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1、2022年高三數學上學期第一次月考試題 理（含解析）新人教A版 【試卷綜析】試題考查的知識涉及到函數、三角函數、數列、導數等幾章知識，重視學科基礎知識和基本技能的考察，同時側重考察了學生的學習方法和思維能力的考察，知識點綜合與遷移。試卷的整體水準應該說比較高，綜合知識、創(chuàng)新題目的題考的有點少,試題適合階段性質考試. 第I卷 （選擇題 共40分） 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的的四個選項中,選出符合題目要求的一項） 【題文】1．已知集合，，若，則實數的取值范圍是 A． B． C． D． 【知識點】交集及其運算．A1 【答案解析】A

2、 解析：由M中不等式變形得：， 解得：，即M=，∵，且， ∴a≥2，則a的范圍為．故選：A． 【思路點撥】求出M中不等式的解集確定出M，根據N以及M為N的子集，確定出a的范圍即可． 【題文】2．下列四個命題： p1：?x∈(0，＋∞)，<　　 p2：?x∈(0，1)，logx>logx p3：?x∈(0，＋∞)，>logx p4：?x∈，

3、故p1錯誤； 對于p3：令x= ，>logx不成立；故p3錯誤；p2 ，p4正確。故選D. 【思路點撥】利用指數、對數函數的性質依次判斷即可。 【題文】3．如圖所示，程序框圖的輸出結果是 A． B． C． D． 【知識點】程序框圖.L1 【答案解析】C 解析：，選C． 【思路點撥】根據程序框圖的流程指向，依次計算s的值即可。 【題文】4．由直線，，曲線及軸 所圍成圖形的面積為 A． B． C． D． 【知識點】定積分在求面積中的應用．B13 【答案解析】D 解析：，選D． 【思路點撥】由題意利用定積分的幾何意義知，欲求由直

4、線，，曲線及軸 所圍成圖形的面積，即求一個定積分即可，再計算定積分即可求得． 【題文】5．已知為的導函數，則的圖象是 【知識點】導數的幾何意義.B11 【答案解析】A 解析：，，因其為奇函數，排除B和D；結合函數值的正負，又可排除C．故選 A． 【思路點撥】先對原函數求導，再結合奇偶性以及函數值進行判斷即可。 x y O A B 【題文】6．如右圖所示為函數() 的部分圖象,其中兩點之間的距離為, 那么 A． B． C． D． 【知識點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象及性質。C4 【答案解析】B 解析：兩

5、點之間的水平距離為，，，.. 又由，得，因，故., 所以，故選B． 【思路點撥】由圖象可得A=2，，再由，結合圖象可得φ 的值．再由A，B兩點之間的距離為5，可得ω的值，從而求得函數f（x）的解析式，f（-1）的值可求． 【題文】7. 已知函數，若恒成立，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【知識點】函數恒成立問題.B10 【答案解析】C 解析：分別作出與的圖象， ，令，得或（舍），選C． 【思路點撥】分別作出與的圖象,聯立再結合判別式即可。 【題文】8. 如圖，半徑為的扇形的圓心角為，點在上，且，若，則 A． B． C． D．

6、 【知識點】向量的線性運算性質及幾何意義．F1 【答案解析】A 解析：如圖所示， 建立直角坐標系． ∵，．， 即．，∴， 即．又， ．∴． ∴，解得 ．故選：A． 【思路點撥】本題考查了向量的坐標運算和向量相等，屬于中檔題． 第II卷 （非選擇題 共110分） 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分） 【題文】9. 曲線在點處的切線方程為 . 【知識點】利用導數求函數在某點處的切線方程.B11 【答案解析】 解析：，， 切線方程為，即. 或寫成. 【思路點撥】先求導解得斜率，再利用點斜式求出直線方程即可。

7、 【題文】10. 向量、滿足 ，，與的夾角為，則 . 【知識點】平面向量的數量積及其應用.F3 【答案解析】 解析：, , . 【思路點撥】先把兩邊平方，再結合公式即可求出。 【題文】11. 設是等差數列的前項和，若 ，則 ＝ . 【知識點】等差數列的前n項和.D2 【答案解析】1 解析：. 【思路點撥】利用等差數列的前n項和公式把轉化為即可。 【題文】12. 已知，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是 . 【知識點】充要條件.A2 【答案解析】 解析：,. 【思路點撥】先解出分式不等式的

