《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見的平面變換 2.2.1-2.2.2 幾種常見的平面變換恒等變換 伸壓變換教學(xué)案 蘇教版選修4-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見的平面變換 2.2.1-2.2.2 幾種常見的平面變換恒等變換 伸壓變換教學(xué)案 蘇教版選修4-2（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．2.1～2.2.2　恒等變換　伸壓變換 1．恒等變換矩陣和恒等變換 對平面上任何一點(向量)或圖形施以矩陣對應(yīng)的變換，都把自己變成自己．我們把這種特殊的矩陣稱為恒等變換矩陣或單位矩陣(簡記為E)，所實施的對應(yīng)的變換稱作恒等變換． 2．伸壓變換矩陣和伸壓變換 像矩陣，這種將平面圖形作沿y軸方向伸長或壓縮，作沿x軸方向伸長或壓縮的變換矩陣，通常稱做沿y或x軸的垂直伸壓變換矩陣；對應(yīng)的變換稱為垂直伸壓變換，簡稱伸壓變換． [說明] (1)線段經(jīng)過伸壓變換以后仍然是線段，直線仍然是直線，恒等變換是伸壓變換的特例． (2)將平面圖形F作沿x軸方向的伸壓變換，其對應(yīng)的變換矩陣的一般形

2、式是(k>0)，沿y軸方向的伸壓變換對應(yīng)的矩陣形式是(k>0)． 求點在變換作用下的象 [例1]　　在直角坐標系xOy內(nèi)矩陣對應(yīng)的坐標變換公式是什么？敘述這個變換的幾何意義，并求出點P(4，－3)在這個變換作用下的象P′. [思路點撥]　根據(jù)矩陣與變換之間的關(guān)系求出變換公式，此變換為伸縮變換，然后寫出點P在此變換下的象． [精解詳析]　由 ＝得 對應(yīng)的坐標變換公式為，這個變換把平面上的點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標伸長到原來的2倍； 當x＝4，y＝－3時，x′＝2，y′＝－6，故點P在這個變換下的象為P′(2，－6)． 把變換與矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系理解清楚，

3、用數(shù)(即二階矩陣與列向量的乘法)研究形(即變換作用下的象)． 1．已知矩陣M＝，求出點A(3，)在矩陣M對應(yīng)變換作用下的象A′. 解： ＝ ∴A′(9，)． 2．研究直角坐標平面內(nèi)正方形OBCD在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到的幾何圖形，其中O(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)． 解：矩陣M為恒等變換矩陣，O、B、C、D在矩陣對應(yīng)的恒等變換作用下變成自身，即分別為O′(0,0)，B′(2,0)，C′(2,2)，D′(0,2)，仍然是正方形OBCD. 求曲線在變換作用下的象 [例2]　在平面直角坐標系xOy中，設(shè)橢圓4x2＋y2＝1在矩陣A＝對應(yīng)

4、的變換作用下得到曲線F，求曲線F的方程． [思路點撥]　求曲線F的方程即求F上的任意一點的坐標(x，y)滿足的關(guān)系式． [精解詳析]　設(shè)P(x0，y0)是橢圓上的任意一點，點P(x0，y0)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的點為P′(x，y)，則有＝ ＝， 即所以 又因為點P(x0，y0)在橢圓上，所以4x＋y＝1， 從而有x＋y＝1， 所以曲線F的方程是x2＋y2＝1. 先利用二階矩陣與列向量的乘法把P(x0、y0)與P′(x，y)的關(guān)系找出，再利用已知曲線的方程即可得到所求的方程． 3．求圓C：x2＋y2＝4在矩陣A＝對應(yīng)的伸壓變換下所得的曲線的方程，并判斷曲線的軌

5、跡． 解：設(shè)P(x，y)是圓C：x2＋y2＝4上的任意一點，而P1(x′，y′)是P(x，y)在矩陣A＝對應(yīng)的伸壓變換下的曲線上的對應(yīng)點，則＝ ＝，即所以代入x2＋y2＝4得＋y′2＝4，所以方程＋＝1即為所求的曲線方程，其表示的曲線的軌跡為橢圓． 4．已知圓C：x2＋y2＝1在矩陣A＝(a>0，b>0)對應(yīng)的變換下變?yōu)闄E圓x2＋＝1，求a，b的值． 解：設(shè)P(x0，y0)為圓C上的任意一點，在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)辄cP′(x，y)， 則＝ ， 所以 又因為點P(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上， 所以x＋y＝1，所以＋＝1， 即圓C在矩陣A對應(yīng)的變換下的象為＋＝1. 由已知

