《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3講 柯西不等式與排序不等式 1 二維形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3講 柯西不等式與排序不等式 1 二維形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一　二維形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義．(難點(diǎn))2.通過(guò)運(yùn)用柯西不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．(重點(diǎn)) 教材整理　二維形式的柯西不等式 閱讀教材P31～P36，完成下列問(wèn)題． 內(nèi)容 等號(hào)成立的條件 代數(shù) 形式 若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立 向量 形式 設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α·β|≤|α||β| 當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立 三角 形式 設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 當(dāng)且僅當(dāng)P1(x1，y1)，

2、P2(x2，y2)，O(0,0)三點(diǎn)共線且P1，P2在點(diǎn)O兩旁時(shí)，等號(hào)成立 已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. B　[2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥ ＝(x＋y)2＝.] 二維柯西不等式的向量形式及應(yīng)用 【例1】　已知p，q均為正數(shù)，且p3＋q3＝2.求證：p＋q≤2. [精彩點(diǎn)撥]　為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構(gòu)造兩個(gè)向量． ＝·＝. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， ∴≤p2＋q2≤， ∴≤·，則(p＋q)4≤8(p＋q)． 又p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故p＋q

3、≤2. 使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關(guān)鍵是合理構(gòu)造出兩個(gè)向量．同時(shí)，要注意向量模的計(jì)算公式|a|＝對(duì)數(shù)學(xué)式子變形的影響． 1．若本例的條件中，把“p3＋q3＝2”改為“p2＋q2＝2”，試判斷結(jié)論是否仍然成立？ [解]　設(shè)m＝(p，q)，n＝(1,1)， 則p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝·. 又p2＋q2＝2. ∴p＋q≤·＝2. 故仍有結(jié)論p＋q≤2成立. 運(yùn)用柯西不等式求最值 【例2】　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． [精彩點(diǎn)撥]　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過(guò)構(gòu)造(12

4、＋12)作為一個(gè)因式而解決問(wèn)題． [自主解答]　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1. ∴4x2＋9y2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)2x×1＝3y×1， 即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)． ∴4x2＋9y2的最小值為. 1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等號(hào)成立的條件，而且要善于配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果． 2．常用的配湊的技巧有：①巧拆常數(shù)；②重新安排某些項(xiàng)的次序；③適當(dāng)添項(xiàng)；④適當(dāng)改變結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到運(yùn)用柯西不等式求最值的目的． 2．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點(diǎn)． [解]　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得2

5、5(x2＋y2)≥4. 所以x2＋y2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，“＝”成立．為求最小值點(diǎn)，需解方程組∴ 因此，當(dāng)x＝，y＝時(shí)，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點(diǎn)為. 二維柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 在二維形式的柯西不等式中，取等號(hào)的條件可以寫(xiě)成＝嗎？ [提示]　不可以．當(dāng)b·d＝0時(shí)，柯西不等式成立，但＝不成立． 【例3】　已知|3x＋4y|＝5，求證：x2＋y2≥1. [精彩點(diǎn)撥]　探求已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造柯西不等式進(jìn)行證明． [自主解答]　由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥. 又因?yàn)?/p>

6、|3x＋4y|＝5， 所以＝1， 即x2＋y2≥1. 1．利用二維形式的柯西不等式證明時(shí)，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時(shí)，需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形． 2．變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，找到突破口． 3．設(shè)a，b∈R＋且a＋b＝2.求證：＋≥2. [證明]　根據(jù)柯西不等式，有 [(2－a)＋(2－b)] ＝[()2＋()2]＋ ≥ ＝(a＋b)2＝4. ∴＋≥＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)·＝·， 即a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立． ∴＋≥2. 1

7、．設(shè)x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為(　　) A.　　　　　　　　 B．169 C．13 D．0 C　[(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13.] 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則(＋)2的最大值是(　　) A．2 B. C．6 D．12 D　[(＋)2 ＝(1×＋1×)2 ≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即a＝b＝時(shí)等號(hào)成立．故選D.] 3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝________. [解析]　|a|＝＝5，且 |b|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|， 因此，b與a共線，且方向相同，∴b＝. [答案]　 4．已知x，y＞0，的最小值為4，則xy＝________. [解析]　∵≥ ＝， ∴＝4. 又＞0， ∴＝1，∴xy＝1. [答案]　1 5．已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值． [解]　構(gòu)造兩組實(shí)數(shù)，；，. ∵x，y，a，b∈R＋，＋＝1， ∴x＋y＝[()2＋()2]＋≥(＋)2， 當(dāng)且僅當(dāng)∶＝∶，即＝時(shí)取等號(hào)，∴(x＋y)min＝(＋)2. - 6 -