《2019年高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運算學案 文 北師大版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一節(jié)　平面向量的概念及線性運算 [考綱傳真]　1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義． (對應學生用書第57頁) [基礎知識填充] 1．向量的有關概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又

2、叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運算 向量 運算 定義 法則 (或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<

3、0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3. 共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λA． [知識拓展] 1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 2．若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則＝(＋)． 3.＝x＋y(x，y為實數(shù))，若點A，B，C共線，則x＋y＝1. 4．△ABC中，＋＋＝0?點P為△ABC的重心． [基本能力

4、自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　　) (2)若a∥b，b∥c，則a∥C．(　　) (3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件．(　　) (4)△ABC中，D是BC的中點，則＝(＋)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(2015·全國卷Ⅰ)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ A　[＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故選A．] 3．(2018·長春模擬)設點P是△

5、ABC所在平面內(nèi)一點，且＋＝2，則＋＝________. 0　[因為＋＝2，由平行四邊形法則知，點P為AC的中點，故＋＝0.] 4．(教材改編)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且＝a，＝b，則＝________，＝________(用a，b表示)． b－a?。璦－b　[如圖，＝＝－＝b－a， ＝－＝－－＝－a－B．] 5．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. －　[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)， ∴得] (對應學生用書第58頁) 平面向量的有關概念 　給出下列六個命題：

6、①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b； ④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線； ⑤λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零； ⑥a，b為非零向量，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥B． 其中假命題的序號為________. 【導學號：00090124】 ①②③④⑤⑥　[①不正確．|a|＝|b|.但a，b的方向不確定，故a，b不一定是相等或相反向量； ②不正確．因為＝，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形． ③不正確．兩向量不能比較大?。? ④不正確．當

7、λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線． ⑤不正確．當λ＝1，a＝0時，λa＝0. ⑥不正確．對于非零向量a，b，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a，b同向．] [規(guī)律方法]　1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認為④是正確的；(2)充分利用反例進行否定是對向量的有關概念題進行判定的行之有效的方法. 2．(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性．(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關． 3．若a為非零向量，則是與a同向的單位向量，－是與a反向的單位向量． [變式訓練1]　設a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)

8、的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是 (　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 D　[向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.] 平面向量的線性運算 　(1)(2018·開封模擬)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝(　　) A． B．

9、 C． D． (2)(2018·廣州模擬)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，則＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 (1)C　(2)A　[(1)如圖，＋＝＋＋＋ ＝＋＝(＋) ＝·2＝. (2)如圖，過D作DE∥AB，＝m＋n＝＋＝－＋， 所以n＝－，m＝1，所以＝－3.故選A．] [規(guī)律方法]　向量的線性運算的求解方法 (1)進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解． (2)除了充分利用相等

10、向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關系的向量來求解． [變式訓練2]　(1)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則＋＋＋等于(　　) A． B．2 C．3 D．4 (2)(2018·北京模擬)在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 【導學號：00090125】 (1)D　(2)　－　[(1)因為M是AC和BD的中點，由平行四邊形法則，得＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.故選D．

11、 (2)由題中條件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.] 共線向量定理的應用 　設兩個非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線； (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又∵它們有公共點B， ∴A，B，D三點共線． (2)∵ka＋b和a＋kb共線， ∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋

12、λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)B． ∵a，b是兩個不共線的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. [規(guī)律方法]　共線向量定理的應用 (1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點共線． (3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值． 易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點． [變式訓練3]　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線 C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線 (2)(2015·全國卷Ⅱ)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________. (1)B　(2)　[(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共線，又有公共點B， ∴A，B，D三點共線．故選B． (2)∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得] 6