《2019屆高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 概率 高考專題突破六 高考中的概率與統(tǒng)計問題學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019屆高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 概率 高考專題突破六 高考中的概率與統(tǒng)計問題學案 文 北師大版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高考專題突破六　高考中的概率與統(tǒng)計問題 【考點自測】 1．在可行域內(nèi)任取一點，其規(guī)則如算法框圖所示，則能輸出數(shù)對(x，y)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意知，可行域為正方形，輸出數(shù)對(x，y)形成的圖形為圖中陰影部分，故所求概率為 P＝＝. 2．(2017·湖南邵陽二模)假設有兩個分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下： y1 y2 總計 x1 a 10 a＋10 x2 c 30 c＋30 總計 60 40 100 對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為(　　) A．a(chǎn)＝45

2、，c＝15 B．a(chǎn)＝40，c＝20 C．a(chǎn)＝35，c＝25 D．a(chǎn)＝30，c＝30 答案　A 解析　根據(jù)2×2列聯(lián)表與獨立性檢驗可知，當與相差越大時，X與Y有關系的可能性越大，即a，c相差越大，與相差越大，故選A. 3．設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為(　　) A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a C．1,4 D．1,4＋a 答案　A 解析　＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值為1＋a，方差不變?nèi)詾?.故選A. 4．已知高

3、一年級某班有63名學生，現(xiàn)要選1名學生作為標兵，每名學生被選中的概率是相同的，若“選出的標兵是女生”的概率是“選出的標兵是男生”的概率的，則這個班男生的人數(shù)為________． 答案　33 解析　根據(jù)題意，設該班的男生人數(shù)為x，則女生人數(shù)為63－x，因為每名學生被選中的概率是相同的， 根據(jù)古典概型的概率計算公式知，“選出的標兵是女生”的概率是，“選出的標兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故這個班男生的人數(shù)為33. 5．某單位為了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 用電量(度

4、) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程為y＝bx＋a中的b＝－2，預測當氣溫為－4 ℃時，用電量約為________度． 答案　68 解析　根據(jù)題意知＝＝10，＝＝40，因為回歸直線過樣本點的中心， 所以a＝40－(－2)×10＝60，所以當x＝－4時，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量約為68度. 題型一　古典概型與幾何概型 例1 (1)(2017·榆林二模)若函數(shù)f(x)＝ 在區(qū)間[0，e]上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A. B．1－ C. D. 答案　B 解析　當0≤x<1時，f(

5、x)

6、B，BAA，BAB，共4種．故所求事件的概率為.故選C. 思維升華 幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗結果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長度、面積、體積等，解決幾何概型的關鍵是找準幾何測度；古典概型是命題的重點，對于較復雜的基本事件，列舉時要按照一定的規(guī)律進行，做到不重不漏． 跟蹤訓練1　(1)(2017·商丘二模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有Δ

7、＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值． 滿足a2>b2的有6個基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)， 所以所求事件的概率為＝. (2)(2017·青島模擬)如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角θ＝.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是________． 答案

8、　 解析　易知小正方形的邊長為－1，故小正方形的面積為S1＝(－1)2＝4－2， 又大正方形的面積為S＝2×2＝4，故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P＝＝＝. 題型二　概率與統(tǒng)計的綜合應用 例2 (2017·西安質(zhì)檢)長時間用手機上網(wǎng)嚴重影響著學生的身體健康，某校為了解A，B兩班學生手機上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調(diào)查，將他們平均每周手機上網(wǎng)的時長作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字)． (1)你能否估計哪個班級平均每周上網(wǎng)時間較長？ (2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21

9、的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率． 解　(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9＋11＋14＋20＋31)＝17， 由此估計A班學生每周平均上網(wǎng)時間為17小時； B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為 (11＋12＋21＋25＋26)＝19， 由此估計B班學生每周平均上網(wǎng)時間為19小時． 所以B班學生上網(wǎng)時間較長． (2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個，分別為11,12,21.從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有9種不同的情況， 分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，

10、(14,11)，(14,12)，(14,21)， 其中a>b的情況有(14,11)，(14,12)2種，故a>b的概率P＝. 思維升華 概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性． 跟蹤訓練2 某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求圖中實數(shù)a的值； (2)若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考

11、試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)； (3)若從數(shù)學成績在[40,50)與[90,100)兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率． 解　(1)由已知，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.03. (2)根據(jù)頻率分布直方圖，可知成績不低于60分的頻率為1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于該校高一年級共有學生640人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)為640×0.85＝544. (3)易知成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.

