由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，得a＝－10

17、或a＝－6(舍去)， 當(dāng)a＝－10時，f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減， f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)＝8，符合題意． 綜上有a＝－10. 例3　解　(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)， 則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， 所以當(dāng)t＝2時，f(t)取得最大值4， 即投入2百萬元的廣告費時，該公司獲得的收益最大． (2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)． 由此獲得的收益是g(x)(百萬元)， 則g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)

18、2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)， 所以g′(x)＝－x2＋4. 令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2. 又當(dāng)0≤x<2時，g′(x)>0；當(dāng)2

19、r2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)， 從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因為r>0，又由h>0可得r<5， 故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5)． (2)因為V(r)＝(300r－4r3)， 故V′(r)＝(300－12r2)， 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因為r2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)r∈(0,5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)； 當(dāng)r∈(5,5)時，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上為減函數(shù)． 由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8. 即當(dāng)r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．

20、 例4　(1) 解析　?f(x)dx＝?x3dx＋?(3－2x)dx＝＋(3x－x2)|＝. (2)解　方法一　由得x＝1或x＝4， 故A(1，－1)，B(4,2)，如圖所示， S＝2?dx＋?(－x＋2)dx ＝2×x|＋(x－x2＋2x)| ＝2×＋[(×4－×42＋2×4)－(－＋2)] ＝. 方法二　由得y1＝－1，y2＝2， ∴S＝?(y＋2－y2)dy＝(y2＋2y－y3)＝. 跟蹤訓(xùn)練4　 解　作出草圖如圖所示，所求圖形的面積為圖中陰影部分的面積． 由x2－1＝0得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)是(－1,0)和(1,0)， 因此所求圖形的面積為 S＝?

21、|x2－1|dx＋?(x2－1)dx ＝?(1－x2)dx＋?(x2－1)dx ＝＋ ＝(1－)－(－1＋)＋(×23－2)－(－1)＝. 達(dá)標(biāo)檢測 1.　2.2 3.解　函數(shù)y＝－x2＋2x，y＝x2在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示． 由圖可知，圖形M的面積 S＝?(－x2＋2x－x2)dx ＝?(－2x2＋2x)dx ＝＝. 4．解　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝1－. (1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為 y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0知： ①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； ②當(dāng)a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0， 從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為 f(a)＝a－aln a，無極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值； 當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值． 13