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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第04講 基本初等函數(shù)教案 新人教版 一．課標(biāo)要求 1．指數(shù)函數(shù) （1）通過(guò)具體實(shí)例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景； （2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。 （3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； （4）在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型。 2．對(duì)數(shù)函數(shù) （1）理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)

2、；通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用； （2）通過(guò)具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫(huà)的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； 3．知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a＞0，a≠1）。 二．命題走向 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類(lèi)常見(jiàn)的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算理

3、，能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理。 預(yù)測(cè)xx年對(duì)本節(jié)的考察是： 1．題型有兩個(gè)選擇題和一個(gè)解答題； 2．題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考察函數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)它們與其它知識(shí)點(diǎn)交匯命題，則難度會(huì)加大。 三．要點(diǎn)精講 1．指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 （1）根式的概念： ①定義：若一個(gè)數(shù)的次方等于，則這個(gè)數(shù)稱(chēng)的次方根。即若，則稱(chēng)的次方根， 1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，次方根記作； 2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒(méi)有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù)，記作。 ②性質(zhì)：1）；2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，。 （2）．冪的有關(guān)概念 ①規(guī)定：1）N*；2）；

4、 n個(gè) 3）Q，4）、N* 且。 ②性質(zhì)：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）。 （注）上述性質(zhì)對(duì)r、R均適用。 （3）．對(duì)數(shù)的概念 ①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱(chēng)以為底N的對(duì)數(shù)，記作其中稱(chēng)對(duì)數(shù)的底，N稱(chēng)真數(shù)。 1）以10為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)常用對(duì)數(shù)，記作； 2）以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)自然對(duì)數(shù)，，記作； ②基本性質(zhì)： 1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù)）；2）； 3）；4）對(duì)數(shù)恒等式：。 ③運(yùn)算性質(zhì)：如果則 1）； 2）； 3）R）。 ④換底公式： 1）；2）。 2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) （1）指數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù)稱(chēng)

5、指數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域?yàn)镽；2）函數(shù)的值域?yàn)椋? 3）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。 ②函數(shù)圖像： 1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、二象限； 2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無(wú)限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無(wú)限接近軸）； 3）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。 ①， ②， ③ ①， ②， ③， ③函數(shù)值的變化特征： （2）對(duì)數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù)稱(chēng)對(duì)數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）函數(shù)的值域?yàn)镽； 3）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)； 4

6、）對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。 ②函數(shù)圖像： 1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、四象限； 2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向上無(wú)限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無(wú)限接近軸）； 4）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。 ③函數(shù)值的變化特征： ①， ②， ③. ①， ②， ③. 四．典例解析 題型1：指數(shù)運(yùn)算 例1．（1）計(jì)算：； （2）化簡(jiǎn)：。 解：（1）原式= ； （2）原式= 。 點(diǎn)評(píng)：根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形

7、式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。 例2．已知，求的值。 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴。 點(diǎn)評(píng)：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。 題型2：對(duì)數(shù)運(yùn)算 例3．計(jì)算 （1）；（2）； （3）。 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）分子=； 分母=； 原式=。 點(diǎn)評(píng)：這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中

8、這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。 例4．設(shè)、、為正數(shù)，且滿足 （1）求證：； （2）若，，求、、的值。 證明：（1）左邊 ； 解：（2）由得， ∴……………① 由得………… ……………② 由①②得……………………………………③ 由①得，代入得， ∵， ∴………………………………④ 由③、④解得，，從而。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問(wèn)題，還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見(jiàn)形式再來(lái)處理即可。 題型3：指數(shù)、對(duì)數(shù)方程 例5．設(shè)關(guān)于的方程R）， （1）若方程有實(shí)數(shù)解

9、，求實(shí)數(shù)b的取值范圍； （2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。 解：（1）原方程為， ， 時(shí)方程有實(shí)數(shù)解； （2）①當(dāng)時(shí)，，∴方程有唯一解； ②當(dāng)時(shí)，. 的解為； 令 的解為； 綜合①、②，得 1）當(dāng)時(shí)原方程有兩解：； 2）當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解； 3）當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解。 點(diǎn)評(píng)：具有一些綜合性的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題的解答涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)，題型非常廣泛，應(yīng)通過(guò)解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)。 例6．（xx遼寧 文13）方程的解為 。 解：考察對(duì)數(shù)運(yùn)算。原方程變形為

10、，即，得。且有。從而結(jié)果為。 點(diǎn)評(píng)：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來(lái)求解。 題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例7．設(shè)（ ） A．0 　B．1 C．2 D．3 解：C；，。 點(diǎn)評(píng)：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值。 例8．已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。 解：令，則x=，t∈R。 所以即，（x∈R）。 因?yàn)閒(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f(x)在[0，+∞）上的單調(diào)性。 任取，，且使，則

11、 （1）當(dāng)a>1時(shí)，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增。 （2）當(dāng)0

12、點(diǎn)評(píng)：本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點(diǎn)仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征。 例10．設(shè)函數(shù)的取值范圍。 解：由于是增函數(shù)，等價(jià)于　　　?、? 1)當(dāng)時(shí)，，①式恒成立； 2)當(dāng)時(shí)，，①式化為，即； 3)當(dāng)時(shí)，，①式無(wú)解； 綜上的取值范圍是。 點(diǎn)評(píng)：處理含有指數(shù)式的不等式問(wèn)題，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式問(wèn)題（一元一次、一元二次不等式）來(lái)處理。 題型6：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例11．（1）函數(shù)的定義域是（ ） A． B． C． D． （2）（xx湖北）設(shè)f(x)＝，則的定義域?yàn)椋?/p>

