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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第13講 直線 圓的方程教案 新人教版 一．課標要求： 1．直線與方程 （1）在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素； （2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式； （3）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關系； 2．圓與方程 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。 二．命題走向 直線方程考察的重點是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距）有關問題，

2、可與三角知識聯(lián)系；圓的方程，從軌跡角度講，可以成為解答題，尤其是參數(shù)問題，在對參數(shù)的討論中確定圓的方程。 預測xx年對本講的考察是： （1）2道選擇或填空，解答題多與其他知識聯(lián)合考察，本講對于數(shù)形結合思想的考察也會是一個出題方向； （2）熱點問題是直線的傾斜角和斜率、直線的幾種方程形式和求圓的方程。 三．要點精講 1．傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜角，范圍為。 2．斜率：當直線的傾斜角不是900時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當直線的傾斜角等于900時，直線的斜率不存在。 過兩點p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠

3、x2)的直線的斜率公式:k=tan（若x1＝x2，則直線p1p2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為900）。 4．直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。 名稱 方程 說明 適用條件 斜截式 y=kx+b k——斜率 b——縱截距 傾斜角為90°的直線不能用此式 點斜式 y-y0=k(x-x0) (x0，y0)——直線上 已知點，k——斜率 傾斜角為90°的直線不能用此式 兩點式 = (x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點 與兩坐標軸平行的直線不能用此式 截距式 +

4、=1 a——直線的橫截距 b——直線的縱截距 過（0，0）及與兩坐標軸平行的直線不能用此式 一般式 Ax+By+C=0 ，，分別為斜率、橫截距和縱截距 A、B不能同時為零 直線的點斜式與斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 軸）的直線；兩點式不能表示平行或重合兩坐標軸的直線；截距式不能表示平行或重合兩坐標軸的直線及過原點的直線。 5．圓的方程 圓心為，半徑為r的圓的標準方程為：。特殊地，當時，圓心在原點的圓的方程為：。 圓的一般方程，圓心為點，半徑，其中。 二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：①、項項的系數(shù)相同且不為0，即；②、沒有xy項，即B=0；③、。 四．

5、典例解析 圖 題型1：直線的傾斜角 例1．（1995全國，5）圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D 解析：直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的傾斜角α2、α3均為銳角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故應選D。 點評：本題重點考查直線的傾斜角、斜率的關系，考查數(shù)形結合的能力。 例2．過點P（2，1）作直線分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點，求的值最小時直線的方程。 解析：依題意作

6、圖，設∠BAO＝， 則， ， 當，即時的值最小，此時直線的傾斜角為135°， ∴斜率。 故直線的方程為，即。 點評：求直線方程是解析幾何的基礎，也是重要的題型。解這類題除用到有關概念和直線方程的五種形式外，還要用到一些技巧。 題型2：斜率公式及應用 例3．（1）（05年江西高考）設實數(shù)x，y滿足，則的最大值是___________。 （2）（1997全國文，24）已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數(shù)y＝log2x的圖象交于C、D兩點。 （1）證明點C、D和原點O在同一條直線上。

7、（2）當BC平行于x軸時，求點A的坐標。 解析：（1）如圖，實數(shù)x，y滿足的區(qū)域為圖中陰影部分（包括邊界），而表示點（x，y）與原點連線的斜率，則直線AO的斜率最大，其中A點坐標為，此時，所以的最大值是。 點評：本題還可以設，則，斜率k的最大值即為的最大值，但求解頗費周折。 （2）證明：設A、B的橫坐標分別為x1，x2，由題設知x1＞1，x2＞1，點A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）. 因為A、B在過點O的直線上，所以， 又點C、D的坐標分別為（x1，log2x1），（x2，log2x2） 由于log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝＝3log8x2，

8、 所以OC的斜率和OD的斜率分別為 。 由此得kOC＝kOD，即O、C、D在同一條直線上。 由BC平行于x軸，有l(wèi)og2x1＝log8x2，解得 x2＝x13 將其代入，得x13log8x1＝3x1log8x1. 由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，x1＝，于是點A的坐標為（，log8）. 點評：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎知識，考查運算能力和分析問題的能力。 例4．（05年全國高考）當時，函數(shù)的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 解析：

9、原式化簡為，則y看作點A（0，5）與點的連線的斜率。 因為點B的軌跡是 即 過A作直線，代入上式，由相切（△＝0）可求出，由圖象知k的最小值是4，故選C。 點評：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導的方法求最值等。但將問題轉化為直線與橢圓的位置關系使問題解決的十分準確與清晰。 題型3：直線方程 例5．已知直線的點斜式方程為，求該直線另外三種特殊形式的方程。 解析：（1）將移項、展開括號后合并，即得斜截式方程。 （2）因為點（2，1）、（0，）均滿足方程，故它們?yōu)橹本€上的兩點。 由兩點式方程得： 即 （3）由知：直線在y軸上的

