《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換 2.2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法反射變換教學(xué)案 蘇教版選修4-2》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換 2.2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法反射變換教學(xué)案 蘇教版選修4-2（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．2.3　反射變換 1．反射變換矩陣和反射變換 像，，這樣將一個(gè)平面圖形F變?yōu)殛P(guān)于定直線(xiàn)或定點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的平面圖形的變換矩陣，我們稱(chēng)之為反射變換矩陣，對(duì)應(yīng)的變換叫做反射變換．相應(yīng)地，前者叫做軸反射，后者稱(chēng)做中心反射．其中定直線(xiàn)稱(chēng)為反射軸，定點(diǎn)稱(chēng)做反射點(diǎn)． 2．線(xiàn)性變換 二階非零矩陣對(duì)應(yīng)的變換把直線(xiàn)變?yōu)橹本€(xiàn)，這種把直線(xiàn)變?yōu)橹本€(xiàn)的變換稱(chēng)為線(xiàn)性變換．二階零矩陣把平面上所有的點(diǎn)都變換到坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，此時(shí)為線(xiàn)性變換的退化情況． 點(diǎn)在反射變換作用下的象 [例1]　　(1)矩陣將點(diǎn)A(2,5)變成了什么圖形？畫(huà)圖并指出該變換是什么變換． (2)矩陣將點(diǎn)A(2,

2、7)變成了怎樣的圖形？畫(huà)圖并指出該變換是什么變換． [思路點(diǎn)撥]　先通過(guò)反射變換求出變換后點(diǎn)的坐標(biāo)，再畫(huà)出圖形即可看出是什么變換． [精解詳析]　 (1)因?yàn)?＝， 即點(diǎn)A(2,5)經(jīng)過(guò)變換后變?yōu)辄c(diǎn)A′(－2,5)，它們關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， 所以該變換為關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的反射變換(如圖1)． (2)因?yàn)?＝，即點(diǎn)A(2,7)經(jīng)過(guò)變換后變?yōu)辄c(diǎn)A′(7,2)，它們關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)， 所以該變換為關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)的反射變換(如圖2)． (1)點(diǎn)在反射變換作用下對(duì)應(yīng)的象還是點(diǎn)．(2)常見(jiàn)的反射變換矩陣：表示關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的反射變換矩陣，表示關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的反射變換矩陣，表示關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的

3、反射變換矩陣，表示關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)的反射變換矩陣，表示關(guān)于直線(xiàn)y＝－x對(duì)稱(chēng)的反射變換矩陣． 1．計(jì)算下列各式，并說(shuō)明其幾何意義． (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) ＝； (2) ＝； (3) ＝. 三個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的變換分別是將點(diǎn)(5,3)作關(guān)于x軸反射變換、關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換以及關(guān)于直線(xiàn)y＝x的軸反射變換，得到的點(diǎn)分別是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)． 2．求出△ABC分別在M1＝，M2＝，M3＝對(duì)應(yīng)的變換作用下的幾何圖形，并畫(huà)出示意圖，其中A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)． 解：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)

4、，C→C′(－1,2)； 在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(2,0)，C→C″(1，－2)； 在M3下，A→A(0,0)，B→B(－2,0)，C→C(－1，－2)． 圖形分別為 曲線(xiàn)在反射變換作用下的象 [例2]　橢圓＋y2＝1在經(jīng)過(guò)矩陣對(duì)應(yīng)的變換后所得的曲線(xiàn)是什么圖形？ [思路點(diǎn)撥]　先通過(guò)反射變換求出曲線(xiàn)方程，再通過(guò)方程判斷圖形的形狀． [精解詳析]　任取橢圓＋y2＝1上的一點(diǎn)P(x0，y0)，它在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(x，y)．則有 ＝，故. 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓＋y2＝1上，所以＋y＝1， ∴＋x′＝1；因此x′＋＝1. 從而所求曲線(xiàn)方