8、解集，再利用是的充分不必要條件，可得結果。 【題文】13．若函數在內有極小值，則實數的取值范是 . 【知識點】利用導數研究函數的極值.B12 【答案解析】 解析：，令，解得. 【思路點撥】先對原函數求導，再令即可解得實數的取值范圍。 【題文】14．當n為正整數時，定義函數N(n)為n的最大奇因數．如N(3) ＝3，N(10) ＝5，…. 記S(n) ＝ N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．則S(3) ＝ ；S(n) ＝ . 【知識點】數列的求和．D4 【答案解析】22 ； 解析：由題設知，N(2n)＝

9、N(n)，N(2n－1)＝2n－1.又S(1)＝N(1)＋N(2) ＝2. S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)] 　 ＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)] 　 ＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋2＝22. S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)] ＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]， ∴S(n)＝4n－1＋S(n－1)(n≥2)， ∴S(n)＝4n－1＋4n－2＋…＋41

10、＋2＝. 【思路點撥】由題設知，S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]．由此能求出S （3）．由題意當n∈N*時，定義函數N（n）表示n的最大奇因數，利用此定義有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N （4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…從寫出的這些項及S（n）=N（1）+N（2） +N（3）+…N（2n）利用累加法即可求得． 三、解答題 （本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明、演算步

11、驟或證明過程） 【題文】15．（本小題14分） 已知函數的最小正周期為. （Ⅰ）求的值及的單調遞增區(qū)間； （Ⅱ）求在上的最大值和最小值． 【知識點】二倍角的余弦；三角函數的周期性及其求法；復合三角函數的單調性．C3C6 【答案解析】（Ⅰ）ω＝1，單調遞增區(qū)間為； （Ⅱ）， 解析：（Ⅰ）f(x)＝sin ωxcos ωx＋＋1 ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋- -----------------2分 ＝sin＋. -----------------4分 ∵ω>0，∴T＝＝π，∴ω＝1.　 -----------------5分 故f(x)＝sin

12、＋. 令，解得. 的單調遞增區(qū)間為 -----------------8分 （Ⅱ）∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， -----------------9分 ∴－≤sin(2x＋)≤1， -----------------10分 當，即時，取得最大值；-----------------12分 當，即時，取得最小值. -----------------14分 【思路點撥】（I）利用倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式，再求出函數的最小正周期，根據正弦函數的增區(qū)間，求出此函數的增區(qū)間；（II）由x的范圍求出“”的范圍，再由正弦函數

13、的性質求出函數的最大值和最小值． 【題文】16．（本小題13分） 在中，角的對邊分別為，已知，且成等比數列． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求及的值. 【知識點】余弦定理的應用；等比數列的性質；同角三角函數基本關系的運用；正弦定理．C2 C8 D3 【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）依題意，-------------------1分 由正弦定理及 -------------------3分 --6分 （Ⅱ）由 由（舍去負值）-------------------------------8分 從而------------------ -----

14、------------9分 .------------------ -----------------11分 由余弦定理，得 代入數值，得 解得：------------------------- ------------13分 【思路點撥】（Ⅰ）利用等比數列可得．再利用正弦定理可得．利用同角三角函數基本關系式、誘導公式、兩角和差的正弦公式即可得出；（Ⅱ）先根據accosB=12知cosB＞0，再由sinB的值求出cosB的值，最后根據余弦定理可確定a，c的關系，從而確定答案． 【題文】17．（本小題13分） 已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，且. （Ⅰ）求

15、數列的通項公式； （Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；若不存在，說明理由. 【知識點】等比數列的通項公式；等差數列的通項公式；數列的求和．D2 D3 D4 【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在符合條件的正整數，且所有這樣的的集合為. 解析：（Ⅰ），即，--------------4分 解得.--------------5分 故.--------------6分 （Ⅱ）.--------------8分 令，，. 當為偶數時，因，故上式不成立；--------------10分 當為奇數時，，，.--------------12分 綜上，存在符

16、合條件的正整數，且所有這樣的的集合為. --------------13分 【思路點撥】（Ⅰ）設數列{an}的公比為q，依題意，列出關于其首項a1與公辦q的方程組，解之即可求得數列{an}的通項公式；（Ⅱ）依題意，可求得1-（-2）n≥xx，對n的奇偶性分類討論，即可求得答案． 【題文】18．（本小題13分） 已知 （Ⅰ）當時，求函數的極值； （Ⅱ）若函數沒有零點，求實數的取值范圍. 【知識點】利用導數研究函數的極值；函數的零點．B12 【答案解析】（Ⅰ）極小值為，無極大值；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）， 當時，，. -----2分 2 0

