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1、2022年高中數學 電子題庫 第2章章末綜合檢測 蘇教版選修1-1 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填在題中橫線上) 橢圓＋＝1的焦距為6，則k的值為________． 解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29. 答案：11或29 已知雙曲線9y2－m2x2＝1(m>0)的一個頂點到它的一條漸近線的距離為，則m＝________． 解析：雙曲線9y2－m2x2＝1(m>0)可化為－＝1， ∴a＝，b＝. 不妨取頂點，一條漸近線為mx－3y＝0， ∵＝，∴m2＋9＝25.∴m＝4.

2、答案：4 在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為________． 解析：不妨設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則有，即，②÷①得e＝. 答案： 與x2－4y2＝1有相同的漸近線，且過M(4，)的雙曲線方程為________． 解析：設雙曲線方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)，將M(4，)代入方程得λ＝4，所以方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 已知雙曲線3x2－y2＝9，則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離之比等于________． 解析：即求離心率，雙曲線化為標準方程－＝1，可得a＝，c＝＝＝2，e＝＝＝2.

3、 答案：2 若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則p的值為________． 解析：橢圓＋＝1的右焦點為(2，0)，而拋物線y2＝2px的焦點為，則＝2，故p＝4. 答案：4 設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標是________． 解析：F(1，0)，設A，則＝，＝，由·＝－4，解得y0＝±2，此時x0＝1，故A的坐標為(1，±2)． 答案：(1，±2) 設P是橢圓＋＝1上的任意一點，又點Q(0，－4)，則PQ的最大值為________． 解析：設P的坐標為(x，y)，則PQ2＝x2＋(y＋4)2＝ 25＋

4、(y＋4)2＝－＋(－4≤y≤4)，當y＝4時，PQ2最大，此時PQ最大， 且PQ的最大值為?。?. 答案：8 以雙曲線－＝1的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是________． 解析：由題意知圓心坐標應為(5，0)．又因為點(5，0)到漸近線y＝±x的距離為4，所以圓的方程為x2＋y2－10x＋9＝0. 答案：x2＋y2－10x＋9＝0 橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離為，則這個橢圓方程為________． 解析：由題意知，解得， ∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 答案：＋＝1或＋＝1 已知兩點M(－2，0)，

5、N(2，0)，點P為坐標平面內的動點，滿足||·||＋·＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為________． 解析：由題意知P(x，y)，M(－2，0)，N(2，0)，||＝4，則＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)； 由||·||＋·＝0，得4＋4(x－2)＝0，化簡整理得y2＝－8x. 答案：y2＝－8x 設過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若 ＝2 且 ·＝1，則點P的軌跡方程是________． 解析：設P(x，y)，則Q(－x，y)，又設A(a，0)，B(0，b)，則a>0，b>0. 于是＝(x，y

6、－b)，＝(a－x，－y)， 由＝2可得a＝x，b＝3y， 所以x>0，y>0.又＝(－a，b)＝， 由·＝1可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)． 答案：x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 橢圓＋＝1與曲線＋＝1(0

7、曲線－＝1(a>0，b>0且a≠b)的兩個焦點，P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，O為坐標原點．下面四個命題 ①△PF1F2的內切圓的圓心必在直線x＝a上； ②△PF1F2的內切圓的圓心必在直線x＝b上； ③△PF1F2的內切圓的圓心必在直線OP上； ④△PF1F2的內切圓必通過點(a，0)． 其中真命題有________(寫出所有真命題的代號)． 解析：設△PF1F2的內切圓分別與PF1、PF2切于點A、B，與F1F2切于點M，則PA＝PB，F1A＝F1M，F2B＝F2M，又點P在雙曲線右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，設M點坐標

