《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第9節(jié) 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第9節(jié) 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案 理 北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第九節(jié)　圓錐曲線的綜合問題 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法；2.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想． (對應(yīng)學(xué)生用書第148頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線C：F(x，y)＝0， 由消去y得到關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0. (1)當(dāng)a≠0時，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ＞0?直線l與圓錐曲線C有兩個公共點； Δ＝0?直線l與圓錐曲線C有一個公共點； Δ＜0?直線l與圓錐曲線C有零個公共點． (2)當(dāng)a＝0，b≠0時，即

2、得到一個一元一次方程． 當(dāng)C為雙曲線時，l與雙曲線的漸近線平行或重合，它們的公共點有1個或0個． 當(dāng)C為拋物線時，l與拋物線的對稱軸平行或重合，它們的公共點有1個． 2．圓錐曲線的弦長公式 設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝·|x1－x2|＝·＝·. [知識拓展]　過一點的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切； 過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切； 過橢圓內(nèi)一點的直線與橢圓相交． (2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；

3、過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線； 過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條與對稱軸平行或重合的直線． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點．(　　) (2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個公共點．(　　) (3)過拋物線y2＝2px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.(　　) (4)若拋物線上存在關(guān)于直線l對稱的兩點，則l與拋物線有兩個交點．(　　) [解

4、析]　(1)對．橢圓是個封閉圖形，直線與橢圓只有一個公共點時，一定相切． (2)錯．當(dāng)直線l與漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個交點，但不相切． (3)對．可轉(zhuǎn)化為到準線的距離來證明(3)正確． (4)錯．當(dāng)直線l為對稱軸時，l與拋物線有一個交點． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)直線y＝k(x－1)＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是(　　) A．相交　　　　　 B．相切 C．相離 D．不確定 A　[直線y＝k(x－1)＋1恒過定點(1,1)，又點(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交．] 3．過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公

5、共點，這樣的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 C　[結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：一條過點(0,1)且平行于x軸的直線，兩條過點(0,1)且與拋物線相切的直線．] 4．直線y＝x＋3與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的交點個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 A　[因為直線y＝x＋3與雙曲線的漸近線y＝x平行，所以它與雙曲線只有1個交點．] 5．過拋物線y2＝8x的焦點F作傾斜角為135°的直線，交拋物線于A，B兩點，則弦AB的長為________． 16　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為拋物線y2＝8x的焦點為F(2

6、,0)，直線AB的傾斜角為135°，故直線AB的方程為y＝－x＋2，代入拋物線方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，則x1＋x2＝12，x1x2＝4，則|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.] 第1課時　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (對應(yīng)學(xué)生用書第149頁) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 　(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4. (1)求直線AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程． [解]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1≠x2，y1＝，y

7、2＝，x1＋x2＝4， 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由 y＝，得y′＝. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)． 設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m， 故線段AB的中點為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0. 當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時，x1,2＝2±2. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7. 所以直線AB的方程為y＝x＋7. [規(guī)律方法]　1.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x(或y)

8、，判斷該方程組解的個數(shù)，方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個交點.但應(yīng)注意兩點： (1)消元后需要討論含x2(或y2)項的系數(shù)是否為0. (2)重視“判別式Δ”起的限制作用. 2.對于選擇題、填空題，要充分利用幾何條件，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法直觀求解，優(yōu)化解題過程. [跟蹤訓(xùn)練]　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C： (1)有兩個不重合的公共點； (2)有且只有一個公共點． [解]　將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將①代入②， 整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)

9、 ＝－8m2＋144. (1)當(dāng)Δ＞0，即－3＜m＜3時，方程③有兩個不同的實數(shù)根，可知方程組有兩組不同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點． (2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時，方程③有兩個相同的實數(shù)根，可知方程組有兩組相同的實數(shù)解．這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點． 弦長問題 　(2018·廣州綜合測試(二))已知雙曲線－y2＝1的焦點是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：79140304】 (1)設(shè)橢圓C的方程； (2)設(shè)動點M，N在橢圓C上，且|MN|＝，記直線MN

10、在y軸上的截距為m，求m的最大值． [解]　(1)雙曲線－y2＝1的焦點坐標為(±，0)，離心率為. 因為雙曲線－y2＝1的焦點是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)， 所以a＝，且＝，解得b＝1. 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)因為|MN|＝＞2，所以直線MN的斜率存在． 因為直線MN在y軸上的截距為m， 所以可設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋m. 代入橢圓的方程＋y2＝1中， 得(1＋6k2)x2＋12kmx＋6(m2－1)＝0. 因為Δ＝(12km)2－24(1＋6k2)(m2－1) ＝24(1＋6k2－m2)＞0， 所

11、以m2＜1＋6k2. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－， x1x2＝ 則|MN|＝|x1－x2| ＝· ＝· 因為|MN|＝， 則·＝. 整理得m2＝. 令k2＋1＝t≥1，則k2＝t－1. 所以m2＝＝ ≤＝. 等號成立的條件是t＝，此時k2＝，m2＝滿足m2＜1＋6k2，符合題意． 故m的最大值為. [規(guī)律方法]　弦長的三種常用計算方法 (1)定義法：過圓錐曲線的焦點的弦長問題，利用圓錐曲線的定義，可優(yōu)化解題. (2)點距法：將直線的方程和圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，再運用兩點間距離公式求弦長. (3

12、)弦長公式法：它體現(xiàn)了解析幾何中設(shè)而不求的思想，其實質(zhì)是利用兩點之間的距離公式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到的. 易錯警示：直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直的特殊情況. [跟蹤訓(xùn)練]　(2017·宜春中學(xué)與新余一中聯(lián)考)設(shè)橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4. (1)求橢圓M的方程； (2)若直線y＝x＋1交橢圓M于A，B兩點，P(1，)為橢圓M上一點，求△PAB的面積． [解]　(1)由題可知，雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率e＝＝， 由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝， 故橢圓M的方程為＋＝1.

13、 (2)聯(lián)立方程，得4x2＋2x－3＝0， 且，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.又P到直線AB的距離為d＝，所以S△PAB＝|AB|·d＝··＝. 中點弦問題 　(1)在橢圓＋＝1內(nèi)，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：79140305】 A．x＋4y－5＝0　　 B．x－4y－5＝0 C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0 (2)如圖8-9-1，已知橢圓＋y2＝1上兩個不同的點A，B關(guān)于直線y＝mx＋對稱． 則實數(shù)m的取值范圍為________． (1)A　(2)∪　[(1)設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，

14、B(x2，y2)， 則 由①－②， 得＋＝0， 因為 所以＝－＝－， 所以所求直線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋4y－5＝0. (2)由題意知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為 y＝－x＋B．由 消去y，得x2－x＋b2－1＝0. 因為直線y＝－x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，① 將AB中點M代入直線方程y＝mx＋，解得b＝－，② 由①②得m＜－或m＞.] [規(guī)律方法]　處理中點弦問題的常用方法 (1)點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率. (2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解. [跟蹤訓(xùn)練]　拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A，B兩點．若P(1,1)為線段AB的中點，則拋物線C的方程為(　　) A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x B　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程為y2＝2px，則兩式相減可得2p＝·(y1＋y2)＝kAB·2＝2，即可得p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x.] 7