17、 ↘ 極小值 ↗ 所以，函數的極小值為，-----4分 無極大值. -----5分 （Ⅱ） . -----6分 (1)當時，的情況如下表： 2 0 ↘ 極小值 ↗ 若使函數F(x)沒有零點，當且僅當， 解得, 所以此時；------------- ------------9分 （2）當時，的情況如下表： 2 0 ↗ 極大值 ↘ 因為,且， 所以此時函數總存在零點. ------------- ------------12分 （或：因為,又當時，； 故此時函數總存在零點.）-------

18、------ ------------12分 （或：當時， 當時，令 即 由于 令得，即時，， 即時，存在零點.）------------- ------------12分 綜上所述，所求實數的取值范圍是------------- ------------13分 【思路點撥】（Ⅰ）a=-1時，求函數f（x）的導數，利用導數判定f（x）的單調性與極值并求出；（Ⅱ）求F（x）的導數，利用導數判定F（x）的單調性與極值，從而確定使F（x）沒有零點時a的取值． 【題文】19．（本小題14分） 已知函數（為自然對數的底數）. （Ⅰ）求函數的單調區(qū)間； （Ⅱ）設函數，若存在，使得成

19、立，求實數的取值范圍． 【知識點】利用導數研究函數的單調性；導數的運算．B11 B12 【答案解析】（Ⅰ）單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）∵函數的定義域為R，…………….2分 ∴當時，；當時，. ∴的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為.…………….4分 （Ⅱ） ∵ …………5分 存在，使得成立.…….6分 ∴………………………7分 ① 當時，，在上單調遞減， ∴，即, …….9分 ② 當時，，在上單調遞增， ∴，即， …….11分 ③ 當時，在，，在上單調遞減； 在，， 在上單調遞增

20、. 所以，即—— 由（Ⅰ）知，在上單調遞減，故， 而，所以不等式無解 …….13分 綜上所述，實數的取值范圍是.………………………14分 【思路點撥】（Ⅰ）先求出，得當時，；當時，.從而有f（x）在上單調遞增，在上單調遞減．（Ⅱ）假設存在，使得成立，則． ∴，分別討論①當時，②當時，③當時的情況，從而求出t的范圍． 【題文】20．（本小題13分） 對于項數為的有窮數列，設為 中的最大值， 稱數列是的控制數列．例如數列的控制數列是. （Ⅰ）若各項均為正整數的數列的控制數列是，寫出所有的； （Ⅱ）設是的控制數列，滿足 （為常數，）.

21、證明：（）. （Ⅲ）考慮正整數的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列．是否 存在數列，使它的控制數列為等差數列？若存在，求出滿足條件的數列的個數；若不存在，請說明理由． 【知識點】數列的應用。D5 【答案解析】（Ⅰ）有個，分別為；；；；；.（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）滿足條件的數列的個數為個。 解析：（Ⅰ）解：數列有個，分別為；；；；；.……………3分 注：對2個給1分；對4個給2分；對6個給3分；錯寫扣分. （Ⅱ）證明：因為， ，所以.…4分 因為，， 所以，即，故，即. ……5分 于是，故，（）. ………6分 （Ⅲ）設數列的控制數列為， 因為為

22、前個正整數中最大的一個，所以． ……………………7分 若為等差數列，設公差為， 因為，所以．且 ……………………8分 （1）當時，為常數列：.（或）， ……9分 此時數列是首項為的任意一個排列，共有個數列； ……………10分 （2）當時，符合條件的數列只能是， 此時數列是，有1個； ……………11分 （3）當時，， 又， ， . 這與矛盾！所以此時不存在. ……………12分 綜上滿足條件的數列的個數為個（或回答個）． ……………13分 【思路點撥】（Ⅰ）根據題意，可得數列有個，分別為；；；；；.（Ⅱ）依題意可得bk+1≥bk，又ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，從而可得ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，整理即證得結論；（Ⅲ）設數列的控制數列為，因為為前個正整數中最大的一個，所以．若為等差數列，設公差為，因為，所以．且 ，再對d分類討論即可。