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1、2022年高三數(shù)學(xué)3月月考試題 文(II) 一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分） 1．函數(shù)的部分圖像如圖所示，如果，且，則 （ ） A. B. C. D.1 2．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為 A． B． C． D． 3．函數(shù)在上的最大值為1，則的取值范圍是（ ） A. ?? ? B.??? C. ???? D. 4．已知直線l⊥平面α,直線m∥平面β,則“α∥β”是“l(fā)⊥m”的(　　) (A)充分不必要條

2、件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既非充分也非必要條件 5．函數(shù)f(x)=錯(cuò)誤！未找到引用源。的圖象和g(x)=log2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) (A)4　　　　(B)3　　　　(C)2　　　　(D)1 6．已知集合，則等于（ ） A． B． C． D． 7．設(shè)集合，，，則CU A . B. C. D. 8．如果隨機(jī)變量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，則P(-1<ξ≤1)等于( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（

3、2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2） 9．已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)是偶函數(shù) C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 10．已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a與b的夾角為60°，且|a|＝|b|＝1，則向量a與c的夾角為(　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 11． 設(shè)x,y滿足則x+y的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 12．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使

4、的值介于到1之間的概率為 ( ) A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每題5分，滿分20分） 13．函數(shù)的最小值是 ； 14．已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),前項(xiàng)和為，若，．則公比q= ， ． 15．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，則角A= . 16．已知圓與圓，在下列說法中： ①對(duì)于任意的，圓與圓始終相切； ②對(duì)于任意的，圓與圓始終有四條公切線； ③當(dāng)時(shí)，圓被直線截得的弦長為； ④分別為圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為4．

5、 其中正確命題的序號(hào)為______． 三、解答題（本大題共6個(gè)小題，滿分70分 17．（本小題滿分12分） 已知 設(shè)， ，，若圖象中相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離等于． （1）求的值； （2）在中，分別為角的對(duì)邊，．當(dāng)時(shí)，求的值． 18．（本小題滿分12分）已知, ， （Ⅰ）把表示為的函數(shù)并寫出定義域; （Ⅱ）求的最值. 19．(本題滿分10分)甲乙兩地相距 km,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過 km/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度 km/h的平方成正比,比例系數(shù)為,固定部分為元. (1)把全程運(yùn)輸成本(元)

6、表示為速度(千米/時(shí))的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域; (2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛? 20．（本題12分）甲盒有標(biāo)號(hào)分別為1、2、3的3個(gè)紅球；乙盒有標(biāo)號(hào)分別為1、2、…、 的個(gè)黑球，從甲、乙兩盒中各抽取一個(gè)小球，抽到標(biāo)號(hào)為1號(hào)紅球和號(hào)黑球的概率為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）現(xiàn)從甲乙兩盒各隨機(jī)抽取1個(gè)小球，抽得紅球的得分為其標(biāo)號(hào)數(shù)；抽得黑球，若標(biāo)號(hào)數(shù)為奇數(shù)，則得分為1，若標(biāo)號(hào)數(shù)為偶數(shù)，則得分為0，設(shè)被抽取的2個(gè)小球得分之和為，求的數(shù)學(xué)期望． 21．（本題12分）PM2．5是指大氣中直徑小于或等于2．5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，對(duì)人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量的

7、影響很大。我國PM2．5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克／立方米～75微克／立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克／立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)． 某市環(huán)保局從360天的市區(qū)PM2．5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取l5天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示(十位為莖，個(gè)位為葉)． (1)從這l5天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記表示空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求的分布列； (2)以這l5天的PM2．5日均值來估計(jì)這360天的空氣質(zhì)量情況，則其中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)． 22．（本題12分）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．若設(shè)是從開始的前項(xiàng)數(shù)列的

8、和，即，，如此下去，其中數(shù)列是從第開始到第)項(xiàng)為止的數(shù)列的和，即． (1)若數(shù)列,試找出一組滿足條件的,使得： ； (2)試證明對(duì)于數(shù)列，一定可通過適當(dāng)?shù)膭澐郑顾玫臄?shù)列中的各數(shù)都為平方數(shù)； (3)若等差數(shù)列中．試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列 ,使得為等比數(shù)列,如存在,就求出數(shù)列；如不存在，則說明理由 參考答案 1．D 【解析】 試題分析：由圖可知，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且.如果，且，則易知關(guān)于直線對(duì)稱，所以.所以. 考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 2．D 【解析】 試題分析：因?yàn)?，? 所以，， 所以，=，故選D。 考點(diǎn)：等比數(shù)列的求和公式。 點(diǎn)評(píng)：簡

