《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)案 理（含解析）新人教A版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 1．判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法 (1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系． dr?相離． (2)代數(shù)法： 2．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)兩個圓的半徑分別為R，r，R＞r，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示： 位置關(guān)系 相離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 幾何特征 d＞R＋r d＝R

2、＋r R－r＜ d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 代數(shù)特征 無實數(shù)解 一組實數(shù)解 兩組實數(shù)解 一組實數(shù)解 無實數(shù)解 公切線條數(shù) 4 3 2 1 0 [常用結(jié)論] 1．當(dāng)兩圓相交(切)時，兩圓方程(x2，y2項的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程． 2．圓的切線方程常用結(jié)論 (1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2. (2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(

3、x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切．(　　) (2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(　　) (3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(　　) (4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　

4、(4)√ 2．直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．相切　　　 B．直線過圓心 C．直線不過圓心，但與圓相交 D．相離 B　[依題意知圓心為(－1,0)，到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝0， 所以直線過圓心．] 3．(教材改編)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 B　[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝＝. ∵3－2

5、　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 D　[因為點P(1，)是圓Q：x2＋y2－4x＝0上的一點， 故在點P處的切線方程為x－y＋2＝0，故選D.] 5．(教材改編)圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為____． 2　[由得x－y＋2＝0. 由于x2＋y2－4＝0的圓心為(0,0)，半徑r＝2，且圓心(0,0)到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝，所以公共弦長為2＝2＝2.] 直線與圓的位置關(guān)系 ?考法1　直線與圓位置關(guān)系的判定 【例1】　直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：

6、x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　 B．相切 C．相離 D．不確定 A　[法一：∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<. 故直線l與圓相交． 法二：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1,1)，∵點(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴直線l與圓C相交．] ?考法2　切線問題 【例2】　已知點P(＋1,2－)，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求過點P的圓C的切線方程； (2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長． [解]　由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2. (1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝

7、4， ∴點P在圓C上． 又kPC＝＝－1， ∴切線的斜率k＝－＝1. ∴過點P的圓C的切線方程是 y－(2－)＝x－(＋1)， 即x－y＋1－2＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴點M在圓C外部． 當(dāng)過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3， 即x－3＝0. 又點C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r， 即此時滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線． 當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2，解得k＝. ∴切線方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0

8、. 綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0. ∵|MC|＝＝， ∴過點M的圓C的切線長為＝＝1. ?考法3　弦長問題 【例3】　設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 B　[當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，聯(lián)立方程得得或∴|AB|＝2，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k

9、x＋3，∵圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0.故選B.] [規(guī)律方法]　1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常用方法： (1)若易求出圓心到直線的距離，則用幾何法，利用d與r的關(guān)系判斷. (2)若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達式較復(fù)雜，則用代數(shù)法，聯(lián)立方程后利用Δ判斷，能用幾何法求解的，盡量不用代數(shù)法. 2.(1)處理直線與

10、圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形. (2)處理圓的切線問題時，一般通過圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系式解決問題.若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則過點M的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2. (1)若直線x＋my＝2＋m與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥2，則k的取值范圍是(　　) A. B.∪[0，＋∞) C.

11、 D. (3)已知P是直線l：kx＋4y－10＝0(k＞0)上的動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k的值為(　　) A．3 B．2 C. D. (1)D　(2)C　(3)A　[(1)由題意可知，圓心為(1,1)，半徑r＝1，若直線與圓相交，則＜1，即＞1，∴m≠0，故選D. (2)若|MN|＝2，則圓心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離為＝＝1，解得k＝±.若|MN|≥2，則－≤k≤. (3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1， 則圓心為C(1，－2)，半徑為1，則直

12、線與圓相離，如圖， S四邊形PACB＝S△PAC＋S△PBC， 而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|， S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|， 又|PA|＝|PB|＝，所以當(dāng)|PC|取最小值時，|PA|＝|PB|取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此時，CP⊥l，四邊形PACB面積的最小值為2，S△PAC＝S△PBC＝，所以|PA|＝2，所以|CP|＝3，所以＝3，因為k＞0，所以k＝3.] 圓與圓的位置關(guān)系 【例4】　已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求證：圓C1和圓C2相交； (2)求

13、圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長． [解]　(1)證明：圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－， ∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圓C1和圓C2相交． (2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0. 圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離＝＝3，故公共弦長為2＝2. [規(guī)律方法]　1.判斷兩圓位置關(guān)系的方法,常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對值的大小

14、關(guān)系判斷，一般不用代數(shù)法.重視兩圓內(nèi)切的情況，作圖觀察. 2.兩圓相交時，公共弦所在直線方程的求法,兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到. 3.兩圓公共弦長的求法,求兩圓公共弦長，常選其中一圓，由弦心距d，半弦長，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解. (1)(2016·山東高考)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 (2)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝

15、(　　) A．21 B．19 C．9 D．－11 (1)B　(2)C　[(1)法一：由得兩交點為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長度為2， ∴＝2.又a>0，∴a＝2. ∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4， 圓心M(0,2)，半徑r1＝2. 又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1， ∴|MN|＝＝. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交． 法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a. ∵圓M截直線x＋y＝0所

16、得線段的長度為2，∴圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝，解得a＝2. 以下同法一． (2)圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m＜25)．從而|C1C2|＝＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故選C.] 1．(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．若|AB|＝2，則|CD|＝________. 4　[由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定

17、點(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝. 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直線l的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝. 畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.] 2．(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． [－1,1]　[如圖，過點M作⊙O的切線，切點為N，連接ON.M點的縱坐標(biāo)為1，MN與⊙O相切于點N. 設(shè)∠OMN＝θ，則θ≥45°，即sin θ≥，即≥.而ON＝1，∴OM≤. ∵M為(x0,1

18、)，∴≤， ∴x≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范圍為[－1,1]．] 3．(2015·全國卷Ⅰ)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|. [解]　(1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1. 因為直線l與圓C交于兩點，所以<1， 解得