12、05＝2，這2人分別記為A，B；成績在[90,100)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1＝4，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn).若從數(shù)學成績在[40,50)與[90,100)兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取2名學生，則所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15個．如果2名學生的數(shù)學成績都在[40,50)分數(shù)段內(nèi)或都在[90,100)分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)，另一個成績在[90,

13、100)分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定大于10.記“這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共7個，故所求概率P(M)＝. 題型三　概率與統(tǒng)計案例的綜合應用 例3 某校計劃面向高一年級1 200名學生開設校本選修課程，為確保工作的順利實施，先按性別進行分層抽樣，抽取了180名學生對社會科學類、自然科學類這兩大類校本選修課程進行選課意向調(diào)查，其中男生有105人．在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45人． (1)分別計算抽取的樣本中男生、

14、女生選擇社會科學類的頻率，并以統(tǒng)計的頻率作為概率，估計實際選課中選擇社會科學類的學生人數(shù)； (2)根據(jù)抽取的180名學生的調(diào)查結果，完成以下2×2列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關？ 選擇自然科學類 選擇社會科學類 合計 男生 女生 合計 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(χ2≥k) 0.050 0.025 0.

15、010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)由條件知，抽取的男生有105人，女生有180－105＝75(人)．男生選擇社會科學類的頻率為＝，女生選擇社會科學類的頻率為＝. 由題意，知男生總數(shù)為1 200×＝700， 女生總數(shù)為1 200×＝500， 所以估計選擇社會科學類的人數(shù)為 700×＋500×＝600. (2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表如下： 選擇自然科學類 選擇社會科學類 合計 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計 90 90 1

16、80 則χ2＝＝≈5.142 9>5.024， 所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下能認為科類的選擇與性別有關． 思維升華 統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應的概率計算對應起來，只有這樣才能有效地解決問題． 跟蹤訓練3 近幾年出現(xiàn)各種食品問題，食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾?。疄榱私馊呒膊∈欠衽c性別有關，醫(yī)院隨機對入院的60人進行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表： (1)請將如圖的列聯(lián)表補充完整．若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女生抽

17、多少人？ (2)為了研究患三高疾病是否與性別有關，請計算出統(tǒng)計量χ2，并說明是否可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為患三高疾病與性別有關. 患三高疾病 不患三高疾病 總計 男 6 30 女 總計 36 下面的臨界值表供參考： P (χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d) 解　(1)完善補充列聯(lián)表如下： 患

18、三高疾病 不患三高疾病 總計 男 24 6 30 女 12 18 30 總計 36 24 60 在患三高疾病人群中抽9人，則抽取比例為＝， 所以女性應該抽取12×＝3(人)． (2)根據(jù)2×2列聯(lián)表，則 χ2＝＝10>7.879. 所以可以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為患三高疾病與性別有關． 1．某單位對職員中的老年、中年、青年進行健康狀況調(diào)查，其中老年、中年、青年職員的人數(shù)之比為k∶5∶3，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為120的樣本，已知在老年職員中抽取了24人，則在青年職員中抽取的人數(shù)為___________________

19、____． 答案　36 解析　∵老年、中年、青年職員的人數(shù)之比為k∶5∶3， ∴＝，解得k＝2，∴在青年職員中抽取的人數(shù)為120×＝36. 2．在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的所有格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點)中任取3個點，則該3點恰能作為一個三角形的3個頂點的概率為________． 答案　 解析　不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的格點有(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5個，從中任取3個點，有10種取法，其中共線的3點不能構成三角形，有(3,1)，(3,2)，(3,3)，1種情況，所以能夠作為三角形3個頂點的情況有9種，故所求概率是. 3．(2018

20、·唐山模擬)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率； (2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80的為“

21、生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”？ P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 附：χ2＝. 解　(1)由已知得，樣本中有25周歲以上(含25周歲)組工人60名，25周歲以下組工人40名． 所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60的工人中，25周歲以上(含25周歲)組工人有60×0.05＝3(人)，記為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人)，記為B1，B2. 從中隨機抽取2名工人，所有的可能結果共有

22、10種，它們是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)． 其中，至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結果共有7種，它們是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝. (2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上(含25周歲)組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下： 生

23、產(chǎn)能手 非生產(chǎn)能手 合計 25周歲以上(含25周歲)組 15 45 60 25周歲以下組 15 25 40 合計 30 70 100 所以得χ2＝ ＝＝≈1.79. 因為1.79＜2.706. 所以沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”． 4．(2018·北京海淀區(qū)模擬)某商場在元旦舉行購物抽獎促銷活動，規(guī)定顧客從裝有編號為0,1,2,3,4的五個相同小球的抽獎箱中一次任意摸出兩個小球，若取出的兩個小球的編號之和等于7，則中一等獎，等于6或5，則中二等獎，等于4，則中三等獎，其余結果為不中獎． (1)求中二等獎的概率； (2)求不中獎的

24、概率． 解　(1)記“中二等獎”為事件A. 從五個小球中一次任意摸出兩個小球，不同的結果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10個基本事件． 記兩個小球的編號之和為x，由題意可知，事件A包括兩個互斥事件：x＝5，x＝6. 事件x＝5的取法有2種，即{1,4}，{2,3}， 故P(x＝5)＝＝； 事件x＝6的取法有1種，即{2,4}，故P(x＝6)＝. 所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝. (2)記“不中獎”為事件B，則“中獎”為事件，由題意可知，事件包括三個互斥事件：中一等獎(x

25、＝7)，中二等獎(事件A)，中三等獎(x＝4)． 事件x＝7的取法有1種，即{3,4}，故P(x＝7)＝； 事件x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2種， 故P(x＝4)＝＝. 由(1)可知，P(A)＝. 所以P()＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A) ＝＋＋＝. 所以不中獎的概率為P(B)＝1－P()＝1－＝. 5．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件的個數(shù)x(個) 2 3 4 5 加工的時間y(小時) 2.5 3 4 4.5 (1)求出y關于x的線性回歸方程y＝bx＋a，并在坐

26、標系中畫出回歸直線； (2)試預測加工10個零件需要的時間． (注：b＝，a＝－b，iyi＝52.5，＝54) 解　(1)由表中數(shù)據(jù)得＝×(2＋3＋4＋5)＝3.5， ＝×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5， ∴b＝＝0.7， a＝3.5－0.7×3.5＝1.05. ∴y＝0.7x＋1.05. 回歸直線如圖所示． (2)將x＝10代入線性回歸方程，得 y＝0.7×10＋1.05＝8.05， 故預測加工10個零件需要8.05小時． 6．某校高三期中考試后，數(shù)學教師對本次全部數(shù)學成績按1∶20進行分層抽樣，隨機抽取了20名學生的成績?yōu)闃颖荆煽冇们o葉圖記錄如圖所示，

27、但部分數(shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下表所示的頻率分布表： 分數(shù)段(分) [50，70) [70，90) [90，110) [110，130) [130，150) 總計 頻數(shù) b 頻率 a 0.25 (1)求表中a，b的值及成績在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)，并估計這次考試全校高三學生數(shù)學成績的及格率(成績在[90,150)內(nèi)為及格)； (2)若從莖葉圖中成績在[100,130)范圍內(nèi)的樣本中一次性抽取兩個，求取出兩個樣本數(shù)字之差的絕對值小于或等于10的概率． 解　(1)由莖葉圖知成績在[50,70)范圍內(nèi)的有2人，在[1

28、10,130)范圍內(nèi)的有3人， ∴a＝0.1，b＝3. ∵成績在[90,110)范圍內(nèi)的頻率為1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成績在[90,110)范圍內(nèi)的樣本數(shù)為20×0.4＝8. 估計這次考試全校高三學生數(shù)學成績的及格率為 P＝1－0.1－0.25＝0.65. (2)所有可能的結果為 (100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21個， 取出的兩個樣本中數(shù)字之差小于或等于10的結果為(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)，共10個， ∴P(A)＝. 13