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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第36講 空間向量及其應(yīng)用教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： （1）空間向量及其運(yùn)算 ① 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程； ② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示； ③ 掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示； ④ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直。 （2）空間向量的應(yīng)用 ① 理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量； ② 能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直、平行關(guān)系； ③ 能用向量方法證明有關(guān)線(xiàn)、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線(xiàn)定理）； ④ 能用

2、向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。 二．命題走向 本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。 預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。 三．要點(diǎn)精講 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向

3、量。如位移、速度、力等。 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向線(xiàn)段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等的向量。 說(shuō)明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相等，用同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示；②平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。 2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率 加法交換率： 加法結(jié)合率： 數(shù)乘分配率： 說(shuō)明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。 3．平行向量(共線(xiàn)向量)：如果表

4、示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量。平行于記作∥。 注意：當(dāng)我們說(shuō)、共線(xiàn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也可能是平行直線(xiàn)；當(dāng)我們說(shuō)、平行時(shí)，也具有同樣的意義。 共線(xiàn)向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（≠）、，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)使＝ 注：⑴上述定理包含兩個(gè)方面：①性質(zhì)定理：若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使＝（≠0），則有∥（若用此結(jié)論判斷、所在直線(xiàn)平行，還需（或）上有一點(diǎn)不在（或）上）。 ⑵對(duì)于確定的和，＝表示空間與平行或共線(xiàn)，長(zhǎng)度為 ||，當(dāng)>0時(shí)與同向，當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量。 ⑶

5、若直線(xiàn)l∥，，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式。 推論：如果?l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線(xiàn)，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿(mǎn)足等式 ① 其中向量叫做直線(xiàn)l的方向向量。 在l上取，則①式可化為 ② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則 ③ ①或②叫做空間直線(xiàn)的向量參數(shù)表示式，③是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)公式。 注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎(chǔ)，也是常用的直線(xiàn)參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。 4．

6、向量與平面平行：如果表示向量的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線(xiàn)a∥的聯(lián)系與區(qū)別。 共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線(xiàn)，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使① 注：與共線(xiàn)向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。 推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使 ④ 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有⑤ 在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于對(duì)于空間

7、任意一點(diǎn)P，只要滿(mǎn)足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿(mǎn)足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線(xiàn)的兩個(gè)向量、（或不共線(xiàn)三點(diǎn)M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。 5．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使 說(shuō)明：⑴由上述定理知，如果三個(gè)向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個(gè)集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可

8、以作為空間向量的一個(gè)基底；⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線(xiàn)。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是。 推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 6．?dāng)?shù)量積 （1）夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作 A B O （1） O A B （2） A

9、B O （3） 說(shuō)明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=； ⑵如果=，則稱(chēng)與互相垂直，記作⊥； A B O （4） ⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線(xiàn)段的起點(diǎn)重合，注意圖（3）、（4）中的兩個(gè)向量的夾角不同， 圖（3）中∠AOB=， 圖（4）中∠AOB=, 從而有==. （2）向量的模：表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。 （3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。 A B l 即=， 向量: （4）性質(zhì)與運(yùn)算率 ⑴。 ⑴ ⑵⊥=0 ⑵= ⑶

10、⑶ 四．典例解析 題型1：空間向量的概念及性質(zhì) 例1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線(xiàn)；②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；③已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是（ ） ①② ①③ ②③ ①②③ 解析：對(duì)于①“如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線(xiàn)”；所以①錯(cuò)誤。②③正確。 點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系。 例2．下列命題正確的是（

11、 ） 若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)； 向量共面就是它們所在的直線(xiàn)共面； 零向量沒(méi)有確定的方向； 若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得； 解析：A中向量為零向量時(shí)要注意，B中向量的共線(xiàn)、共面與直線(xiàn)的共線(xiàn)、共面不一樣，D中需保證不為零向量。 答案C。 點(diǎn)評(píng)：零向量是一個(gè)特殊的向量，時(shí)刻想著零向量這一特殊情況對(duì)解決問(wèn)題有很大用處。像零向量與任何向量共線(xiàn)等性質(zhì)，要兼顧。 題型2：空間向量的基本運(yùn)算 例3．如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ） 解析：顯然； 答案為A。 點(diǎn)評(píng)：類(lèi)比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過(guò)程，掌握好空間向量的用途

