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1、2022年高一數學 1.7 四種命題（2）教案 教學目的： 1．理解四種命題的關系，并能利用這個關系判斷命題的真假 2．理解反證法的基本原理；掌握運用反證法的一般步驟；并能用反證法證明一些命題； 3．培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯系的辯證思想 教學重點：理解四種命題的關系 教學難點：逆否命題的等價性 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： 學生在初中數學中，學習過簡單的命題(包括原命題與逆命題)知識，掌握了簡單的推理方法(包括對反證法的了解)．由此，這一大節(jié)首先講述四種命題及其相互關系，并且在初中的基礎

2、上，結合四種命題的知識，進一步講解反證法．然后，通過若干實例，講述了充分條件、必要條件和充要條件的有關知識． 這一大節(jié)的重點是充要條件．學習簡易邏輯知識，主要是為了培養(yǎng)學生進行簡單推理的技能，發(fā)展學生的思維能力，在這方面，邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”與充要條件的有關內容是十分必要的． （初中數學中有關反證法的內容，要求比較低，并且基本沒有涉及代數命題到高中數學學習的需要，結合四種命題及其關系進行講授 學習反證法，一是要注意加強對有關代數命題的訓練，二是教學要求要適當，對反證法的掌握，還有待于隨著學習的深入，逐步提高教科書中反證法涉及代數命題的例、習題，是屬于初中范圍的，比較簡單．因此，

3、這些題目都可以用直接的方法進行證明，不一定用反證法，選取這些題，主要是為了讓學生熟悉反證法） 反證法在初中教科書中指出：從命題結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫做反證法 教學過程： 一、復習引入： 四種命題及其形式 原命題：若p則q； 逆命題：若q則p； 否命題：若?p則?q； 逆否命題：若?q則?p. 二、講解新課： 1．四種命題的相互關系 互逆命題、互否命題與互為逆否命題都是說兩個命題的關系，若把其中一個命題叫做原命題時，另一個命題就叫做原命題的逆命題、否命題與逆否命題.因此，四種命題之間的相互關系，可用右下圖表示： 2．四種命題的真假關

4、系 一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系： ①、原命題為真，它的逆命題不一定為真 ②、原命題為真，它的否命題不一定為真 ③、原命題為真，它的逆否命題一定為真 3．反證法： 要證明某一結論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數學證明方法 4．反證法的步驟： (1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立 (2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾 (3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確 注意：可能出現矛盾四種情況： ①

5、與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論 三、范例 例1．判斷以下四種命題的真假 原命題：若四邊形ABCD為平行四邊形，則對角線互相平分 真 逆命題：若四邊形ABCD對角線互相平分，則它為平行四邊形； 真 否命題：若四邊形ABCD不是為平行四邊形，則對角線不平分； 真 逆否命題：若四邊形ABCD對角線不平分，則它不是平行四邊形； 真 歸納小結：（學生回答，教師整理補充） (1)原命題為真，它的逆命題不一定為真； (2)原命題為真，它的否命題不一定為真； (3)原命題為真，它的逆否命題一定為真 結論：兩個互為逆否的命題同真或同假

6、(如原命題和它的逆否命題，逆命題和否命題)，其余情況則不一定同真或同假（如原命題和逆命題，否命題和逆否命題等），這時稱互為逆否的兩個命題等價，即原命題逆否命題 例2．（課本第32頁例2）設原命題是“當c>0時，若a>b，則ac>bc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假. 分析：“當c>0時”是大前提，寫其他命題時應該保留，原命題的條件是a>b，結論是ac>bc. 解：逆命題：當c>0時，若ac>bc，則a>b.它是真命題； 否命題：當c>0時，若ab，則acbc.它是真命題； 逆否命題：當c>0時，若acbc，則ab.它是真命題. 練習：課本第32頁 練習：

7、1，2. 答案：1.(1)正確；(2)正確. 2.(1)逆命題：兩個全等三角形的三邊對應相等.逆命題為真； 否命題：三邊不對應相等的兩個三角形不全等.否命題為真； 逆否命題：兩個不全等的三角形的三邊不對應相等.逆否命題為真. (2) 逆命題：若a+c>b+c,則a>b.逆命題為真. 否命題：若ab,則a+cb+c.否命題為真. 逆否命題：若a+cb+c，則ab.逆否命題為真. 例3．（課本第32頁例3）用反證法證明：如果a>b>0，那么. 證明：假設不大于，則或者<,或者=. ∵a>0，b>0， ∴<<，< ，ab>0矛盾，∴.

