《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 理 北師大版（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一節(jié)　平面向量的概念及線性運(yùn)算 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第69頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的長度(或模)． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向

2、量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則 (或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方

3、向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ) a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與a共線． [知識(shí)拓展] 1．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)． 2.＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1. [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。?　　) (2)＝－.(　　) (3)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．

4、(　　) (4)已知a，b是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a，b共線時(shí)，一定有b＝λa(λ為常數(shù))，反之也成立．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在四邊形ABCD中，＝，且||＝||，那么四邊形ABCD為(　　) A．平行四邊形　　　 B．菱形 C．長方形 D．正方形 B　[＝，則四邊形ABCD為平行四邊形．又||＝||，則四邊形ABCD為菱形，故選B．] 3．D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量等于(　　) A．－＋ B．－－ C．－ D．＋ A　[如圖， ＝＋＝＋ ＝－＋.] 4．(教材改編)已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且＝a，＝

5、b，則＝________，＝________(用a，b表示)． b－a　－a－b　[如圖，＝＝－＝b－a， ＝－＝－－＝－a－b.] 5．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. －　[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)， 所以得] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第70頁) 平面向量的概念 　給出下列四個(gè)命題： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140145】 ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b

6、|且a∥b. 其中正確命題的序號(hào)是(　　) A．②③　　　　　B．①② C．③④ D．②④ A　[①不正確．兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同． ②正確．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||＝||，∴＝. ③正確． ∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b

7、不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． 綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.故選A．] [規(guī)律方法]　(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性. (2)共線向量即為平行向量，不要與線段的共線、平行混為一談. (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖像的移動(dòng)混為一談. (4)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量. [跟蹤訓(xùn)練]　設(shè)a0為單位向量，下述命題中： ①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0； ②若a與a0平行，則a＝|a|a0； ③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0. 假命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　

8、 B．1 C．2　　　　D．3 D　[向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.] 平面向量的線性運(yùn)算 　(1)(2015·全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ (2)已知D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為________． (1)A　(2)－2　[(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故選A

9、． (2)因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn)，所以＋＝2， 又＋＋＝0， 所以＝＋＝2， 所以＝－2， 與＝λ比較，得λ＝－2.] [規(guī)律方法]　(1)平面向量的線性運(yùn)算方法 ①不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解. ②含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解. (2)利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路 ①?zèng)]有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置. ②利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式. ③比較、觀察可知所求. (3)選取基向量，向量之間的相互表示，重

10、視平行四邊形法則. (4)|a＋b|與|a－b|的幾何意義：以向量|a|，|b|為邊作為平行四邊形兩條對(duì)角線的長度. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則＋＋＋等于(　　) A． B．2 C．3 D．4 (2)(2017·河南三市聯(lián)考)在銳角△ABC中，＝3，＝x＋y，則＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140146】 (1)D　(2)3　[因?yàn)镸是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4. (2)由題設(shè)可得＋＝3(－)， 即4＝3＋，亦即＝＋， 則x＝，y＝.故＝3

11、.] 共線向量定理的應(yīng)用 　設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又∵它們有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)∵ka＋b和a＋kb共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是兩個(gè)不共線的非零向量， ∴k－

12、λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. [規(guī)律方法]　共線向量定理的三個(gè)應(yīng)用 (1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線. (2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線. (3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值. 易錯(cuò)警示：證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn). [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線 C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線 (2)(2017·廣東七校聯(lián)考)已知向量i，j不共線，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n應(yīng)滿足的條件是(　　) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 (1)B　(2)C　[(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2， ∴，共線，又有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選B． (2)因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以∥，存在非零實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因?yàn)閕與j不共線，所以則mn＝1，故選C．] 7