12、。用向量的方法處理立體幾何問(wèn)題，使復(fù)雜的線(xiàn)面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力。 例4．已知：且不共面.若∥,求的值. 解：∥,,且即 又不共面, 點(diǎn)評(píng)：空間向量在運(yùn)算時(shí)，注意到如何實(shí)施空間向量共線(xiàn)定理。 題型3：空間向量的坐標(biāo) 例5．（1）已知兩個(gè)非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（　?。? A. ：||=：||　　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k （2）已知向量=（2，4，x

13、），=（2，y，2），若||=6，⊥，則x+y的值是（　?。? A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1 （3）下列各組向量共面的是（　?。? A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5) B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1) C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1) D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1) 解析：（1）D；點(diǎn)撥：由共線(xiàn)向量定線(xiàn)易知； （2）A　點(diǎn)撥：由題知或； （3）A　點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得。 點(diǎn)評(píng)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考察共線(xiàn)

14、、垂直時(shí)參數(shù)的取值情況。 例6．已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設(shè)=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k－2互相垂直，求k的值. 思維入門(mén)指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果. 解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=， ∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）. (1)cos==－， ∴和的夾角為－。 (2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2）， ∴（k－1，k，2）·（k+2，

15、k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。 則k=－或k=2。 點(diǎn)撥：第（2）問(wèn)在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。 題型4：數(shù)量積 例7．(xx江西、山西、天津理，4)設(shè)、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線(xiàn),則 ①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不與垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案：D 解析：①平面向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律.故①假

16、； ②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|－|恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真； ③因?yàn)椋郏āぃāぃ荨?（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假； ④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立.故④真. 點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。 例8．（1）（xx上海文，理2）已知向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，則（2－）·=_____. （2）設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。

17、 解析：（1）答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。 （2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1. 又∵與的夾角為，∴·=||||cos==. 又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。 另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。 (2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解. ∴或同理可得或 ∵≠，∴或 ∴cos<，>=·+·=+=. ∵0≤<，>≤π，∴<，>=。 評(píng)述：本

18、題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。 題型5：空間向量的應(yīng)用 例9．（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：++≤4。 （2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1（1，-2，1）移到點(diǎn)M2(3，1，2)，求物體合力做的功。 解析：（1）設(shè)=(，，)，=(1，1，1)， 則||=4，||=. ∵·≤||·||， ∴·=++≤||·||=4. 當(dāng)==時(shí)，即a=b=c=時(shí)，取“=”號(hào)。 （2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。 點(diǎn)評(píng)：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，則

19、由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱(chēng)為柯西不等式(n=3)。本題考查||·||≥·的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量，，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算?？臻g向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)做功問(wèn)題。 例10．如圖,直三棱柱中,求證: 證明： 同理 又 設(shè)為中點(diǎn),則 又 點(diǎn)評(píng)：從上述例子可以看出,利用空間向量來(lái)解決位置關(guān)系問(wèn)題，要用到空間多邊形法則，向量的運(yùn)算，數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條件。 五．思維總結(jié) 本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式.

20、空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底｛i，j，k｝建立坐標(biāo)系，對(duì)于O點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點(diǎn)的坐標(biāo)，直線(xiàn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)化，要充分利用空間圖形中已有的直線(xiàn)的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類(lèi)似，具有類(lèi)似的運(yùn)算法則.一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒(méi)有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒(méi)變。如向量的數(shù)量積a·b=|a|·|b|cos在二維、三維都是這樣定義的，不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時(shí)同平面兩向量平行時(shí)表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為，對(duì)于中點(diǎn)公式要熟記。 對(duì)本講內(nèi)容的考查主要分以下三類(lèi)： 1．以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì) 此類(lèi)題一般難度不大，用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問(wèn)題。 2．向量在空間中的應(yīng)用 在空間坐標(biāo)系下，通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì)。 在復(fù)習(xí)過(guò)程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本。因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。