5、程為x2＋＝1，是橢圓． 矩陣把一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)的圖形，反射變換對(duì)應(yīng)的矩陣要區(qū)分類(lèi)型：點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)． 3．求曲線(xiàn)y＝(x>0)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線(xiàn)． 解：矩陣對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的變換，因此，得到的曲線(xiàn)為y＝(x<0)． 4．求直線(xiàn)y＝4x在矩陣作用下變換所得的圖形． 解：任取直線(xiàn)y＝4x在矩陣作用下變換所得的圖形上的一點(diǎn)P(x，y)，一定存在變換前的點(diǎn)P′(x′，y′)與它對(duì)應(yīng)，使得 ＝ ，即(*) 又點(diǎn)P′(x′，y′)在直線(xiàn)y＝4x上，所以y′＝4x′，從而有y＝ x，從而直線(xiàn)y＝4x在矩陣作用下變換成直線(xiàn)y＝x.根據(jù)(*

6、)，它們關(guān)于直線(xiàn)y＝－x對(duì)稱(chēng)．如圖所示． 1．計(jì)算 ，并說(shuō)明其幾何意義． 解： ＝，其幾何意義是：由矩陣M＝確定的變換是關(guān)于直線(xiàn)y＝－x的軸反射變換，將點(diǎn)(x，y)變換為點(diǎn)(－y，－x)． 2．在矩陣變換下，圖(1)，(2)中的△ABO變成了△A′B′O，其中點(diǎn)A的象為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的象為點(diǎn)B′，試判斷相應(yīng)的幾何變換是什么？ 解：(1)對(duì)應(yīng)的是關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換，矩陣形式為. (2)對(duì)應(yīng)的是關(guān)于y軸的軸反射變換，矩陣形式為. 3．求△ABC在經(jīng)過(guò)矩陣對(duì)應(yīng)的變換后所得圖形的面積，其中A(1,0)，B(－2,0)，C(5,4)． 解：矩陣確定的變換是關(guān)于y軸的軸

7、反射變換，它將點(diǎn)(x，y)變換為點(diǎn)(－x，y)．所以平面△ABC在經(jīng)過(guò)矩陣對(duì)應(yīng)的變換后所得圖形是與原圖形全等的三角形，故只需求出△ABC的面積即可．所以所求圖形的面積為6. 4．求出曲線(xiàn)y＝ex先在矩陣對(duì)應(yīng)的變換，后在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下形成的曲線(xiàn)，并說(shuō)明兩次變換后對(duì)應(yīng)的是什么變換？ 解：因?yàn)榫仃噷?duì)應(yīng)的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換，變換后曲線(xiàn)為y＝e－x.又因?yàn)榫仃噷?duì)應(yīng)的變換是關(guān)于原點(diǎn)O的中心反射變換，變換后曲線(xiàn)為－y＝ex，即y＝－ex.兩次變換對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換． 5．變換T使圖形F：y＝x2－1變?yōu)镕′：y＝|x2－1|，試求變換T對(duì)應(yīng)的變換矩陣A. 解：當(dāng)x∈(－∞

8、，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，A＝； 當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，A＝. 6．若曲線(xiàn)＋＝1經(jīng)過(guò)反射變換T變成曲線(xiàn)＋＝1，求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣．(寫(xiě)出兩個(gè)不同的矩陣) 解：T＝或T＝. 7．求關(guān)于直線(xiàn)y＝3x對(duì)稱(chēng)的反射變換所對(duì)應(yīng)的矩陣A. 解：在平面上任取一點(diǎn)P(x，y)，令點(diǎn)P關(guān)于y＝3x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x′，y′)． 則 化簡(jiǎn)得 ∴＝ . ∴關(guān)于直線(xiàn)y＝3x對(duì)稱(chēng)的反射變換對(duì)應(yīng)的矩陣為 A＝. 8．已知矩陣M＝，N＝.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線(xiàn)2x－y＋1＝0在變換TM，TN先后作用下得到曲線(xiàn)F，求曲線(xiàn)F的方程． 解：∵TM是關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)的反射變換， ∴直線(xiàn)2x－y＋1＝0在TM的作用下得到直線(xiàn)F′： 2y－x＋1＝0. 設(shè)P(x0，y0)為F′上的任意一點(diǎn)，它在TN的作用下變?yōu)镻′(x′，y′)， ∴＝ ，即 ∵點(diǎn)P在直線(xiàn)F′上， ∴2y0－x0＋1＝0， 即－2x′－y′＋1＝0. ∴所求曲線(xiàn)F的方程為2x＋y－1＝0. 6