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1、2022年高中數(shù)學(xué) 1.1.1 任意角教案 新人教A版必修4 1.本章知識結(jié)構(gòu)如下: 2.本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容主要是:三角函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及應(yīng)用.三角函數(shù)是高中教材中的一種重要函數(shù),與其他的函數(shù)相比,具有許多重要的特征:它以角為自變量,是周期函數(shù).三角函數(shù)是解決其他問題的重要工具,是高中階段學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù),是深化函數(shù)性質(zhì)的極好素材.本章的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識,特別強調(diào)了單位圓的直觀作用,借助單位圓直觀地認(rèn)識任意角、任意角的三角函數(shù). 3.本章教學(xué)的重點是三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,正弦函數(shù)的圖象及基本性質(zhì).難點是弧度制和圖象變換的準(zhǔn)

2、確理解和掌握.關(guān)鍵是學(xué)好三角函數(shù)定義.從實際教學(xué)情況來看,教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生的畫圖.“五點畫圖”雖然簡單,但卻易學(xué)難掌握.在本章教學(xué)中,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的數(shù)學(xué)知識,通過列舉熟知的實例,創(chuàng)設(shè)豐富的情境,使學(xué)生體會三角函數(shù)模型的意義.教學(xué)時,可結(jié)合本章引言的章頭圖,讓學(xué)生圍繞這些問題展開討論,通過思考,讓學(xué)生知道三角函數(shù)可以刻畫這些周期變化規(guī)律,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲. 4.三角函數(shù)的內(nèi)容一直是高考的重要內(nèi)容,特別是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),及結(jié)合三角形的基礎(chǔ)知識為背景的三角函數(shù)知識,頻頻在各省高考試題中出現(xiàn),難度雖有降低,卻是經(jīng)久不衰的高考考查內(nèi)容. 5.本章教學(xué)時間約需16課時,具體

3、分配如下(僅供參考): 標(biāo) 題 課 時 1.1任意角和弧度制 約2課時 1.2任意角的三角函數(shù) 約3課時 1.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 約2課時 1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 約4課時 1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 約2課時 1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 約2課時 本章復(fù)習(xí) 約1課時 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 整體設(shè)計 教學(xué)分析 教材首先通過實際問題的展示,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,然后通過具體例子,將初中學(xué)過的角的概念推廣到任意角,在此基礎(chǔ)上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學(xué)生在已有經(jīng)驗(生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)

4、驗)的基礎(chǔ)上,更好地認(rèn)識任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學(xué)生體會到把角推廣到任意角的必要性,引出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個統(tǒng)一的載體.教學(xué)中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導(dǎo)學(xué)生善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來認(rèn)識問題、解決問題.讓學(xué)生初步學(xué)會在平面直角坐標(biāo)系中討論任意角.能熟練寫出與已知角終邊相同的角的集合,是本節(jié)的一個重要任務(wù). 學(xué)生的活動過程決定著課堂教學(xué)的成敗,教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘“探究”欄目及“探究”示圖的過程功能,在這個過程上要不惜多花些時間,讓學(xué)生進(jìn)行操作與思考,自然地、更好地歸納

5、出終邊相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含義.如能借助信息技術(shù),則可以動態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程,更有利于學(xué)生觀察角的變化與終邊位置的關(guān)系,讓學(xué)生在動態(tài)的過程中體會,既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向,才能準(zhǔn)確刻畫角的形成過程的道理,更好地了解任意角的深刻涵義. 三維目標(biāo) 1.通過實例的展示,使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運動變化的觀點,并由此深刻理解推廣之后的角的概念. 2.通過自主探究、合作學(xué)習(xí),認(rèn)識集合S中k、α的準(zhǔn)確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊

6、相同的角有無限多個,它們相差360°的整數(shù)倍.這對學(xué)生的終身發(fā)展,形成科學(xué)的世界觀、價值觀具有重要意義. 3.通過類比正、負(fù)數(shù)的規(guī)定,讓學(xué)生認(rèn)識正角、負(fù)角并體會類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運用,為今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展打下良好的基礎(chǔ). 重點難點 教學(xué)重點:將0°—360°范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合. 教學(xué)難點:用集合來表示終邊相同的角. 課時安排 1課時 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 圖1 思路1.(情境導(dǎo)入)如圖1,在許多學(xué)校的門口都有擺設(shè)的一些游戲機,只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得高額獎品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運

7、動員旋轉(zhuǎn)的角度,自行車車輪旋轉(zhuǎn)的角度,螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度,這些角度都怎樣解釋?在學(xué)生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣.進(jìn)而引入角的概念的推廣的問題. 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)回憶初中我們是如何定義一個角的?所學(xué)的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實生活的一些現(xiàn)象,比如你原地轉(zhuǎn)體一周的角度,應(yīng)怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象?由此讓學(xué)生展開討論,進(jìn)而引入角的概念的推廣問題. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調(diào)整準(zhǔn)確?假如你的手表快了1.25小時,你應(yīng)當(dāng)怎樣將它調(diào)整準(zhǔn)確?當(dāng)時間調(diào)整準(zhǔn)確后,分針轉(zhuǎn)過了多少度角? ②體操運動中有轉(zhuǎn)體兩周,在這個動作中