9、單題，由求得，進(jìn)一步求。 3．D 【解析】,由于f(0)=1,f(-3)=1,并且當(dāng),所以. 4．A 【解析】若α∥β,l⊥α,則l⊥β, 又m∥β,∴l(xiāng)⊥m,若l⊥m,l⊥α,m∥β,不一定有α∥β,故“α∥β”是“l(fā)⊥m”的充分不必要條件. 故選A. 5．C 【解析】在同一坐標(biāo)系中作出f(x)和g(x)的圖象如圖所示, 由圖象知有兩個(gè)交點(diǎn),故選C. 【誤區(qū)警示】本題易由于作圖時(shí)沒有去掉(1,0)點(diǎn),而誤選B. 6． 【解析】 試題分析：由已知，=， 選. 考點(diǎn)：集合的運(yùn)算 7．C 【解析】略 8．D 【解析】略 9．C 【解析】 試題分析：,

10、故．函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù),所以AB正確, 函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為,即,對(duì)稱軸不可能為,故C錯(cuò)誤,在上函數(shù)是增函數(shù),故D正確.,所以選C. 考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 10．D 【解析】因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos 60°＝3.所以|c|＝. 又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos 60°＝－，設(shè)向量c與a的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 11．A 【解析】 考點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算及基本不等式 由，可得且，，即，由基本不等式，可知，則，當(dāng)

11、且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 點(diǎn)評(píng)：此題考查基本不等式變形形式，屬中下檔題型 12．B 【解析】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出?cos 的值介于到1之間對(duì)應(yīng)線段的長度，再將其代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解． 解答：解：在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x， 即x∈[-1，1]時(shí)，要使?cos的值介于到1之間， 需使?- ≤≤， ∴-≤x≤?，區(qū)間長度為 1， 由幾何概型知?cos的值介于到1之間的概率為 故選B． 點(diǎn)評(píng)：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出

12、滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P= 求解． 13． 【解析】 試題分析： 考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)，二倍角公式 點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于三角函數(shù)的性質(zhì)的理解和運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。 14．2， 31. 【解析】 試題分析： 因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且設(shè)其公比為q,那么可知，故可知公比為2，首項(xiàng)為1，那么，因此答案為2,31. 考點(diǎn)：本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，以及通項(xiàng)公式的求解運(yùn)算。 點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)的關(guān)系式，聯(lián)立方程組得到公比和首項(xiàng)的值，得到解決。 15．120°

13、【解析】 16．①③④ 【解析】對(duì)于①，我們知道兩個(gè)圓相切等價(jià)于兩個(gè)圓的圓心距剛好等于兩個(gè)圓的半徑之和，有題意，有：圓的半徑為：1，圓心為：；圓的半徑為：1，圓心為：，所以兩個(gè)圓的圓心距為：，又因?yàn)?，兩圓的半徑之和為：1+1=2=圓心距，所以對(duì)于任意，圓和圓始終相切。 對(duì)于②，從①有，兩圓相切，所以兩圓只有三條公切線，所以②錯(cuò)誤。 對(duì)于③，我們有圓的方程為：，故有圓的圓心為：，設(shè)其被所截弦為，過圓心做垂直于，則由圓的性質(zhì)，有是弦的中點(diǎn)，所以圓心到直線的距離為：，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以有其所截弦的長為：所以③正確。 對(duì)于④，由①有，兩圓相切，所以兩圓上的點(diǎn)的最大距離就是兩圓的直徑之和

14、，因?yàn)榈闹睆綖?，的直徑也為2，也就是說的最大值為：2+2=4. 17．（1）；（2） 或。 【解析】 試題分析：（1） --------------2分 ------------4分 又 ∴ -------5分 解得 -------------6分 （2）因， -----------7分 因 得 -----------8分 又-------------------10分 解得 或 ------------12分 考點(diǎn)：本題主要考查三角函數(shù)恒等變換，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，函數(shù)方程思想，余弦定理的應(yīng)用。 點(diǎn)評(píng)：典型題，為研究三角函數(shù)的圖象

