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1、2022年高中數(shù)學(xué) 1.1 任意角教案1 新人教A版必修4 教學(xué)目的： 1．掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解并掌握“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。 2．掌握所有與α角終邊相同的角(包括α角)的表示方法。 3．體會運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念。 教學(xué)重點：理解并掌握正角負角零角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法.教學(xué)難點：終邊相同的角的表示. 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： 本節(jié)主要介紹推廣角的概念，引入正角、負角、零角的定義，象限角的概念，終邊相同的角的表示方法. 樹立運動變化的觀點，理解靜是相對

2、的，動是絕對的，并由此深刻理解推廣后的角的概念. 教學(xué)方法方法可以選為討論法，通過實際問題，教師抽象并通過用幾何畫板多媒體課件演示角的形成更加形象直觀，如螺絲扳手緊固螺絲、時針與分針、車輪的旋轉(zhuǎn)等等，都能形成角的概念，給學(xué)生以直觀的印象，形成正角、負角、零角的概念，明確“規(guī)定”的實際意義，突出角的概念的理解與掌握. 通過具體問題，讓學(xué)生從不同角度作答，理解終邊相同的角的概念，并給以表示，從特殊到一般，歸納出終邊相同的角的表示方法，達到突破難點之目的. 教學(xué)過程： 一、問題情境： 1．復(fù)習(xí)：初中是如何定義角的？ 從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形。 這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、

3、容易理解，但它是從圖形形狀來定義角，因此角的范圍是，這種定義稱為靜態(tài)定義，其弊端在于“狹隘”。 2．情境：生活中很多實例會不在范圍 體操運動員轉(zhuǎn)體720o，跳水運動員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o 經(jīng)過1小時時針、分針、秒針轉(zhuǎn)了多少度？ 3．問題：這些例子不僅不在范圍，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，想想用什么辦法才能推廣到任意角？（運動） 二、建構(gòu)理論： 1．角的概念的推廣 ⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角 一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點O叫做角α的

4、頂點． 突出“旋轉(zhuǎn)” 注意：“頂點”“始邊”“終邊” ⑵．“正角”與“負角”“0角” 我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角，如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認為這時形成了一個角，并把這個角叫做零角．記法：角或 可以簡記成。 ⑶意義 用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。 1° 角有正負之分 如：a=210° b=-150° g=660° 2° 角可以任意大 實例：體操動作：旋轉(zhuǎn)2周（360°×2=720

5、°） 3周（360°×3=1080°） 3° 還有零角 一條射線，沒有旋轉(zhuǎn) 角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角和零角．要注意，正角和負角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負規(guī)定純系習(xí)慣，就好象與正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負，就好象數(shù)零無正負一樣． 2．“象限角” 為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角 角的頂點合于坐標原點，角的始邊合于軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限） 例如：30°、390°、-330°是第Ⅰ象限角，300°、-60°是第Ⅳ象限角，585°、11

6、80°是第Ⅲ象限角，-xx°是第Ⅱ象限角等。 3．終邊相同的角 ⑴觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同 ⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與個周角的和： 390°=30°+360° -330°=30°-360° 30°=30°+0×360° 1470°=30°+4×360° -1770°=30°-5×360° ⑶結(jié)論：所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合： 即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a

7、與整數(shù)個周角的和。 ⑷注意以下四點： (1) (2) a是任意角； (3)與a之間是“+”號， 如-30°，應(yīng)看成+(-30°)； (4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍． 三、數(shù)學(xué)運用： 例1在0到360度范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角 解：⑴∵-120o=-360o+240o， ∴240o的角與-140o的角終邊相同，它是第三象限角． ⑵∵640o=360o+280o， ∴280o的角與640o的角終邊相同，它是第四象限角． ⑶∵-950o12’=-3360o+12

8、9o48’， ∴129o48’的角與-950o12’的角終邊相同，它是第三象限角． 例2寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在間的角寫出來：（1） （2） （3）。 解：(1) S中在-360°～720間的角是 -1×360°+60°=-280°； 0×360°+60°=60°； 1×360°+60°=420°． (2) S中在-360°～720間的角是 0×360°-21°=-21°； 1×360°-21°=339°； 2×360°-21°=699°． (3) S中在-360°～720°間的角是 -2×360°+363o14’=-356o4

9、6’； -1×360°+363o14’=3o14’； 0×360°+363o14’=363o14’． 四、課堂練習(xí)： 1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？0°～90°的角是銳角嗎？ (答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90°的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是銳角．) 總結(jié)有關(guān)角的集合表示． 銳角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°}． 2．已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并

10、指出它們是哪個象限的角？ (1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°． (答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 五、回顧小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正角、負角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．本節(jié)課重點是學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法．嚴格區(qū)分“終邊相同”和“角相等”；“軸線角”“象限角”和“區(qū)間角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“銳角”的不同意義. 六、課后作業(yè)：書第10頁習(xí)題1.1 № 1，2 1.下列命題中正確的是( )

11、 A.終邊在y軸非負半軸上的角是直角 B.第二象限角一定是鈍角 C.第四象限角一定是負角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），則α與β終邊相同 2.與120°角終邊相同的角是( ) A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ C.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ 3.若角α與β終邊相同，則一定有( ) A.α＋β＝180° B.α＋β＝0° C.α－β

12、＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z 4.與1840°終邊相同的最小正角為 ，與－1840°終邊相同的最小正角是 . 5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 . 6.鐘表經(jīng)過4小時，時針與分針各轉(zhuǎn)了 (填度). 7.在直角坐標系中，作出下列各角 (1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440° 8.已知Ａ＝｛銳角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝． 求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，

13、Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ. 9.將下列各角表示為α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判斷角在第幾象限. (1)560°24′ （2）－560°24′ （3）2903°15′ (4)－2903°15′ （5）3900° （6）－3900° 參考答案：1.D 2.A 3.C 4.40° 320° 5.三 六 6.－120°－1440° 7. 8.A∩B＝A A∪C＝C C∩D＝｛α｜k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k≤0＝ A∪D＝D 9.(1)∵560°2

14、4′＝200°24′＋360° ∴560°24′與200°24′終邊相同在第三象限 (2)∵－560°24′＝159°36′＋(－2)·360° ∴－560°24′與159°36′終邊相同在第二象限 (3)∵2903°15′＝23°15′＋8·360° ∴2903°15′與23°15′終邊相同在第一象限 (4)∵－2903°15′＝336°45′＋(－9)·360° ∴－2903°15′與336°45′終邊相同在第四象限 (5)∵3900°＝300°＋10·360° ∴3900°與300°終邊相同在第四象限 (6)∵－3900°＝60°＋(－11)·360° ∴－3900°與60°終邊相同在第一象限 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記：注意闡明下面兩個學(xué)生容易混淆的問題 1.銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？0°～90°的角是銳角嗎？ 2.象限角、軸線角、區(qū)間角的關(guān)系.