《2020版高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第8節(jié) 函數與方程教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第8節(jié) 函數與方程教學案 文（含解析）北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第八節(jié)　函數與方程 [考綱傳真]　結合二次函數的圖像，了解函數的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數． 1．函數的零點 (1)定義：把函數y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數的零點． (2)三個等價關系：方程f(x)＝0有實數解?函數f(x)的圖像與x軸有公共點?函數y＝f(x)有零點． (3)函數零點的判定(零點存在性定理)：若函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數值符號相反，即f(a)·f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內，函數y＝f(x)至少有一個零點． 2．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像與

2、零點的關系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖像 與x軸的交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點 零點個數 2 1 0 1．函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，則“f(a)·f(b)＜0”是函數f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點的充分不必要條件． 2．若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調函數，且f(a)·f(b)＜0，則函數f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個零點． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函

3、數的零點就是函數的圖像與x軸的交點． (　　) (2)函數y＝f(x)，x∈D在區(qū)間(a，b)?D內有零點(函數圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0． (　　) (3)若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)·f(b)＜0，則函數f(x)在[a，b]上有且只有一個零點． (　　) (4)二次函數y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0時沒有零點． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是(　　) A．0　　 B．1　　　　C．2　　 D．3 B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(

4、x)在(－1,0)內有零點，又f(x)為增函數，∴函數f(x)有且只有一個零點．] 3．下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(　　) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 A　[由于y＝sin x是奇函數，y＝ln x是非奇非偶函數，y＝x2＋1是偶函數但沒有零點，只有y＝cos x是偶函數又有零點．] 4．函數f(x)＝3x－x2的零點所在區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0) D　[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－， f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5， ∴f(0)f(1)＞0，f

5、(1)f(2)＞0， f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0， 故選D.] 5．函數f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是________． 　[∵函數f(x)的圖像為直線，由題意可得f(－1)f(1)＜0，∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，∴實數a的取值范圍是.] 判斷函數零點所在的區(qū)間 1．若a＜b＜c，則函數f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b)和(b，c)內　　 B．(－∞，a)和(a，b)內 C．(b，c)和

6、(c，＋∞)內 D．(－∞，a)和(c，＋∞)內 A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0， f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由函數零點存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)和(b，c)內分別存在零點，又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點，因此函數f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內，故選A．] 2．設x0是方程＝的解，則x0所在的范圍是(　　) A． B． C． D． B　[構造函數f(x)＝－， 因為f(0)＝－＝1＞0， f ＝－＝－＞0，f ＝－＝－＜0.所以由零點存在性定理可得函數f(x)＝－

7、在上存在零點，即x0∈，故選B．] 3．設函數y1＝x3與y2＝的圖像的交點為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________． (1,2)　[設f(x)＝x3－，則f(x)在R上是增函數， 又f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－1＝7＞0， 則x0∈(1,2)．] 4．已知[x]表示不超過實數x的最大整數，g(x)＝[x]為取整函數，x0是函數f(x)＝ln x－的零點，則g(x0)＝________. 2　[f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，則x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.] [規(guī)律方法]　判斷函數零點所在區(qū)間

8、的3種方法 (1)解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上． (2)定理法：利用函數零點的存在性定理，首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點． (3)圖像法：通過畫函數圖像，觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷． 判斷函數零點(或方程根)的個數 【例1】　(1)函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2019·蘭州模擬)已知函數f(x)滿足： ①定義域

9、為R； ②任意x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)； ③當x∈[－1,1]時，f(x)＝－|x|＋1. 則方程f(x)＝log2|x|在區(qū)間[－3,5]內解的個數是(　　) A．5　　 B．6　　　　C．7　　 D．8 (3)函數f(x)＝的零點個數是______． (1)B　(2)A　(3)3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝. 設g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一直角坐標系下分別畫出函數g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現兩個函數圖像一定有2個交點，因此函數f(x)有2個零點． (2)由f(x＋2)＝f(