10、截距 又令，得 故直線的截距式方程 點評：直線方程的四種特殊形式之間存在著內在的聯(lián)系，它是直線在不同條件下的不同表現(xiàn)形式，要掌握好它們之間的互化。在解具體問題時，要根據(jù)問題的條件、結論，靈活恰當?shù)剡x用公式，使問題解得簡捷、明了。 例6．直線經(jīng)過點P（-5，-4），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。 解析：設所求直線的方程為， ∵直線過點P（-5，-4），，即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。 即，或 點評：要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也

11、有三種： （1）從點的坐標或中直接觀察出來； （2）由斜截式或截距式方程確定截距； （3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a。 總之，在求直線方程時，設計合理的運算途徑比訓練提高運算能力更為重要。解題時善于觀察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。 題型3：直線方程綜合問題 例5．（xx北京春理，12）在直角坐標系xOy中，已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x=0，y=0，2x+3y=30，則△AOB內部和邊上整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）的總數(shù)是（ ） A．95 B．91 C．88

12、D．75 答案：B 解析一：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）轉化為求滿足不等式y(tǒng)≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整數(shù)y的值.然后再求其總數(shù).令x=0，y有11個整數(shù)，x=1，y有10個，x=2或x=3時，y分別有9個，x=4時，y有8個，x=5或6時，y分別有7個，類推：x=13時y有2個，x=14或15時，y分別有1個，共91個整點.故選B。 圖 解析二：將x=0，y=0和2x+3y=30所圍成的三角形補成一個矩形.如圖所示。 對角線上共有6個整點，矩形中（包括邊界）共有16×11=176.因此所求△AOB內部和邊上的整點共有=91（個） 點評：本題較好地考查了考生的

13、數(shù)學素質，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑。 例6．（xx京春理，22）已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上。 （Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程； （Ⅱ）設過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點。 （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由； （ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍。 （Ⅰ）解法一，依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x. 圖 解法二：設M（x，y），依題意有|MP|=|MN|， 所以|x+1|

14、=?；喌茫簓2=4x。 （Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）. 由消y得3x2－10x+3=0， 解得x1=，x2=3。 所以A點坐標為（），B點坐標為（3，－2）， |AB|=x1+x2+2=。 假設存在點C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 ① ② 由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2， 解得y=－。 但y=－不符合①， 所以由①，②組成的方程組無解。 因此，直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形。 （ii）解法一：設C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由得y=2， 即當點

15、C的坐標為（－1，2）時，A、B、C三點共線，故y≠2。 又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2， |BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2， |AB|2=（）2=。 當∠CAB為鈍角時，cosA=<0。 即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即， 即y>時，∠CAB為鈍角。 當|AC|2>|BC|2+|AB|2，即， 即y<－時，∠CBA為鈍角。 又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即， 即。 該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角。 因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是。 解法二：以AB為直徑的圓的方程為（x－）2

16、+（y+）2=（）2。 圓心（）到直線l：x=－1的距離為， 所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點G（－1，－）。 當直線l上的C點與G重合時，∠ACB為直角，當C與G點不重合，且A、B、C三點不共線時，∠ACB為銳角，即△ABC中，∠ACB不可能是鈍角。 因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角。 過點A且與AB垂直的直線方程為。 令x=－1得y=。 過點B且與AB垂直的直線方程為y+2（x－3）。 令x=－1得y=－。 又由解得y=2， 所以，當點C的坐標為（－1，2）時，A、B、C三點共線，不構成三角形。 因此，當△ABC為鈍角三角形時，點

17、C的縱坐標y的取值范圍是y<－或y>（y≠2）。 點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關知識，充分體現(xiàn)了“注重學科知識的內在聯(lián)系”.題目的設計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。比較深刻地考查了解析法的原理和應用，以及分類討論的思想、方程的思想.該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進行了不同程度的考查.對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。 題型4：圓的方程 例7．（1）已知△ABC的三個項點坐標分別是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圓的方程。 分析：如果設圓的標準方程，將三個頂點坐標分別代入，即可確定

18、出三個獨立參數(shù)a，b，r，寫出圓的標準方程；如果注意到△ABC外接圓的圓心是△ABC三邊垂直平分線的交點，由此可求圓心坐標和半徑，也可以寫出圓的標準方程。 解法一：設所求圓的方程是 ① 因為A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圓上， 所以它們的坐標都滿足方程①，于是 可解得 所以△ABC的外接圓的方程是。 解法二：因為△ABC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點坐標就是圓心坐標。 ∵，，線段AB的中點為（5，－1），線段BC的中點為， 圖4－1 ∴AB的垂直平分線方程為， ① BC的垂

