《2019年高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 第2節(jié) 參數(shù)方程學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 第2節(jié) 參數(shù)方程學案 文 北師大版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　參數(shù)方程 [考綱傳真]　1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程． (對應學生用書第161頁) [基礎知識填充] 1．曲線的參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)． 2．參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程． (2)如

2、果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程． 3．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 點的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) 溫馨提示：在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打

3、“×”) (1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)．(　　) (2)過M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數(shù)量．(　　) (3)方程表示以點(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．(　　) (4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)曲線(θ為參數(shù))的對稱中心(　　) A．在直線y＝2x上 B．在直線y＝－2x上 C．在直線y＝x－

4、1上 D．在直線y＝x＋1上 B　[由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1. 曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓， 所以對稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上．] 3．(教材改編)在平面直角坐標系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為________． x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t， 消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.] 4．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C1的極坐標方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點的直角坐標為________．

5、 (2，－4)　[由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.① 由消去t得y2＝8x.② 聯(lián)立①②得即交點坐標為(2，－4)．] 5．(2016·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長. 【導學號：00090372】 [解]　橢圓C的普通方程為x2＋＝1. 2分 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0， 8分 解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝. 10分 (對應學生用書第162頁) 參數(shù)

6、方程與普通方程的互化 　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 2分 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. 4分 (2)因為直線l與圓C有公共點， 故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4， 8分 解得－2≤a≤2. 10分 [規(guī)律方法]　1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù)． 2．把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普

7、通方程中x及y的取值范圍的影響，要保持同解變形． [變式訓練1]　在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點，求常數(shù)a的值． [解]　直線l的普通方程為x－y－a＝0， 橢圓C的普通方程為＋＝1， 4分 所以橢圓C的右頂點坐標為(3,0)， 若直線l過橢圓的右頂點(3,0)， 則3－0－a＝0，所以a＝3. 10分 參數(shù)方程的應用 　(2018·合肥模擬)已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA

8、|的最大值與最小值． [解]　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. 4分 (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 8分 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 10分 [規(guī)律方法]　1.解決直線與圓的參數(shù)方程的應用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題． 2．對于形如(t為參數(shù))

9、，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題． [變式訓練2]　(2017·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過點P(1,2)，傾斜角α＝. (1)寫出圓C的普通方程和直線l的參數(shù)方程； (2)設直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值. 【導學號：00090373】 [解]　(1)由消去θ， 得圓C的普通方程為x2＋y2＝16. 2分 又直線l過點P(1,2)且傾斜角α＝， 所以l的參數(shù)方程為 即(t為參數(shù)). 4分 (2)把直線l的參數(shù)方程 代入x2＋y2＝16， 得2

10、＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0， 所以t1t2＝－11， 8分 由參數(shù)方程的幾何意義，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11. 10分 參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應用 　(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C． (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． [解]　(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；

11、1分 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2). 2分 設P(x，y)，由題設得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0). 4分 (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π). 5分 聯(lián)立得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ). 6分 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 8分 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. 10分 [規(guī)律方法]　1.參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通

12、方程和直角坐標方程后求解．當然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程． 2．數(shù)形結(jié)合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，可化繁為簡． [變式訓練3]　(2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標． [解]　(1)C1的普通方程為＋y2＝1， 2分 由于曲線C2的方程為ρsin＝2， 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4， 因此曲線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. 4分 (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cos α，sin α)． 因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，8分 又d(α)＝＝， 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為. 10分 5