10、x)知函數f(x)是周期為2的函數，在同一直角坐標系中，畫出y1＝f(x)與y2＝log2|x|的圖像，如圖所示． 由圖像可得方程解的個數為5，故選A． (3)當x＞0時，作函數y＝ln x和y＝x2－2x的圖像，由圖知，當x＞0時，f(x)有2個零點； 當x≤0時，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去) 所以在(－∞，0]上有一個零點，綜上知f(x)有3個零點．] [規(guī)律方法]　判斷函數零點個數的3種方法 (1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點． (2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(

11、b)＜0，還必須結合函數的圖像與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質． (3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖像的交點個數問題．先畫出兩個函數的圖像，看其交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． (1)函數f(x)＝的零點個數為(　　) A．3　　 B．2　　　　C．1　　 D．0 (2)(2019·泰安模擬)已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是________． (1)B　(2)(1，＋∞)　[(1)法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.

12、因此函數f(x)共有2個零點． 法二：函數f(x)的圖像如圖所示，由圖像知函數f(x)共有2個零點． (2)問題等價于函數y＝f(x)與y＝－x＋a的圖像有且只有一個交點，作出函數f(x)的圖像(如圖所示)，結合函數圖像可知a＞1. ] 函數零點的應用 ?考法1　根據零點的范圍求參數 【例2】　若函數f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在區(qū)間(2,3)上有零點，則k＝________. 4　[函數f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)上單調遞增，所以f(2)·f(3)＜0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)＜0，整理得(3－k)(log23＋

13、3－k)＜0，解得3＜k＜3＋log23，而4＜3＋log23＜5，因為k∈Z，故k＝4.] ?考法2　已知函數零點或方程根的個數求參數 【例3】　(2019·青島模擬)已知函數f(x)＝其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________． (3，＋∞)　[作出f(x)的圖像如圖所示．當x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－m20.又m>0，解得m>3.] [規(guī)律方法]　已知函數的零點或方程根，求參數問題的三種方法 (1)直接法：直接根據題設條

14、件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍． (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決． (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖像，然后數形結合求解． (1)函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) (2)已知函數f(x)＝則使函數g(x)＝f(x)＋x－m有零點的實數m的取值范圍是(　　) A．[0,1) B．(－∞，1) C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞) (1)C　(2)D　[(

15、1)∵函數f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上是增加的，又函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3，故選C． (2)函數g(x)＝f(x)＋x－m的零點就是方程f(x)＝m－x的根，在同一坐標系中畫出函數f(x)和y＝m－x的圖像，如圖所示，由圖像知，當m≤0或m＞1時方程f(x)＝m－x有根，即函數g(x)＝f(x)＋x－m有零點，故選D.] 1．(2017·全國卷Ⅲ)已知函數f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(　　) A．－　　 B．

16、 C． D．1 C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函數g(t)為偶函數． ∵f(x)有唯一零點，∴g(t)也有唯一零點． 又g(t)為偶函數，由偶函數的性質知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝. 故選C． 法二：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x. ex－1＋e－x＋1≥2＝2，當且僅當x＝1時取“＝”． －x2＋2x＝－(x－1)2

17、＋1≤1，當且僅當x＝1時取“＝”． 若a>0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝.若a≤0，則f(x)的零點不唯一． 故選C．] 2．(2014·全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) B　[f ′(x)＝3ax2－6x，當a＝3時，f ′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，則當x∈(－∞，0)時，f ′(x)>0； x∈時，f ′(x)<0； x∈時，f ′(x)>0，注意f(0)＝1，f ＝>0，則f(x)的大致圖像如圖(1)所示． 圖(1) 不符合題意，排除A、C． 當a＝－時，f ′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，則當x∈時，f ′(x)<0，x∈時，f ′(x)>0，x∈(0，＋∞)時，f ′(x)<0，注意f(0)＝1，f ＝－，則f(x)的大致圖像如圖(2)所示． 圖(2) 不符合題意，排除D.] - 9 -