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1、2022年高中數(shù)學(xué) 階段性測試題2 新人教B版選修1-1 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．平面上有兩個定點(diǎn)A、B及動點(diǎn)P，命題甲：“|PA|－|PB|是定值”，命題乙“點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線”，則甲是乙的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　當(dāng)|PA|－|PB|＝|AB|時，點(diǎn)P的軌跡是一條射線，故甲?/ 乙，而乙?甲，故選B. 2．如果雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(6，)，且它的兩條漸近線方程是y＝±x，那么雙

2、曲線方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.－＝1 [答案]　C [解析]　設(shè)雙曲線方程為＝λ將點(diǎn)(6，)代入求出λ即可．答案C. 3．雙曲線與橢圓＋y2＝1共焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是x－y＝0，則此雙曲線方程是(　　) A．y2－＝1 B.－x2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 [答案]　C [解析]　∵橢圓＋y2＝1的焦點(diǎn)為(±2,0)， ∴雙曲線的焦點(diǎn)為(±2,0)，排除A、B. 又選項(xiàng)D的漸近線為y＝±x，故選C. 4．若方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則下列關(guān)系成立的是(　　) A.> B.< C.>

3、 D.< [答案]　A [解析]　方程－＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴b<0，∴>. 5．設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線為y＝±x，則該雙曲線的離心率為(　　) A．5 B. C. D. [答案]　C [解析]　∵＝，∴＝＝＝e2－1＝，∴e2＝，e＝. 6．在下列各對雙曲線中，既有相同的離心率又有相同的漸近線的是(　　) A.－y2＝1和－＝1 B.－y2＝1和x2－＝1 C．y2－＝1和x2－＝1 D.－y2＝1和－＝1 [答案]　A [解析]　A中離心率都為，漸近線都為y＝±x. 7．若不論k為何值，直線y＝k(x－2)＋b與曲線x2－y

4、2＝1總有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　) A．(－，) B．[－，] C．(－2,2) D．[－2,2] [答案]　B [解析]　由直線過點(diǎn)(2，b)，因?yàn)閤＝2時，y2＝x2－1＝3，所以y＝±，所以b∈[－，]，故選B. 8．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由，得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，可得a2＝7，∴2a＝2. 9．A(x1，y1)，B，

5、C(x2，y2)為橢圓＋＝1上三點(diǎn)，若F(0,4)與三點(diǎn)A、B、C的距離為等差數(shù)列，則y1＋y2的值為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　＝，即|AF|＝5－y1，＝，即|CF|＝5－y2，|BF|＝＝. 由題意知2|BF|＝|AF|＋|CF|，所以5－y1＋5－y2＝，所以y1＋y2＝. 10．a(chǎn)≠0，b≠0，則方程ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab表示的曲線可能是(　　) [答案]　C [解析]　由圖象可知選C. 11．已知雙曲線－＝1和橢圓＋＝1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么a，b，m為邊長的三角形一定是(　　) A

6、．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 [答案]　B [解析]　雙曲線－＝1的離心率e1＝，橢圓＋＝1的離心率為e2＝， 由e1·e2＝1得·＝1， ∴a2＋b2＝m2，∴a，b，m為邊長的三角形一定是直角三角形． 12．已知F(c,0)是橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)，F(xiàn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為m，最小值為n，則橢圓上與點(diǎn)F的距離為的點(diǎn)是(　　) A．(c，±) B．(c，±) C．(0，±b) D．不存在 [答案]　C [解析]　在橢圓中，＝＝a，而a2＝b2＋c2，所以短軸端點(diǎn)(0，±b)與F的距離為a. 二、填空

7、題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．將正確的答案填在題中橫線上) 13．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)與它的短軸的兩個端點(diǎn)是一個正方形的四個頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為________． [答案]　 [解析]　由題意a2＋a2＝4c2，所以e＝＝. 14．(xx·遼寧)已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________． [答案]　9 [解析]　設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由題意知F′(4,0)．由雙曲線定義，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即

8、可，|PF′|＋|PA|最小需P，F(xiàn)′，A三點(diǎn)共線，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9. 15．與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，且兩條漸近線互相垂直的雙曲線方程為__________． [答案]?。? [解析]　∵雙曲線的兩漸近線互相垂直， ∴雙曲線為等軸雙曲線，又c2＝5，∴a2＝b2＝. 16．點(diǎn)P是雙曲線－y2＝1上的一動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是________． [答案]　x2－4y2＝1 [解析]　設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x0＝2x，y0＝2y，代入雙曲線方程得－＝1，即x2－4y2＝1. 三、解答題(本大題

9、共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率e＝，且雙曲線過點(diǎn)P(2，3)，求雙曲線E的方程． [解析]　當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)， ∵e＝＝，∴c2＝a2，b2＝a2， 又點(diǎn)P(2,3)在雙曲線上，解得a2＝－32(舍去)． 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為： －＝1(a>0，b>0)，同理解得a2＝10，b2＝5， ∴雙曲線E的方程為：－＝1. 18．(本題滿分12分)已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m. (1)當(dāng)直線和橢圓有

10、公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程． [解析]　(1)聯(lián)立，得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)． 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤. (2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)． 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 所以當(dāng)m＝0時，|AB|最大，此時直線方程為y＝x. 19．(本題滿分12分)在面積為1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N

11、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程． [解析]　以MN所在直線為x軸，MN的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)，如圖所示， 則有解得設(shè)雙曲線的方程為－＝1，將P(，)代入，可得a2＝，所以所求雙曲線的方程為－＝1. 20．(本題滿分12分)橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個焦點(diǎn)F與短軸兩端點(diǎn)B1、B2的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與較近的長軸端點(diǎn)A的距離為－，求橢圓方程． [解析]　設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由橢圓的定義知Rt△B2OF中，有|B2F|＝a＝|B1F|， 又△B2FB1為等腰直角三角形， 則|OB2|＝

12、|OF|＝b，∴a＝c， 由已知|FA|＝a－c，則有 解之得c＝，故b＝，a＝. ∴所求橢圓方程為＋＝1. 21．(本題滿分12分)已知α∈，試討論當(dāng)α的值變化時，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示曲線的形狀． [解析]　當(dāng)α＝0時，sinα＝0，cosα＝1， 方程x2sinα＋y2cosα＝1化為y2＝1，即y＝±1，方程表示兩條直線， 當(dāng)0<α<時，0

13、<α<時，sinα>cosα>0， 方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓； 當(dāng)α＝時，sinα＝1，cosα＝0， 方程x2sinα＋y2cosα＝1化為x＝±1， ∴方程表示兩條直線． 22．(本題滿分14分)已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過其右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若OP⊥OQ，求此橢圓的離心率e. [解析]　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線方程為y＝x－c， 由　得， (a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， 又y1＝x1－c，y2＝x2－c， ∴y1y2＝x1x2－c(x1＋x2)＋c2＝， ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴＋＝0， 又b2＝a2－c2， 化簡得c4－4a2c2＋2a4＝0， ∴e4－4e2＋2＝0，e2＝2－，e＝.