8、 證法二（直接證法）， ∵a>b>0,∴a - b>0即,∴ ∴ 例4（課本第33頁例4）用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分. 已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直徑. 求證：弦AB、CD不被P平分. 分析：假設弦AB、CD被P平分，連結OP后，可推出AB、CD都與OP垂直，則出現矛盾. 證明：假設弦AB、CD被P平分，由于P點一定不是圓心O，連結OP，根據垂徑定理的推論， 有OP⊥AB，OP⊥CD，即過點P有兩條直線與OP都垂直， 這與垂線性質矛盾. ∴弦AB、CD不被P平分. 四、小結：四種命題之間的相互關系和真假關系

9、 反證法的基本原理及其四個步驟 五、練習：課本第33頁 練習：1，2. 提示：1.設b2-4ac0，則方程沒有實數根，或方程有兩個相等的實數根，得出矛盾. 2.設B900，則C+B1800，得出矛盾. 補充題： 1．命題“若 x = y 則 |x| = |y|”寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它的真假 解：逆命題：若 |x| = |y| 則 x = y （假，如 x = 1, y = -1） 否命題：若 x 1 y 則 |x| 1|y| （假，如 x = 1, y = -1） 逆否命題：若 |x| 1|y| 則 x 1 y

10、 （真） 2．寫出命題：“若 xy = 6則 x = 3且 y = 2”的逆命題否命題逆否命題，并判斷它們的真假 解：逆命題：若 x = 3 且 y = 2 則 x + y = 5 （真） 否命題：若 x + y 1 5 則 x 1 3且y12 （真） 逆否命題：若 x 1 3 或y12 則 x + y 15 （假） 六、作業(yè)：課本第33-34頁 習題1．7中3，4 ， 5. 補充題： 1．若a2能被2整除，a是整數，求證：a也能被2整除. 證：假設a不能被2整除，則a必為奇數， 故可令a=2m+1(m為整數), 由此得a2

11、=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此結果表明a2是奇數， 這與題中的已知條件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除. 七、板書設計（略） 八、課后記： 小故事： 三個古希臘哲學家，由于爭論和天氣炎熱感到疲倦了，于是在花園里的一棵大樹下躺下來休息一會，結果都睡著了.這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額.三個人醒來以后，彼此看了看，都笑了起來.但這并沒引起他們之中任何一個人的擔心，因為每個人都以為是其他兩人在互相取笑.這時其中有一個突然不笑了，因為他發(fā)覺自己的前額也給涂黑了.那么他是怎樣覺察到的呢？你能想出來嗎？ 答案：為了方便，用甲、乙、丙分別代表

12、三個科學家，并不妨設甲已發(fā)覺自己的臉給涂黑了.那么甲這樣想：“我們三個人都可以認為自己的臉沒被涂黑，如果我的臉沒被涂黑，那么乙能看到（當然對于丙也是一樣），乙既然看到了我的臉沒給涂黑，同時他又認為他的臉也沒給涂黑，那么乙就應該對丙的發(fā)笑而感到奇怪.因為在這種情況下（甲、乙的臉都是干凈的），丙是沒有可笑的理由了.然而現在的事實是乙對丙的發(fā)笑并不感到奇怪，可見乙是在認為丙在笑我.由此可知，我的臉也給涂黑了. 這里應著重指出的是，甲并沒有直接看到自己的臉是否給涂黑了，他是根據乙、丙兩人的表情進行分析、思考，而說明了自己的臉給涂黑了.簡單地說，甲是通過說明臉被涂黑了的反面—沒被涂黑是錯誤的，從而覺察了自己的臉被涂黑了.因此這是一種間接的證明方法.顯然這種證明方法也是不可缺少的. 像這樣，為了說明某一個結論是正確的，但不從正面直接說明，而是通過說明它的反面是錯誤的，從而斷定它本身是正確的方法，就叫做“反證法“.