19、直平分線方程 ② 解由①②聯(lián)立的方程組可得 ∴△ABC外接圓的圓心為Ｅ（1，－3）， 半徑。 故△ABC外接圓的方程是． 點評：解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質。 （2）求過A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）三點的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。 分析：細心的同學已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本題與上節(jié)例1是相同的，在那里我們用了兩種方法求圓的方程．現(xiàn)在再嘗試用圓的一般方程求解（解法三），可以比較一下哪種方法簡捷。 解析：設圓的方程為 ① 因為三點A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圓上，所以它們的坐標都是方程①的解，將它們的坐標分別代入方程①

20、，得到關于D，E，F(xiàn)的一個三元一次方程組： ，解得。 所以，圓的方程是。 圓心是坐標（1，－3），半徑為。 點評：“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法．一般地，在選用圓的方程形式時，若問題涉及圓心和半徑，則選用標準方程比較方便，否則選用一般方程方便些。 例8．若方程。 （1）當且僅當在什么范圍內，該方程表示一個圓。 （2）當在以上范圍內變化時，求圓心的軌跡方程。 解析：（1）由， ， 當且僅當時， 即時，給定的方程表示一個圓。 （2）設圓心坐標為，則（為參數(shù)）。 消去參數(shù)，為所求圓心軌跡方程。 點評：圓的

21、一般方程，圓心為點，半徑，其中。 題型5：圓的綜合問題 例9．如圖2，在平面直角坐標系中，給定y軸正半軸上兩點A（0，a），B（0，b）（），試在x軸正半軸上求一點C，使∠ACB取得最大值。 解析：設C是x軸正半軸上一點，在△ABC中由正弦定理，有 。 其中R是△ABC的外接圓的半徑。 可見，當R取得最小值時，∠ACB取得最大值。 在過A、B兩定點且與x軸正向有交點C的諸圓中，當且僅當點C是圓與x軸的切點時，半徑最小。故切點C即為所求。 由切割線定理，得： 所以 ，即點C的坐標為時，∠ACB取得最大值。 點評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學分支中

22、都有廣泛的應用。對一些數(shù)學問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設與結論之間的關系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。 例10．已知⊙O′過定點A(0，p)(p>0)，圓心O′在拋物線x2=2py上運動，MN為圓O′截x軸所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ。 （1）當O′點運動時，|MN|是否有變化？并證明你的結論； （2）求+的最大值，并求取得最大值的θ值。 解析：設O′(x0，y0)，則x02=2py0 (y0≥0)，⊙O′的半徑|O′A|=，⊙O′的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x2－2x

23、0x+x02－p2=0，解得xM=x0 – p，xN=x0+p，∴|MN|=| xN – xM|=2p為定值。 （2）∵M(x0-p，0) ，N(x0+p，0) ∴d1=，d2=，則d12+d22=4p2+2x02，d1d2=， ∴+===2=2≤2=2。 當且僅當x02=2p2，即x=±p，y0=p時等號成立，∴+的最大值為2。 此時|O′B|=|MB|=|NB|（B為MN中點），又O′M=O′N， ∴△O′MN為等腰直角三角形，∠MO′N=90°，則θ=∠MO′N=45°。 點評：數(shù)形結合既是數(shù)學學科的重要思想，又是數(shù)學研究的常用方法。 五．思維總結 抓好“三基”，

24、把握重點，重視低、中檔題的復習，確保選擇題的成功率。 本講所涉及到的知識都是平面解析幾何中最基礎的內容.它們滲透到平面解析幾何的各個部分，正是它們構成了解析幾何問題的基礎，又是解決這些問題的重要工具之一.這就要求我們必須重視對“三基”的學習和掌握，重視基礎知識之間的內在聯(lián)系，注意基本方法的相互配合，注意平面幾何知識在解析幾何中的應用，注重挖掘基礎知識的能力因素，提高通性通法的熟練程度，著眼于低、中檔題的順利解決。 在解答有關直線的問題時，應特別注意的幾個方面： （1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次要注意傾角的范圍； （2）在利用直線的截距式解題時，要注意防止

25、由于“零截距”造成丟解的情況.如題目條件中出現(xiàn)直線在兩坐標軸上的“截距相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上的截距的m倍（m＞0）”等時，采用截距式就會出現(xiàn)“零截距”，從而丟解.此時最好采用點斜式或斜截式求解； （3）在利用直線的點斜式、斜截式解題時，要注意防止由于“無斜率”，從而造成丟解.如在求過圓外一點的圓的切線方程時或討論直線與圓錐曲線的位置關系時，或討論兩直線的平行、垂直的位置關系時，一般要分直線有無斜率兩種情況進行討論； （4）首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾何教學的始終。