13、 ） A． B．(－4,－1)(1，4) C．(－2,－1)(1，2) D．(－4,－2)(2，4) 解：（1）D（2）B。 點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對(duì)數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時(shí)才有意義。對(duì)于抽象函數(shù)的處理要注意對(duì)應(yīng)法則的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 例12．對(duì)于， （1）函數(shù)的“定義域?yàn)镽”和“值域?yàn)镽”是否是一回事； （2）結(jié)合“實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在上有意義”與“實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椤闭f(shuō)明求“有意義”問(wèn)題與求“定義域”問(wèn)題的區(qū)別； （3）結(jié)合（1）（2）兩問(wèn)，說(shuō)明實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)的值域?yàn)? （

14、4）實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在內(nèi)是增函數(shù)。 解：記，則； （1）不一樣； 定義域?yàn)镽恒成立。 得：，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為。 值域?yàn)镽：值域?yàn)镽至少取遍所有的正實(shí)數(shù)， 則，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為。 （2）實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在上有意義： 命題等價(jià)于對(duì)于任意恒成立， 則或， 解得實(shí)數(shù)a得取值范圍為。 實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋? 由已知得二次不等式的解集為可得，則a=2。故a的取值范圍為{2}。 區(qū)別：“有意義問(wèn)題”正好轉(zhuǎn)化成“恒成立問(wèn)題”來(lái)處理，而“定義域問(wèn)題”剛好轉(zhuǎn)化成“取遍所有問(wèn)題”來(lái)解決（這里轉(zhuǎn)化成了解集問(wèn)題，即取遍解集內(nèi)所有的數(shù)值） （3）易知得值域是，又得值域是，

15、 得，故a得取值范圍為{－1，1}。 （4）命題等價(jià)于在上為減函數(shù)，且對(duì)任意的恒成立，則，解得a得取值范圍為。 點(diǎn)評(píng)：該題主要考察復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問(wèn)題。解題過(guò)程中遇到了恒成立問(wèn)題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數(shù)”不等價(jià)，同時(shí)又考察了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況，解題過(guò)程中結(jié)合三個(gè)“二次”的重要結(jié)論來(lái)進(jìn)行處理。 題型7：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 例13．當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是( ) 解：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選， 又a>1時(shí)，y=(1－a)x為減函數(shù)。 答案：B 點(diǎn)評(píng)：要正確識(shí)別函數(shù)

16、圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握?qǐng)D像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過(guò)定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。 例14．設(shè)A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點(diǎn), 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點(diǎn)C, 與直線AB交于點(diǎn)D。 （1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)； （2）當(dāng)△ABC的面積大于1時(shí), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：（1）易知D為線段AB的中點(diǎn), 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中點(diǎn)公式得D(a+2, log2 )。 （2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…

17、= log2, 其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影。 由S△ABC= log2>1, 得0< a<2－2。 點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程中用到了對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類(lèi)來(lái)處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理復(fù)雜問(wèn)題。 題型8：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題 例15．在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=xx()x(0

18、一個(gè)三角形，求a的取值范圍； (3)設(shè)Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列{Cn}前多少項(xiàng)的和最大？試說(shuō)明理由。 解：(1)由題意知：an=n+,∴bn=xx()。 (2)∵函數(shù)y=xx()x(0bn+1>bn+2。 則以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn， 即()2+()－1>0， 解得a<－5(1+)或a>5(－1)。 ∴5(－1)

19、 對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2,Bn=bnBn－1。 于是當(dāng)bn≥1時(shí)，Bn

20、義域是。 （2）若a=2，則 設(shè) ， 則 故f(x)為增函數(shù)。 （3）設(shè) ① ∵f(x)是增函數(shù)， ∴f(x1)＞f(x2) 即 ② 聯(lián)立①、②知a＞1， ∴a∈(1，+∞)。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可。 題型9：課標(biāo)創(chuàng)新題 例17．對(duì)于在區(qū)間上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)任意的，均有，則稱(chēng)f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱(chēng)f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間。 （1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值

21、范圍； （2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。 解：（1）兩個(gè)函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因?yàn)楹瘮?shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù)， 故有意義當(dāng)且僅當(dāng)； （2）構(gòu)造函數(shù)， 對(duì)于函數(shù)來(lái)講， 顯然其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。 且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。 由于，得 所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證 當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是接近的； 當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是非接近的。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對(duì)含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進(jìn)行研究，轉(zhuǎn)化成含有對(duì)數(shù)因式的不等式問(wèn)題，解不等式即可。 例18．設(shè)，，且，求的最小值。

22、 解：令 ， ∵，，∴。 由得，∴， ∴，∵，∴，即，∴， ∴， ∵，∴當(dāng)時(shí)，。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識(shí)處理最值問(wèn)題，這是出題的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)考察了學(xué)生的變形能力。 五．思維總結(jié) 1．（其中）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問(wèn)題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算.在運(yùn)算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底； 2．要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過(guò)各種題型的

23、訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)； 3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí)； 4．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)（上面知識(shí)結(jié)構(gòu)表中的12個(gè)小點(diǎn)）是解決含指數(shù)、對(duì)數(shù)式的問(wèn)題時(shí)使用頻繁的關(guān)鍵知識(shí)，要達(dá)到滾瓜爛熟，運(yùn)用自如的水平，在使用時(shí)常常還要結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的特殊值共同分析； 5．含有參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的討論問(wèn)題是重點(diǎn)題型，解決這類(lèi)問(wèn)題的最基本的分類(lèi)方案是以“底”大于1或小于1分類(lèi)； 6．在學(xué)習(xí)中含有指數(shù)、對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類(lèi)綜合問(wèn)題等等，因此要努力提高綜合能力。