6、條件可知，變換后的橢圓方程為x2＋＝1， 所以a2＝1，b2＝4， 又因為a>0，b>0，所以a＝1，b＝2. 5．已知矩陣M1＝，M2＝，研究圓x2＋y2＝1先在矩陣M1對應(yīng)的變換作用下，再在矩陣M2對應(yīng)的變換作用下，所得的曲線的方程． 解：設(shè)P0(x0，y0)為圓上的任意一點，在M1的作用下變?yōu)镻1(x1，y1)，P1在M2的作用下變?yōu)镻2(x2，y2)， 即＝ ，＝ . ∴ ∴即 ∵P0在圓x2＋y2＝1上， ∴x＋y＝1. ∴x＋4y＝1， 故所求曲線的方程為＋4y2＝1. 1．求圓x2＋y2＝9在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用后所得圖形的面積． 解：矩陣

7、M＝所對應(yīng)變換是恒等變換，在它的作用下，圓x2＋y2＝9變成一個與原來的圓恒等的圓，故所求圖形的面積為9π. 2．已知點(x，y)在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(－1,3)，試求x，y的值． 解：由 ＝， 得解得 3．在平面直角坐標系中，已知線性變換對應(yīng)的二階矩陣為.求： (1)點A(，3)在該變換作用下的象； (2)圓x2＋y2＝1上任意一點P(x0，y0)在該變換作用下的象． 解：(1)由 ＝ ， 得點A(，3)在該變換作用下的象為(，)； (2)由 ＝， 得點P(x0，y0)在變換作用下的象為(x0，)． 4．求出如圖所示的圖形在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下所成的圖形

8、，并畫出示意圖，其中點A(1,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(3,1)，E(3,2)，F(xiàn)(0,2)，G(0,1)，H(1,1)． 解：M＝對應(yīng)的是沿y軸的伸壓變換，保持橫坐標不變，而縱坐標變成原來的1.5倍．在此變換下，A→A′(1,0)，B→B′(2,0)，C→C′(2,1.5)，D→D′(3，1.5)，E→E′(3,3)，F(xiàn)→F′(0,3)，G→G′(0,1.5)，H→H′(1,1.5)．變換后的圖形如圖所示． 5．求橢圓C：＋＝1先在矩陣M＝對應(yīng)的變換，再在矩陣N＝對應(yīng)的變換作用下得到的曲線C′的方程． 解：因為矩陣M＝對應(yīng)的變換是恒等變換，所以曲線C′是橢圓C：＋＝

9、1在矩陣N＝對應(yīng)變換下得到的曲線，設(shè)橢圓C上任意一點P(x，y)在矩陣N對應(yīng)的變換下得到曲線C′上的點P(x′，y′)，則有＝ ，即所以 因為＋＝1，所以＋＝1，即＋y′2＝1.故曲線C′的方程為＋y2＝1. 6.如圖，一個含有60°角的菱形ABCD，試求變換矩陣M，使得只變換四個頂點中的兩個頂點后，菱形即變成為正方形．試問該變換矩陣唯一嗎？若不唯一，寫出所有滿足條件的變換矩陣． 解：由題設(shè)知，這里的變換是伸壓變換，且變換不唯一． 由題設(shè)知，AC∶BD＝∶1， 若只變換A，C兩點，則必須將A，C的橫坐標進行壓縮，于是變換矩陣為M＝. 若只變換B，D兩點，則應(yīng)把B，D的縱坐標伸長到原

10、來的倍，于是變換矩陣M＝， 所以滿足條件的所有變換矩陣為或. 7．求出梯形OABC先在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下，再在矩陣N＝對應(yīng)的變換作用下的圖形，其中O(0,0)，A(2,0)，B(1,1)，C(0,1)． 解：矩陣M＝對應(yīng)的是沿x軸的伸壓變換，保持縱坐標不變，而橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍．而矩陣N＝對應(yīng)的是沿x軸的伸壓變換，保持縱坐標不變，而橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮簿褪钦f梯形OABC先后兩次變換，橫、縱坐標不變，即圖形保持不變． 8．設(shè)M＝，N＝，試求曲線C：y＝sin x在矩陣M、N對應(yīng)的變換先后兩次作用下得到的曲線的方程． 解：設(shè)P0(x0，y0)為曲線C上的任意一點，在TM的作用下變?yōu)镻1(x1，y1)，P1在TN的作用下變?yōu)镻2(x2，y2)， 即＝ ，＝ . ∴ ∴∴ ∵P0在曲線C上， ∴y0＝sin x0. ∴y2＝sin 2x2， 即y2＝2sin 2x2. ∴所求曲線的方程為y＝2sin 2x. 7