8、,運動員轉(zhuǎn)體多少度? ③請兩名男生(或女生、或多名男女學(xué)生)起立,做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動作.在這個過程中,他們各轉(zhuǎn)體了多少度? 活動:讓學(xué)生到講臺利用準(zhǔn)備好的教具——鐘表,實地演示撥表的過程.讓學(xué)生站立原地做轉(zhuǎn)體動作.教師強調(diào)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量,并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方向.對回答正確的學(xué)生及時給予鼓勵、表揚,對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路. 角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形,設(shè)一條射線的端點是O,它從起始位置OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,則形成了一個角α,點O是角的頂點,射線OA、OB分別是角α的始邊和終邊.

9、 我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.鐘表的時針和分針在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負(fù)角,為了簡便起見,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡記作“α”. 如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角,零角的始邊和終邊重合,如果α是零角,那么α=0°. 討論結(jié)果:①順時針方向旋轉(zhuǎn)了30°;逆時針方向旋轉(zhuǎn)了450°. ②順時針方向旋轉(zhuǎn)了720°或逆時針方向旋轉(zhuǎn)了720°. ③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°…… 提出問題 ①能否以同一條射線為始邊作出下列角:21

10、0°,-45°,-150°. ②如何在坐標(biāo)系中作出這些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思? 活動:先讓學(xué)生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點撥,并對回答正確的學(xué)生及時表揚,對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生,教師提示、引導(dǎo)考慮問題的思路.學(xué)生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會作出很多形式不同的角.教師可以適時地提醒學(xué)生:如果將角放到平面直角坐標(biāo)系中,問題會怎樣呢?并讓學(xué)生思考討論在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復(fù)始”的現(xiàn)象. 今后我們在坐標(biāo)系中研究和討論角,為了討論問題的方便,我們使角的頂點與坐標(biāo)原點重合,

11、角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.要特別強調(diào)角與直角坐標(biāo)系的關(guān)系——角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合. 討論結(jié)果:①能. ②使角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.這樣: 210°角是第三象限角; -45°角是第四象限角; -150°角是第三象限角. 特別地,終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個象限,比如0°角. 可以借此進(jìn)一步設(shè)問: 銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何? 將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系中,給定一個角,就

12、有唯一一條終邊與之對應(yīng),反之,對于直角坐標(biāo)系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系? 提出問題 ①在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210°,-150°的角的終邊,你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?328°,-32°,-392°角的終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣的?終邊相同的角有什么關(guān)系? ②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),怎樣用一個式子表示出來? 活動:讓學(xué)生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關(guān)系,再用所準(zhǔn)備的教具或是多媒體給學(xué)生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時地引導(dǎo):終邊相同的一系列角與0°到360°間的某一角有什么關(guān)系,從而為終邊相同的角的

13、表示作好準(zhǔn)備. 為了使學(xué)生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個32°角,放在直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,形成-32°角后提問學(xué)生這是第幾象限角?是多少度角?學(xué)生對后者的回答是多種多樣的. 至此,教師因勢利導(dǎo),予以啟發(fā),學(xué)生對問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠成,本節(jié)難點得以突破.同時學(xué)生也在這一學(xué)習(xí)過程中,體會到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學(xué)習(xí)熱情,這是比學(xué)習(xí)知識本身更重要的. 討論結(jié)果:①210°與-150°角的終邊相同;328°,-32°,-392°角的終邊相同.終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍. 設(shè)S={β｜β=-32°+

14、k·360°,k∈Z},則328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此時k=0).因此,所有與-32°角的終邊相同的角,連同-32°在內(nèi),都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個元素顯然與-32°角終邊相同. ②所有與α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可以構(gòu)成一個集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}. 即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成α與整數(shù)個周角的和. 適時引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識:①k∈Z;②α是任意角;③終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360°的整數(shù)倍. 應(yīng)用示例 例1 在0°—360°范圍內(nèi),找出與-950°12′角終邊相同的角,并

15、判定它是第幾象限角. 解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范圍內(nèi),與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角. 點評:教師可引導(dǎo)學(xué)生先估計-950°12′大致是360°的幾倍,然后再具體求解. 例2 寫出終邊在y軸上的角的集合. 活動:終邊落在y軸上,應(yīng)分y軸的正方向與y軸的負(fù)方向兩個. 學(xué)生很容易分別寫出所有與90°,270°的終邊相同的角構(gòu)成集合,這時應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:能否化簡這兩個式子,用一個式子表示出來. 讓學(xué)生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識,教師再規(guī)范地板書出來.并強調(diào)數(shù)學(xué)的簡捷性.

