《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第4章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 章末復(fù)習(xí)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第4章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 章末復(fù)習(xí)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 知識(shí)系統(tǒng)整合 規(guī)律方法收藏 1．指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算、求值、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題主要依據(jù)指數(shù)式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，在進(jìn)行指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算時(shí)還要注意相互間的轉(zhuǎn)化． 2．指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及圖象特點(diǎn)是這部分知識(shí)的重點(diǎn)，而底數(shù)a的不同取值對(duì)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的影響則是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)兩個(gè)區(qū)間取值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性及圖象特點(diǎn)． 3．比較幾個(gè)數(shù)的大小是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，在具體比較時(shí)，可以首先將它們與零比較，分出正數(shù)、負(fù)數(shù)；再將正數(shù)與1比較，分出大于1還是小于1；然后在各類中兩兩相比較． 4．求含有指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的

2、復(fù)合函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要考慮指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定其單調(diào)區(qū)間，要注意單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集．其次要結(jié)合函數(shù)的圖象，觀察確定其最值或單調(diào)區(qū)間． 5．函數(shù)圖象是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，在歷年高考中都有涉及．考查形式有知式選圖、知圖選式、圖象變換以及用圖象解題．函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)．在解方程或不等式時(shí)，特別是非常規(guī)的方程或不等式，畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合能快速解決問(wèn)題． 6．方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)． 7．零點(diǎn)判斷法：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是

3、一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)c，除此之外，還可能有其他的變號(hào)零點(diǎn)或不變號(hào)零點(diǎn)．若f(a)f(b)>0，則f(x)在(a，b)內(nèi)可能有零點(diǎn)，也可能無(wú)零點(diǎn)． 8．二分法只能求出其中某一個(gè)零點(diǎn)的近似值，另外應(yīng)注意初始區(qū)間的選擇． 9．用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程如下： 學(xué)科思想培優(yōu) 一、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的典型問(wèn)題及求解策略 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)主要是指函數(shù)

4、的定義域、值域、單調(diào)性等，其中單調(diào)性是高考考查的重點(diǎn)，并且經(jīng)常以復(fù)合函數(shù)的形式考查，求解此類問(wèn)題時(shí)，要以已學(xué)函數(shù)的單調(diào)性為主，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則，在函數(shù)定義域內(nèi)進(jìn)行討論． 1．求定義域 [典例1]　(1)函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] (2)函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)?　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 解析　(1)由題意得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指數(shù)函數(shù)y＝x為R上的單調(diào)減函數(shù)，所以2x－

5、1≤－3，解得x≤－1. (2)要使函數(shù)式有意義，需 即得x∈(－1,0)∪(0,2]． 答案　(1)C　(2)B 2．比較大小問(wèn)題 比較幾個(gè)數(shù)的大小是指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的又一重要應(yīng)用，其基本方法是：將兩個(gè)需要比較大小的實(shí)數(shù)看成某類函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該類函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；有時(shí)也采用搭橋法、圖象法、特殊值法、作圖法等方法． [典例2]　若0

6、gax的影響：當(dāng)0logy3，錯(cuò)誤． 對(duì)于C，函數(shù)y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故log4xy，錯(cuò)誤． 答案　C [典例3]　比較三個(gè)數(shù)0.32，log20.3,20.3的大?。? 解　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.320＝1，∴l(xiāng)og20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函數(shù)y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致圖象，如圖所示，畫出直線x＝0.3，根據(jù)直線與三個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)

7、位置，即可看出log20.3<0.32<20.3. 3．與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性問(wèn)題 [典例4]　是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝loga(ax2－x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增？如果存在，求出a的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　設(shè)g(x)＝ax2－x，假設(shè)符合條件的a存在． 當(dāng)a>1時(shí)，為使函數(shù)f(x)＝loga(ax2－x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增，只需g(x)＝ax2－x在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增，故應(yīng)滿足解得a>，∴a>1. 當(dāng)0

8、應(yīng)滿足此不等式組無(wú)解． 綜上可知，存在實(shí)數(shù)a，使f(x)＝loga(ax2－x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增，a的取值范圍是a>1. 二、函數(shù)的圖象問(wèn)題 對(duì)于給定的函數(shù)圖象，要能從函數(shù)左右、上下的分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)．注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系，能夠通過(guò)變換畫出函數(shù)的圖象． 1．圖象的變換 [典例5]　為了得到函數(shù)y＝lg 的圖象，只需把函數(shù)y＝lg x的圖象上所有的點(diǎn)(　　) A．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平

9、移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 解析　∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需將y＝lg x 的圖象上所有的點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)y＝lg 的圖象． 答案　C 2．根據(jù)函數(shù)解析式確定圖象 [典例6]　已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，則y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是(　　) 解析　由f(4)g(4)<0知a2·loga4<0，∴l(xiāng)oga4<0，∴0

10、 三、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn) 一般來(lái)說(shuō)，小題對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，僅限于這兩類函數(shù)本身的概念、圖象與性質(zhì)．而解答題往往注重考查與這兩類函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)．這類題目的解題思想是：通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成其他函數(shù)，或是將其他函數(shù)通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸，變成這兩類函數(shù)來(lái)處理． [典例7]　已知函數(shù)f(x)＝x，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，求函數(shù)y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)． 解　∵x∈[－1,1]，∴x∈. ∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝2x－2ax＋3 ＝2＋3－a2. 令t＝x，則t∈. 若a<，則當(dāng)t＝，即x＝1時(shí)， ymin＝－＋3＝－. 若≤a≤3，則

11、當(dāng)t＝a，即x＝loga時(shí)，ymin＝3－a2. 若a>3，則當(dāng)t＝3，即x＝－1時(shí)， ymin＝9－6a＋3＝12－6A． 綜上可知：g(a)＝ 四、函數(shù)零點(diǎn)與方程的解 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的解，判斷一個(gè)方程是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是判斷方程f(x)＝0是否有解，有幾個(gè)解．從圖形上說(shuō)，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三者之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，利用它們之間的關(guān)系，可以解決很多函數(shù)、方程與不等式的問(wèn)題．在高考中有許多問(wèn)題涉及三者的相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)引起我們的重視． [典例8

12、]　關(guān)于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分別為α，β，則α＋β等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析　將方程變形為lg x＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y1＝lg x，y2＝10x，y3＝3－x的圖象，如圖所示．這樣方程lg x＝3－x的解可以看成函數(shù)y1＝lg x和y3＝3－x的圖象的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，方程10x＝3－x的解可以看成函數(shù)y2＝10x和y3＝3－x的圖象交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．因?yàn)楹瘮?shù)y1＝lg x和y2＝10x互為反函數(shù)，所以y1＝lg x和y2＝10x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱

13、，由題意可得出A，B兩點(diǎn)也關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(α，β)，B(β，α)．而A，B兩點(diǎn)都在直線y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3. 答案　D [典例9]　已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是________． 答案　x1＜x2＜x3 解析　令x＋2x＝0，得2x＝－x； 令x＋ln x＝0，得ln x＝－x； 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的圖象，如圖可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－－1＝0，則()2－－1＝0，所

14、以＝，即x3＝2＞1.所以x1＜x2＜x3. 五、函數(shù)模型的應(yīng)用 針對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們應(yīng)該選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫．這當(dāng)然需要我們深刻理解已學(xué)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握已學(xué)函數(shù)的特點(diǎn)，并對(duì)一些重要的函數(shù)模型要有清晰的認(rèn)識(shí)．對(duì)于一個(gè)具體的應(yīng)用題，原題中的數(shù)量間的關(guān)系，一般是以文字和符號(hào)的形式給出，也有的是以圖象的形式給出，此時(shí)我們要分析數(shù)量變化的特點(diǎn)和規(guī)律，選擇較為接近的函數(shù)模型進(jìn)行模擬，從而解決一些實(shí)際問(wèn)題或預(yù)測(cè)一些結(jié)果． [典例10]　為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如表所示． (1)

15、描點(diǎn)畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象； (2)建立一個(gè)能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫出圖象； (3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，估計(jì)若今年最大積雪深度為25 cm，則可以灌溉土地多少公頃？ 解　(1)描點(diǎn)、作圖，如圖甲所示： (2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線附近，由此，我們假設(shè)灌溉面積y與最大積雪深度x滿足一次函數(shù)模型y＝a＋bx(a，b為常數(shù)且b≠0)．取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用計(jì)算器可得a≈2.2，b≈1.8.這樣，得到一個(gè)函數(shù)模型： y＝2.2＋1.8x，作出函數(shù)圖象如圖乙，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與

16、已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說(shuō)明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系． (3)由(2)得到的函數(shù)模型為y＝2.2＋1.8x，則由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即當(dāng)最大積雪深度為25 cm 時(shí)，可以灌溉土地約為47.2公頃． [典例11]　載人飛船是通過(guò)火箭發(fā)射的．已知某型號(hào)火箭的起飛重量M t是箭體(包括搭載的飛行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y km/s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y＝k[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2(其中k≠0，ln x是以e為底x的對(duì)數(shù))．當(dāng)燃料重量為(－1)m t時(shí)，該火箭的最大速度為4 k

17、m/s. (1)求此型號(hào)火箭的最大速度y km/s與燃料重量x t之間的函數(shù)解析式； (2)若此型號(hào)火箭的起飛重量是479.8 t，則應(yīng)裝載多少噸燃料(精確到0.1 t，取e＝2.718)才能使火箭的最大飛行速度達(dá)到8 km/s，順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的橢圓軌道？ 解　(1)由題意，得4＝k{ln [m＋(－1)m]－ln (m)}＋4ln 2，解得k＝8， 所以y＝8[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2＝8ln . (2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，則m＝479.8－x. 將y＝8代入(1)中所得式中，得 8＝8ln . 解得x≈303.3. 答：應(yīng)裝載約303.3 t燃料，才能使火箭的最大飛行速度達(dá)到8 km/s，順利地把飛船送到預(yù)定的橢圓軌道． - 10 -