《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式教學(xué)案 文（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式教學(xué)案 文（含解析）北師大版（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 [考綱傳真]　1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式． 1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝. 2．誘導(dǎo)公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α

2、 cos α －cos_α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan_α cot α －cot α 口訣 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形 (1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)． (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (4)sin α＝tan αcos α. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，

3、錯(cuò)誤的打“×”) (1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知α是第二象限角，sin α＝，則cos α等于(　　) A．－　 B．－　　　C．　　　D． B　[∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－.] 3．sin 750°＝________. 　[sin 750°＝sin(2×360°

4、＋30°)＝sin 30°＝.] 4．已知sin＝，α∈，則sin(π＋α)＝________. －　[因?yàn)閟in＝cos α＝，α∈，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.] 5．(教材改編)已知tan α＝2，則的值為________． 　[＝＝＝.] 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用 1．若α是三角形的內(nèi)角，且tan α＝－，則sin α＋cos α的值為(　　) A．　 B． C．－ D．－ C　[由tan α＝－，得sin α＝－cos α，將其代入sin2α＋cos2α＝1， 得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，

5、 ∴cos α＝－，sin α＝， 故sin α＋cos α＝－.] 2．(2019·合肥模擬)已知tan α＝－，則sin α(sin α－cos α)＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[sin α(sin α－cos α)＝sin2α－sin αcos α＝＝，將tan α＝－代入， 得原式＝＝，故選A．] 3．已知sin αcos α＝，且＜α＜，則cos α－sin α的值為(　　) A．－ B． C．－ D． B　[∵＜α＜， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin

6、 α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝，故選B．] 4．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ的值為(　　) A． B．－ C． D．－ B　[因?yàn)?sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，則(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝.又因?yàn)棣取?，所以sin θ＜cos θ， 即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－，故選B．]

7、[規(guī)律方法]　同角三角函數(shù)關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化． (2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【例1】　(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________.

8、 (2)已知cos＝a，則cos＋sin＝________. (3)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是________． (1)　(2)0　(3){2，－2}　[(1)原式＝－sin 1 200°cos 1290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝×＝. (2)cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a ∴cos＋sin＝－a＋a＝0. (3)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝＋＝2；k為奇數(shù)時(shí)，A＝－

9、＝－2，因此A的值構(gòu)成的集合為{2，－2} .] [規(guī)律方法]　1.誘導(dǎo)公式用法的一般思路 (1)化負(fù)為正，化大為小，化到銳角為止． (2)角中含有加減的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉的整數(shù)倍． 2．常見的互余和互補(bǔ)的角 (1)常見的互余的角：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等． (2)常見的互補(bǔ)的角：＋θ與－θ；＋θ與－θ等． 3．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方向 (1)切化弦，統(tǒng)一名． (2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角． (3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn)． (1)已知α∈，且cos α＝－，則＝(　　) A． B．－ C． D．－ (2)已知sin＝，則cos＝________.

10、(1)C　(2)　[(1)＝ ＝＝， 又α∈，cos α＝－，則sin α＝， 從而＝＝，故選C． (2)因?yàn)椋? 所以cos＝cos ＝sin＝.] 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 【例2】　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. (2)已知cos＝2sin，則的值為________． (1)－　(2)　[(1)由題意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝. sin＝sin＝cos＝， cos＝cos＝sin＝. ∴tan＝－tan＝－. (2)∵cos＝2sin，

11、 ∴－sin α＝－2cos α， 則sin α＝2cos α， 代入sin2α＋cos2α＝1， 得cos2α＝. ＝ ＝＝cos2α－＝.] [規(guī)律方法]　化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的基本思路和要求 (1)基本思路 ①分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡(jiǎn)形式． (2)化簡(jiǎn)要求：①化簡(jiǎn)過程是恒等變形；②結(jié)構(gòu)要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值． (1)(2019·唐山模擬)已知sin＝，那么tan α的值為(　　) A．－ B．－ C．± D．± (2)設(shè)f(α)＝(1＋2sin α≠0)，則f＝______

12、__. (1)C　(2)　[sin＝sin＝cos α＝， 則sin α＝±，所以tan α＝＝±，故選C． (2)因?yàn)閒(α)＝ ＝＝＝， 所以f＝ ＝＝＝.] 1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，則sin 2α＝(　　) A．－　 B．－　　　C．　　　D． A　[∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝， ∴sin 2α＝－. 故選A．] 2．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)若tan θ＝－，則cos 2θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　[∵cos 2θ＝＝ 又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.] 3．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A． B． C．1 D． A　[因?yàn)閠an α＝，則cos2α＋2sin 2α＝ ＝＝＝.故選A．] - 9 -