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1、2022年高三數(shù)學總復習 平面的基本性質(zhì)教案 理 教材分析 這篇案例是在初中平面幾何知識的基礎上進一步研究平面的基本性質(zhì)．平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基本理論基礎，這節(jié)課既是立體幾何的開頭課，又是基礎課，學生對本節(jié)內(nèi)容理解和掌握得如何，是能否學好立體幾何的關鍵之一．這節(jié)課的教學重點是平面的基本性質(zhì)，難點是平面的基本性質(zhì)的應用及建立空間概念、正確應用符號語言． 教學目標 1. 在引導學生觀察思考生活中的實例、實物模型等的基礎上，總結和歸納出平面的基本性質(zhì)，初步學會用數(shù)學的眼光去認識和感受現(xiàn)實的三維空間． 2. 會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述三個公理，能用公理及推論解決有關問

2、題，提高學生的邏輯推理能力． 3. 通過畫圖和識圖，逐步培養(yǎng)學生的空間想象能力，使學生在已有的平面圖形知識的基礎上，建立空間觀念． 任務分析 這節(jié)課是立體幾何學習的基礎，但學生空間立體感還不強．為此，教學時要充分聯(lián)系生活中的實例，如自行車有一個腳撐等，通過實例，使學生盡快形成對空間的正確認識，建立初步的空間觀念；在聯(lián)系實際提出問題和引入概念時，要合理運用教具，如講解公理1時，可讓學生利用手中的直尺去測桌面是不是平的；講解公理2時可讓學生觀察教室的墻面的關系等．通過這些方式加強由模型到圖形，再由圖形返回模型的基本訓練，逐步培養(yǎng)學生由圖形想象出空間位置關系的能力．當用文字和符號描述對象時，必

3、須緊密聯(lián)系圖形，使抽象與直觀結合起來，即在圖形的基礎上發(fā)展其他數(shù)學語言．在闡述定義、定理、公式等重要內(nèi)容時，宜先結合圖形，再用文字和符號進行描述，綜合運用幾種數(shù)學語言，使其優(yōu)勢互補，這樣，就有可能收到較好的效果，給學生留下較為深刻的印象． 教學設計 一、問題情景 1. 利用你手中的直尺，如何判定你課桌的桌面是不是平的． 2. 你騎的自行車有一個腳撐就可站穩(wěn)，為什么？ 3. 矩形硬紙板的一頂點放在講臺面上，硬紙板與講臺面不重合，能否說這兩個平面只有一個公共點？ （利用多媒體屏幕呈現(xiàn)問題情景，即在屏幕上出現(xiàn)桌子與直尺、有一個腳撐的自行車、矩形硬紙與講臺面及相應的問題．與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密

4、的實物通過多媒體給出，能夠活躍課堂氣氛，激發(fā)學生學習興趣，從而引導學生積極主動的去探究問題） 二、建立模型 1. 探究公理 （1）問題1的探究 教師提出問題，引發(fā)學生思考： 如何用直尺這個工具來判定你的桌面是不是平的呢？ （把直尺放在物體表面的各個方向上，如果直尺的邊緣與物體的表面不出現(xiàn)縫隙，就可判斷物體表面是平的） 教師點拔：這是判斷物體表面是不是平的的一個常用方法．如果物體表面是平的，把直尺邊緣無論如何放在平面上，則邊緣與平面都沒有縫隙，也就是說，如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)．由此，可以歸納出公理1． 公理1　如果一條直線上的兩點在

5、一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)（如圖14-1）． 這時我們說，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線．這一性質(zhì)是平面的主要特征．彎曲的面就不是處處具有這種性質(zhì)． 教師進一步分析：為了書寫的簡便，我們把代數(shù)中剛學習過的有關集合的符號，引入立體幾何中．把點作為基本元素，直線、平面即為“點的集合”，這樣： 點A在直線a上，記作A∈a； 點A在直線a外，記作Aa； 點A在平面α內(nèi)，記作A∈α； 點A在平面α外，記作Aα； 直線a在平面α內(nèi)，記作aα； 直線a在平面α外，記作aα． 公理1用集合符號表示為：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，則有ａα． 例：證明如果一個三角形的

6、兩邊在一個平面內(nèi)，那么第三邊也在這個平面內(nèi)． 注意：在分析過程中，一定要強調(diào)“要證明直線在平面內(nèi)，則應該證明什么？條件中有沒有，沒有如何去創(chuàng)造”．通過這種逆推思路的分析，培養(yǎng)學生良好的思考習慣． 練習：判斷下列命題的真假 ① 如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線與平面沒有公共點． ② 過一條直線的平面有無數(shù)多個． ③ 與一個平面沒有公共點的直線不存在． ④ 如果線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB也在平面內(nèi)a． （2）問題2的探究 教師提出問題，引發(fā)學生思考： 自行車有一個腳撐就可站穩(wěn)，為什么？ （因為前輪著地點、后輪著地點、腳撐著地點三點在一個平面上，而且為了站穩(wěn)，前輪著地點、后