8、為(x，0)，則由F1M－F2M＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，顯然內切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸，故①、④正確． 答案：①④ 二、解答題(本大題共6小題，共90分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) (本小題滿分14分) 如圖，有一塊拋物線形鋼板，其垂直于對稱軸的邊界線AB長為2r，高為4r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，以AB為下底，上底CD的端點在拋物線上，記CD＝2x，梯形面積為S.求面積S，使其為以x為自變量的函數式，并寫出其定義域． 解： 建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，則B(r，－4r)， 設拋物線方程為x2＝－2py(

9、p>0)， ∵點B(r，－4r)在拋物線上， ∴r2＝8pr，即p＝. ∴拋物線方程為x2＝－y. 又點C的橫坐標為x， 則點C的縱坐標為y＝－， ∴梯形ABCD的高h＝4r－. ∴S＝(2r＋2x)·＝(x＋r)(r2－x2)， 其定義域為{x|00，b>0)，則，解得：

10、. 故所求雙曲線的標準方程為－＝1. (2)由(1)知雙曲線的右準線方程為x＝，即為拋物線的準線方程． 故設拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)，則有＝，故p＝. 所以拋物線的標準方程為y2＝－x. (本小題滿分14分)已知雙曲線－＝1與點M(5，3)，F為右焦點，試在雙曲線上求一點P，使PM＋PF最小，并求出這個最小值． 解： 雙曲線的右焦點F(6，0)， 離心率e＝2，右準線為l：x＝. 作MN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結FP，則 PF＝ePN＝2PN?PN＝PF.此時PM＋PF＝PM＋PN＝MN＝5－＝為最?。? 在－＝1中，令y＝3，得x2＝12?x＝

11、±2； 又∵x>0，∴取x＝2. 即當所求P點的坐標為(2，3)時，PM＋PF取最小值. (本小題滿分16分)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點Q(－，1)在橢圓上，線段QF2與y軸的交點M滿足＋＝0； (1)求橢圓C的方程； (2)設P為橢圓C上一點，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積． 解：(1)由已知，點Q(－，1)在橢圓上，∴有＋＝1；① 又∵＋＝0，M在y軸上，∴M為QF2的中點， ∴－＋c＝0，c＝.∴有a2－b2＝2，② 由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求橢圓C的方程為＋＝1. (2)設PF1＝m，PF

12、2＝n，則S△F1PF2＝mnsin＝mn. 由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.① 又由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2cos＝F1F，即m2＋n2－mn＝(2)2.② 由①2－②，得mn＝，∴S△F1PF2＝. (本小題滿分16分)一束光線從點F1(－1，0)出發(fā)，經直線l：2x－y＋3＝0上一點P反射后，恰好穿過點F2(1，0)． (1)求P點的坐標； (2)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓C的方程． 解：(1)設F1關于l的對稱點為F(m，n)，則＝－且2·－＋3＝0，解得m＝－，n＝，即F，故直線F2F的方程為x＋7y－1＝0. 由，解得P.

13、(2)因為PF1＝PF，根據橢圓定義，得2a＝PF1＋PF2＝PF＋PF2＝FF2＝?。?，所以a＝.又c＝1，所以b＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (本小題滿分16分)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M. (1)求拋物線方程； (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標； (3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當K(m，0)是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系． 解：(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－，于是4＋＝5，∴

14、p＝2. ∴拋物線方程為y2＝4x. (2)∵點A的坐標是(4，4)，由題意得B(0，4)，則M(0，2)， 又∵F(1，0)，∴kFA＝；∵MN⊥FA，∴kMN＝－， 則FA的方程為y＝(x－1)， MN的方程為y－2＝－x. 解方程組，得，∴N. (3)由題意得，圓M的圓心是點(0，2)，半徑為2. 當m＝4時，直線AK的方程為x＝4，此時，直線AK與圓M相離， 當m≠4時，直線AK的方程為y＝(x－m)，即為4x－(4－m)y－4m＝0， 圓心M(0，2)到直線AK的距離d＝， 令d>2，解得m>1. ∴當m>1時，直線AK與圓M相離； 當m＝1時，直線AK與圓M相切； 當m<1時，直線AK與圓M相交．