《2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關系學案 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關系學案 北師大版（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第5節(jié)　垂直關系 最新考綱　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題. 知 識 梳 理 1.直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直. (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 ?l⊥α 性質(zhì)定理 如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 ?a∥b

2、 2.直線和平面所成的角 (1)定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角. (2)范圍：. 3.二面角 (1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角； (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范圍：[0，π]. 4.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

3、 (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 ?α⊥β 性質(zhì)定理 如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 ?l⊥α [常用結論與微點提醒] 1.兩個重要結論 (1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面. (2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法). 2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”.

4、 3.線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(　　) (2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(　　) (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(　　) (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(　　) 解析　(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或lα或l∥α，故(1)錯誤. (2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤. (3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平

5、面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯誤. (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的所有直線，則α⊥β，故(4)錯誤. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材習題改編)下列命題中不正確的是(　　) A.如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面β B.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 解析　根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，A不正確，直線l∥平面β或lβ或直線l與β

6、相交. 答案　A 3.(2018·湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是(　　) A.α⊥β且mα B.m⊥n且n∥β C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β 解析　由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確. 答案　C 4.(2017·全國Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(　　) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 解析　如圖，由題設知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A

7、1B1⊥BC1. 又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1. 答案　C 5.邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為________. 解析　如圖所示，取BD的中點O，連接A′O，CO，則∠A′OC是二面角A′－BD－C的平面角， 即∠A′OC＝90°. 又A′O＝CO＝a， ∴A′C＝＝a，即折疊后AC的長(A′C)為a. 答案　a 考點一　線面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°

8、，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.證明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 證明　(1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， ∴PA⊥CD， 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC， ∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

9、∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD， ∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 規(guī)律方法　1.證明直線和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，lβ?l⊥α). 2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想. 【訓練1】 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD＝DB，點C為圓O上一點，且BC＝AC，PD⊥

10、平面ABC，PD＝DB. 求證：PA⊥CD. 證明　因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB. 在Rt△ABC中，由AC＝BC得，∠ABC＝30°. 設AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2. 由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3， 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB. 因為PD⊥平面ABC，CD平面ABC， 所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB， 又PA平面PAB，所以PA⊥CD. 考點二　面面垂直的判定與性質(zhì) 【例2】 如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABC

11、D，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)∵平面PAD⊥底面ABCD， 且PA垂直于這兩個平面的交線AD，PA平面PAD， ∴PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點， ∴AB∥DE，且AB＝DE. ∴四邊形ABED為平行四邊形. ∴BE∥AD. 又∵BE平面PAD，AD平面PAD， ∴BE∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形. ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD，CD平面

12、ABCD， ∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，又PD平面PAD， ∴CD⊥PD. ∵E和F分別是CD和PC的中點， ∴PD∥EF. ∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面BEF，又CD平面PCD， ∴平面BEF⊥平面PCD. 規(guī)律方法　1.證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理. 2.已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. 【訓練2】 (2017·北京卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA

13、⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點. (1)求證：PA⊥BD； (2)求證：平面BDE⊥平面PAC； (3)當PA∥平面BDE時，求三棱錐E－BCD的體積. (1)證明　∵PA⊥AB，PA⊥BC， AB平面ABC，BC平面ABC，且AB∩BC＝B， ∴PA⊥平面ABC，又BD平面ABC，∴PA⊥BD. (2)證明　∵AB＝BC，D是AC的中點， ∴BD⊥AC. 由(1)知PA⊥平面ABC，∵PA平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABC. ∵平面PAC∩平面ABC＝AC，BD平面ABC，BD⊥AC， ∴BD⊥平面PAC

14、. ∵BD平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC， (3)解　∵PA∥平面BDE， 又平面BDE∩平面PAC＝DE，PA平面PAC， ∴PA∥DE. 由(1)知PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC. ∵D是AC的中點，∴E為PC的中點， ∴DE＝PA＝1. ∵D是AC的中點， ∴S△BCD＝S△ABC＝××2×2＝1， ∴VE－BCD＝×S△BCD×DE＝×1×1＝. 考點三　平行與垂直的綜合問題(多維探究) 命題角度1　多面體中平行與垂直關系的證明 【例3－1】 (2017·山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示