15、和性質(zhì)，往往需要將函數(shù)“化一”。借助于函數(shù)方程思想，由余弦定理、三角形面積公式構(gòu)建b,c的方程，達(dá)到解題目的。 18．（1）（2）的最大值為1，的最小值 【解析】（Ⅰ） 所以 …………………………………………4分 由 所以函數(shù)的定義域?yàn)椤?分 （Ⅱ）……………………………8分 w.&w.^w.k.s.5*u.c.#o@m 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值1 減函數(shù) ………………………10分 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ， ，w.&w.^

16、w.k.s.5*u.c.#o@m 的最大值為1，的最小值………………………………12分 19．（1）所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=s(+bv),v∈. （2）為使全程運(yùn)輸成本y最小,當(dāng)≤c時(shí),行駛速度為v=;當(dāng)>c時(shí),行駛速度為v=c. 【解析】解:(1)依題意知,汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為,全程運(yùn)輸成本為y=a·+bv2·=s(+bv). 故所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=s(+bv),v∈. (2)依題意知s,a,b,v都是正數(shù),故有s(+bv)≥2s.當(dāng)且僅當(dāng)=bv,即v=時(shí)上式中等號(hào)成立. ①當(dāng)≤c時(shí),則當(dāng)v=時(shí)全程運(yùn)輸成本最小; ②當(dāng)>c時(shí),則當(dāng)v∈時(shí)有s(+bv)-s(+

17、bc)=s[(-)+(bv-bc)]=(c-v)(a-bcv). ∵c-v≥0且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,∴s(+bv)≥s(+bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立. 即當(dāng)v=c時(shí)全程運(yùn)輸成本最小. 綜上知,為使全程運(yùn)輸成本y最小,當(dāng)≤c時(shí),行駛速度為v=;當(dāng)>c時(shí),行駛速度為v=c. 20．解：（Ⅰ）由題意知：， ……………………………4分 （Ⅱ） ……………………………12分 【解析】略 21．（1）分布列為 0 1 2 3 （2）一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為144天. 【解析】 試題分析：（1）由

18、 ,的可能值為0，1，2，3 利用 即得分布列： 0 1 2 3 （2）一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為， 由～ , 得到(天) ， 一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為144天. 試題解析：（1）∵ ,的可能值為0，1，2，3 其分布列為 3分 0 1 2 3 6分 （2）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為 一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為 則～ , 所以(天) 11分 一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為144天 12分 考

19、點(diǎn)：超幾何分布，二項(xiàng)分布. 22．(1);(2)證明見解析；（3）不存在，證明見解析． 【解析】 試題分析：（1）仔細(xì)閱讀題目，其實(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)第2小題已經(jīng)給我們指明了方向，從第一個(gè)數(shù)開始適當(dāng)劃分，使每段的和為平方數(shù)，同時(shí)想辦法滿足，這樣既完成了第1小題，又可完成第2小題，從最簡單入手，，，因此思考是否可能有呢？，這樣第1小題完成；（2）這類問題實(shí)質(zhì)就是要我們作出一個(gè)符合條件的劃分，由（1）的分析，可知只要，則所得劃分就是符合題意的，事實(shí)上，， ，是完全平方數(shù)；（3）這類問題總是假設(shè)存在，然后推導(dǎo)，能求出就說明存在，不能求出或推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論就說明不存在，可以計(jì)算出，數(shù)列必定是公比大于1的整

20、數(shù)的等比數(shù)列，但事實(shí)上，，從而要求是完全平方數(shù)，這是不可能的，故假設(shè)錯(cuò)誤，本題結(jié)論是不存在． 試題解析：（1）則;（4分） (2)記即,又由，,所以第二段可取3個(gè)數(shù)，；再由，即,因此第三段可取9個(gè)數(shù)，即，依次下去, 一般地:,（6分） 所以，（8分） （9分） 則． 由此得證．（11分） （3）不存在．令,則 假設(shè)存在符合題意的等比數(shù)列, 則的公比必為大于的整 數(shù),(,因此，即 此時(shí),注意到, （14分） 要使成立,則必為完全平方數(shù),（16分） 但,矛盾．因此不存在符合題意的等差數(shù)列．（18分） 考點(diǎn)：（1）構(gòu)造法解題；（2）存在性命題；（2）數(shù)列的綜合性問題．