7、輪著地點、腳撐著地點三點不共線，因此我們可以推測：過不共線的三點有且只有一個平面） 教師演示：用相交于一點的三根小棍的三個端點作為空間不在一直線上的三個點（如圖14-2），當把作為平面的硬紙板放在上面時，這張作為平面的硬紙板不能再“動”了，因為一動就要離開其中的一個點，硬紙板所在平面就不能確定了，正如同剛才的發(fā)現(xiàn)：過不共線的三點有且只有一個平面． 公理2　經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．（如圖14-3） 公理2也可以簡單地說成：不共線的三點確定一個平面． 教師演示課件：在空間給定不共線的三點A，B，C（如圖14-4），作直線AB，BC，CA，再在直線BC，CA

8、，AB上分別取動點P，Q，R，作直線AP，BQ，CR，讓P，Q，R分別在直線BC，CA，AB上運動，我們可以看到這些直線“編織”成一個平面． 教師出示問題：試舉出一個應用公理2的實例． （例如，一扇門用兩個合頁和一把鎖就可以固定了） （3）問題3的探究 教師將矩形硬紙板的一頂點放在講臺面上，讓學生觀察，并同時提出問題：能否說這兩個平面只有一個公共點？ （不能，因為平面是無限延展的，所以這兩個平面應該有一條經(jīng)過這公共點的直線） 教師點拔：我們只能用有限的模型或圖形來表示無限延展的平面，所以我們有時要看模型或圖形，但又不能受模型或圖形的限制來影響我們對平面的無限延展的了解．這個實例說明

9、了平面具有如下性質(zhì)． 公理3　如果兩個不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線．（如圖14-5） 公理3的數(shù)學符號語言： P∈α，P∈βα∩β＝a，P∈a． 教師進一步概括：為了簡便，以后說到兩個平面，如不特別說明，都是指兩個不重合的平面．如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交．這條公共直線叫作這兩個平面的交線．由公理３可見，兩個平面如果有一個公共點，那么就有無窮多個公共點，所有公共點在公共直線上，即它們的交線上；交線上的每一個點都是兩平面的公共點． 練習：判斷下列命題的真假． ①如果兩個平面有兩個公共點A，B，那么它們就有無數(shù)個公共點，并

10、且這些公共點都在直線AB上． ②兩個平面的公共點的集合可能是一條線段． 2. 推出結論 教師明晰：由于兩點確定一條直線，根據(jù)公理2容易得出如下推論： 推論1　經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面． 已知：點A，直線a，Aa．（如圖14-6） 求證：過點A和直線a可以確定一個平面． 分析：“確定一個平面”包含兩層意思：一是存在，二是唯一．這兩層都應證明． （說明：這個證明可以由教師引導學生一起分析完成，但步驟教師一定要板書） 證明：存在性． 因為Aa，在a上任取兩點B，C， 所以過不共線的三點A，B，C有一個平面α．（公理2） 因為B∈α，C∈α， 所以a∈

11、α．（公理1） 故經(jīng)過點A和直線a有一個平面α．唯一性．如果經(jīng)過點A和直線a的平面還有一個平面β，那么Ａ∈β，ａβ， 因為B∈ａ，C∈ａ， 所以B∈β，B∈β．（公理1） 故不共線的三點A，B，C既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)． 所以平面α和平面β重合．（公理2） 所以經(jīng)過點A和直線ａ有且只有一個平面．有時“有且只有一個平面”，我們也說“確定一個平面”． 類似地可以得出下面兩個推論： 推論2　經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．（如圖14-7） 推論3　經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．（如圖14-8） 三、解釋應用 ［例　題］ 兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一個

12、平面內(nèi)．（如圖14-9） 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C． 求證：直線AB，BC，AC共面． 證法1：因為AB∩AC＝A， 所以直線AB，AC確定一個平面α．（推論2） 因為B∈AB，C∈AC， 所以B∈α，C∈α， 故BCα．（公理1） 因此，直線AB，BC，CA都在平面α內(nèi)，即它們共面． 證法2：因為A直線BC， 所以過點A和直線BC確定平面α．（推論1） 因為A∈α，B∈BC，所以B∈α． 故ABα， 同理ACα， 所以AB，AC，BC共面． 證法3：因為A，B，C三點不在一條直線上， 所以過A，B，C三點可以確定平面α．（公理2

13、） 因為A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1） 同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直線共面． 思考：在這道題中“且不過同一點”這幾個字能不能省略，為什么？ （不能，如果三條直線兩兩相交且過同一點，則這三條直線可以不共面） ［練　習］ 1. 三角形、梯形是平面圖形嗎？ 2. 已知：平面α外有一個△ABC，并且△ABC三條邊所在的直線分別與平面α交于三個點P，Q，R．求證P，Q，R三點共線． 四、拓展延伸 1. 四條直線兩兩相交且不過同一點，這四條直線是否一定共面？ 2. 兩個平面最多可以把空間分成幾個部分？三個平面呢？四個平面呢？ 點　評 這篇案例在教師指導下，從現(xiàn)實生活中選擇和確定問題進行研究，以類似科學家探究的方式使學生主動地解決問題，獲取知識，應用知識，并在探究過程中充分利用模型、進行數(shù)學實驗等多種渠道．在問題探究的過程中，學生的空間想象能力、動手能力、解題能力等得到了提高． 這篇案例充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，讓學生參與到問題的探究中，讓學生成為“演員”，變成主角，成為解決問題的決策者，而教師只是充當配角．這樣做不僅激發(fā)了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮了學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉換問題，解決問題．