15、.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明　(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形， 所以A1O∥O1C， 又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD平

16、面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因為B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1， 又A1E，EM平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM， 又B1D1平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 規(guī)律方法　1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化. 2.垂直與平行的結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應用. 命題角度2　平行垂直中探索性問題 【例3－2】 如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE的中點. (1)證明：AE∥平面BDF. (2)

17、點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由. (1)證明　連接AC交BD于O，連接OF，如圖①. ∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點， 又F為EC的中點， ∴OF為△ACE的中位線， ∴OF∥AE， 又OF平面BDF，AE平面BDF，∴AE∥平面BDF. (2)解　當P為AE中點時，有PM⊥BE， 證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH. ∵P為AE的中點，H為BE的中點， ∴PH∥AB， 又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點共面. ∵平面ABCD⊥平面BCE，平面

18、ABCD∩平面BCE＝BC，CD平面ABCD，CD⊥BC. ∴CD⊥平面BCE， 又BE平面BCE，∴CD⊥BE， ∵BC＝CE，H為BE的中點，∴CH⊥BE， 又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC， 又PM平面DPHC， ∴BE⊥PM，即PM⊥BE. 規(guī)律方法　1.求條件探索性問題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性. 2.涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點. 命題角度3　空間位置關系與

19、幾何體的度量計算 【例3－3】 (2017·天津卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值； (2)求證：PD⊥平面PBC； (3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值. (1)解　如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角. 因為AD⊥平面PDC，PD平面PDC， 所以AD⊥PD. 在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝， 故cos∠DAP＝＝. 所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為. (2)證明　由(1)知AD⊥PD

20、， 又因為BC∥AD，所以PD⊥BC. 又PD⊥PB，BC∩PB＝B， 所以PD⊥平面PBC. (3)解　過點D作DF∥AB，交BC于點F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角. 因PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角. 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1. 由已知，得CF＝BC－BF＝2. 又AD⊥DC，故BC⊥DC. 在Rt△DCF中，可得DF＝＝2. 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝. 所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為. 規(guī)律方法　1.本題證明的關鍵是垂

21、直與平行的轉(zhuǎn)化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，進而利用線面垂直的判定定理證明PD⊥平面PBC. 2.利用綜合法求空間線線角、線面角、二面角一定注意“作角、證明、計算”是完整統(tǒng)一過程，缺一不可. (1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解. (2)二面角的大小用它的平面角來度量.平面角的作法常見的有：①定義法；②垂面法.注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì). 【訓練3】（2018·延安調(diào)研）如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.點E是CD邊的中點，點F，G分別在線段AB

22、，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB. (1)證明：PE⊥FG. (2)求二面角P－AD－C的正切值. (3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值. (1)證明　因為PD＝PC且點E為CD的中點， 所以PE⊥DC. 又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，所以PE⊥平面ABCD， 又FG平面ABCD，所以PE⊥FG. (2)解　由(1)知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD， 又AD⊥CD，PE∩CD＝E， ∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PD， ∴∠PDC為二面角P－AD－C的平面角， 在Rt△PDE中，PD＝4，DE＝3， ∴PE

23、＝＝，∴tan∠PDC＝＝. 故二面角P－AD－C的正切值為. (3)解　如圖，連接AC，∵AF＝2FB，CG＝2GB，∴AC∥FG. ∴直線PA與FG所成角即直線PA與AC所成角∠PAC. 在Rt△PDA中，PA2＝AD2＋PD2＝25，∴PA＝5. 又PC＝4. AC2＝CD2＋AD2＝36＋9＝45，∴AC＝3. 又cos∠PAC＝＝＝. 所以直線PA與直線FG所成角的余弦值為. 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A.m∥l B.m∥n

24、 C.n⊥l D.m⊥n 解析　因為α∩β＝l，所以lβ，又n⊥β，所以n⊥l. 答案　C 2.(2018·福州質(zhì)檢)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析　∵m⊥α，若l∥α，則必有l(wèi)⊥m，即l∥α?l⊥m. 但l⊥m?l∥α，∵l⊥m時，l可能在α內(nèi). 故“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要而不充分條件. 答案　B 3.(2018·衡水中學質(zhì)檢)如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么點D在平面ABC內(nèi)的射影H