16、在數(shù)學(xué)表達(dá)式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式. 圖2 解:在0°—360°范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個, 即90°和270°角,如圖2. 因此,所有與90°的終邊相同的角構(gòu)成集合 S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}. 而所有與270°角的終邊相同的角構(gòu)成集合 S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}. 于是,終邊在y軸上的角的集合 S=S1∪S2 ={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z} ={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k

17、∈Z} ={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}. 點評:本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會用集合表示終邊相同的角時,表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式. 變式訓(xùn)練 ①寫出終邊在x軸上的角的集合. ②寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合. 答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}. ②S={β｜β=n·90°,n∈Z}. 例3 寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來. 圖3 解:如圖3,在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45°,在0°—360°范圍內(nèi),

18、終邊在直線y=x上的角有兩個:45°和225°,因此,終邊在直線y=x上的角的集合 S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}. S中適合-360°≤β<720°的元素是: 45°-2×180°=-315°, 45°-1×180°=-135°, 45°+0×180°=45°, 45°+1×180°=225°, 45°+2×180°=405°, 45°+3×180°=585°. 點評:本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法. 例4 寫出在下列象限的角的集合

19、: ①第一象限; ②第二象限; ③第三象限; ④第四象限. 活動:本題關(guān)鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學(xué)生閱讀例題后沒有解題思路,或者把①中的范圍寫成0°—90°,可引導(dǎo)學(xué)生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫出所有終邊相同的角. 解:①終邊在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β

20、360°+180°<β

21、以再進(jìn)一步啟發(fā)設(shè)問: 銳角一定小于90°嗎?小于90°的角一定是銳角嗎? 鈍角一定大于90°嗎?大于90°的角一定是鈍角嗎? 答案當(dāng)然是:不一定. 讓學(xué)生展開討論,在爭論中,將對問題的認(rèn)識進(jìn)一步升華,并牢牢的記憶這些基礎(chǔ)知識. 2.三、三、五. 點評:本題的目的是將終邊相同的角的符號表示應(yīng)用到其他周期性問題上.題目聯(lián)系實際,把教科書中除數(shù)360換成每個星期的天數(shù)7,利用了“同余”來確定7k天后、7k天前也是星期三,這樣的練習(xí)難度不大,可以口答. 3.(1)第一象限角. (2)第四象限角. (3)第二象限角. (4)第三象限角. 點評:能作出給定的角,并判斷

22、是第幾象限的角. 4.(1)305°42′,第四象限角. (2)35°8′,第一象限角. (3)249°30′,第三象限角. 點評:能在給定的范圍內(nèi)找出與指定角終邊相同的角,并判斷是第幾象限的角. 5.(1){β｜β=1 303°8′+k·360°,k∈Z},-496°42′,-136°42′,223°18′. (2){β｜β=-225°+k·360°,k∈Z},-585°,-225°,135°. 點評:用集合表示法和符號語言寫出與指定角終邊相同的角的集合,并在給定的范圍內(nèi)找出與指定的角的終邊相同的角. 課堂小結(jié) 以提問的方式與學(xué)生一起回顧本節(jié)所學(xué)內(nèi)容并簡要總

23、結(jié): 讓學(xué)生自己回憶:本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識?你是怎樣獲得這些新知識的?你從本節(jié)課上都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法?讓學(xué)生自己得到以下結(jié)論: 本節(jié)課推廣了角的概念,學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角、零角的定義,象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法,零角是射線沒有作任何旋轉(zhuǎn).一個角是第幾象限的角,關(guān)鍵是看這個角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示有兩方面的內(nèi)容:(1)與角α終邊相同的角,這些角的集合為S={β｜β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°內(nèi)找與已知角終邊相同的角α,其方法是用所給的角除以360°,所得的商為k,余數(shù)為α(α必須是正數(shù)),α即為所找的角. 數(shù)形結(jié)合思想、運動變化觀點都是

24、學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法. 作業(yè) ①課本習(xí)題1.1 A組1、3、5. ②預(yù)習(xí)下一節(jié):弧度制. 設(shè)計感想 1.本節(jié)課設(shè)計的容量較大,學(xué)生的活動量也較大,若用信息技術(shù)輔助教學(xué)效果會很好.教師可充分利用多媒體做好課件,在課堂上演示給學(xué)生;有條件的學(xué)校,可以讓學(xué)生利用計算機或計算器進(jìn)行探究,讓學(xué)生在動態(tài)中掌握知識、提煉方法. 2.本節(jié)設(shè)計的指導(dǎo)思想是加強直觀.利用幾何直觀有利于對抽象概念的理解.在學(xué)生得出象限角的概念后,可以充分讓學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中研究角的好處.前瞻性地引導(dǎo)學(xué)生體會:在直角坐標(biāo)系中角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,為研究三角函數(shù)的周期性奠定基礎(chǔ). 3.幾點說明: (1)列舉不在0°—360°的角時,應(yīng)注意所有的角在同一個平面內(nèi),且終邊在旋轉(zhuǎn)的過程中,角的頂點不動. (2)在研究終邊相同的兩個角的關(guān)系時,k的正確取值是關(guān)鍵,應(yīng)讓學(xué)生獨立思考領(lǐng)悟. (3)在寫出終邊相同的角的集合時,可根據(jù)具體問題,對相應(yīng)的集合內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí).