《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明學(xué)案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2節(jié) 不等式的證明學(xué)案 文 北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　不等式的證明 [考綱傳真]　通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． (對應(yīng)學(xué)生用書第166頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．不等式證明的方法 (1)比較法： ①求差比較法： 知道a>b?a－b>0，ab，只要證明a－b＞0即可，這種方法稱為求差比較法． ②求商比較法： 由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b>0時，要證明a>b，只要證明＞1即可，這種方法稱為求商比較法． (2)分析法： 從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推直至達(dá)到已知條件為止．這種證法稱為分析法，即

2、“執(zhí)果索因”的證明方法． (3)綜合法： 從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或已知證明過的不等式)，推出了所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法． (4)幾何法：通過構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的解法稱為幾何法． (5)放縮法和反證法： 在證明不等式時，有時可以通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法． 反證法是常用的證明方法．它是通過證明命題結(jié)論的否定不能成立，來肯定命題結(jié)論一定成立．其證明的步驟是：①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；

3、③否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 2．幾個常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代數(shù)形式：對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當(dāng)向量(a，d)與向量(c，d)共線時．等號成立)． ②柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立． ③一般形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實數(shù)，則有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)向量(a1，a2，…，an)與向量(b1，b2，…，bn)共

4、線時，等號成立． (2)算術(shù)—幾何平均不等式 若a1，a2，…，an為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時，等號成立． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論．(　　) (2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論．(　　) (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實．(　　) (4)使用反證法時，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用．(　　

5、) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，則x與y的大小關(guān)系是(　　) A．x＞y　　　 B．x＜y C．x≥y D．x≤y A　[x－y＝a＋－ ＝a－b＋＝. 由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0， 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.] 3．(教材改編)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N的大小關(guān)系為________． M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

6、 因為a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2B．] 4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，則＋的最小值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：00090380】 4　[由題意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立．] 5．已知x＞0，y＞0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. [證明]　因為x＞0，y＞0， 所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0， 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y

7、)≥3·3＝9xy. (對應(yīng)學(xué)生用書第167頁) 比較法證明不等式 　已知a＞0，b＞0，求證：＋≥＋. [證明]　法一：∵－(＋) ＝＋＝＋ ＝＝≥0， ∴＋≥＋. 10分 法二：由于＝ ＝ ＝－1 ≥－1＝1. 8分 又a＞0，b＞0，＞0， ∴＋≥＋. 10分 [規(guī)律方法]　1.在法一中，采用局部通分，優(yōu)化了解題過程；在法二中，利用不等式的性質(zhì)，把證明a＞b轉(zhuǎn)化為證明＞1(b＞0)． 2．作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號． 提醒：在使用作商比較法時，要注意

8、說明分母的符號． [變式訓(xùn)練1]　(2018·長沙模擬)設(shè)a，b是非負(fù)實數(shù)， 求證：a2＋b2≥(a＋b)． [證明]　因為a2＋b2－(a＋b) ＝(a2－a)＋(b2－b) ＝a(－)＋b(－) ＝(－)(a－b) ＝. 6分 因為a≥0，b≥0，所以不論a≥b≥0，還是0≤a≤b，都有a－b與a－b 同號，所以(a－b)≥0， 所以a2＋b2≥(a＋b). 10分 綜合法證明不等式 　(2018·長春模擬)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. [證明]　(1)由a2＋b2≥

9、2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. 5分 (2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 則＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1. 10分 [規(guī)律方法]　1.綜合法證明的實質(zhì)是由因?qū)Ч渥C明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)式是“∵，∴”或“?”．

10、 2．綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． [變式訓(xùn)練2]　(2017·石家莊調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求f(x)的最小值m； (2)若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3. 【導(dǎo)學(xué)號：00090381】 [解]　(1)當(dāng)x＜－1時，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3； 2分 當(dāng)－1≤x＜2時，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)； 當(dāng)x≥2時，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6.

11、 綜上，f(x)的最小值m＝3. 5分 (2)證明：a，b，c均為正實數(shù)，且滿足a＋b＋c＝3， 因為＋＋＋(a＋b＋c) ＝＋＋ ≥2＝2(a＋b＋c). 8分 (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時取“＝”) 所以＋＋≥a＋b＋c， 即＋＋≥3. 10分 分析法證明不等式 　(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： (1)若ab>cd，則＋>＋； (2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． [證明]　(1)∵a，b，c，d為正數(shù)，且a＋b＝c＋d， 欲證＋＞＋， 只需證明(＋)2＞(＋)2， 也就

12、是證明a＋b＋2＞c＋d＋2， 只需證明＞， 即證ab＞cD． 由于ab＞cd， 因此＋＞＋. 5分 (2)①若|a－b|<|c－d|， 則(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cD． 因為a＋b＝c＋d，所以ab>cD． 由(1)，得＋>＋. 8分 ②若＋>＋， 則(＋)2>(＋)2， 即a＋b＋2>c＋d＋2. 因為a＋b＝c＋d，所以ab>cD． 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|

13、的充要條件. 10分 [規(guī)律方法]　1.本題將不等式證明與充要條件的判定滲透命題，考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，由于兩個不等式兩邊都是正數(shù)，可通過兩邊平方來證明． 2．當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆． 3．分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，其框圖表示為： →→→…→ [變式訓(xùn)練3]　已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證：＜A． [證明]　要證＜a， 只需證b2－ac＜3a2. ∵a＋b＋c＝0，只需證b2＋a(a＋b)＜3a2， 只需證2a2－ab－b2＞0， 4分 只需證(a－b)(2a＋b)＞0， 只需證(a－b)(a－c)＞0. ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0， ∴(a－b)(a－c)＞0顯然成立， 故原不等式成立. 10分 7