25、必在(　　) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部 解析　因AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD. 又AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD. 所以D在平面ABC內(nèi)的射影必在交線AB上. 答案　A 4.(2018·廣州一模)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A.若α⊥β，mα，nβ，則m⊥n B.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β C.若m⊥n，mα，nβ，則α⊥β D.若α∥β，mα，nβ，則m∥n 解析　若α⊥β，mα，nβ，則m與n相交、平行或

26、異面，故A錯誤； ∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α， 又∵n∥β，∴α⊥β，故B正確； 若m⊥n，mα，nβ，則α與β的位置關系不確定，故C錯誤； 若α∥β，mα，nβ，則m∥n或m，n異面， 故D錯誤. 答案　B 5.如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列正確的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析　因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，于是

27、AC⊥平面BDE.因為AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE. 又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE. 答案　C 二、填空題 6.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________. 解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形. 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形. 答案　4 7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點

28、，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可). 解析　由定理可知，BD⊥PC. ∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD. 又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 8.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為________. 解析　連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角. 因為AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2， 又AA1＝1，所以AC1＝3， 所以sin∠AC1A

29、1＝＝. 答案　 三、解答題 9.(2016·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由. (1)證明　因為PC⊥平面ABCD，DC平面ABCD， 所以PC⊥DC. 又因為AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC. (2)證明　因為AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC. 因為PC⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因為PC∩AC＝C，所以AB⊥平面

30、PAC. 又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解　棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF. 理由如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又因為E為AB的中點，所以EF∥PA.又因為PA平面CEF，且EF平面CEF， 所以PA∥平面CEF. 10.(2018·九江調(diào)研)如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為CD的中點，F(xiàn)為AE的中點，現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列問題： (1)在線段AB上是否存在一點K，使BC∥平面DFK？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由； (2)若平面ADE⊥平面ABCE，求證：平

31、面BDE⊥平面ADE. (1)解　如圖，線段AB上存在一點K，且當AK＝AB時，BC∥平面DFK. 證明如下： 設H為AB的中點，連接EH，則BC∥EH. ∵AK＝AB，F(xiàn)為AE的中點， ∴KF∥EH，∴KF∥BC， ∵KF平面DFK，BC平面DFK， ∴BC∥平面DFK. (2)證明　∵在折起前的圖形中E為CD的中點，AB＝2，BC＝1， ∴在折起后的圖形中，AE＝BE＝， 從而AE2＋BE2＝4＝AB2，∴AE⊥BE. ∵平面ADE⊥平面ABCE， 平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE平面ABCE， ∴BE⊥平面ADE， ∵BE平面BDE， ∴平面BD

32、E⊥平面ADE. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.(2018·唐山一模)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么在這個空間圖形中必有(　　) A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF 解析　根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，B正確. ∵過A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確. ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面H

33、AG，又EF平面AEF， ∴平面HAG⊥平面AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)， ∴C不正確. 由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確. 答案　B 12.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的命題序號是________. ①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC； ③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC. 解析　因為在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45°

34、，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD平面BCD， 所以CD⊥平面ABD，又AB平面ABD，則CD⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩CD＝D， 所以AB⊥平面ADC，又AB平面ABC， 所以平面ABC⊥平面ADC. 答案　④ 13.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)證明：AE⊥平面PCD； (3)求二面角A－PD－C的正弦值. (1)解　在四棱錐P－ABCD中， 因為

35、PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD， 故PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，從而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA， 從而∠APB為PB和平面PAD所成的角. 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°. (2)證明　在四棱錐P－ABCD中， 因為PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 故CD⊥PA. 由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 又AE平面PAC，∴AE⊥CD. 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中點，∴AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD. (3)解　過點E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所示. 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM， 則可證得AM⊥PD. 因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角. 由已知，可得∠CAD＝30°. 設AC＝a，得PA＝a， AD＝a，PD＝a，AE＝a. 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD， 則AM＝＝＝a. 在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝. 所以二面角A－PD－C的正弦值為. 17