《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時(shí)空間向量的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時(shí)空間向量的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 理 新人教版（20頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時(shí)空間向量的應(yīng)用課時(shí)作業(yè) 理 新人教版 考綱 索引 1. 用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面的位置. 2. 用向量證明空間中的平行或垂直關(guān)系. 3. 空間向量求空間角的關(guān)系. 課標(biāo) 要求 1. 理解直線的方向向量與平面的法向量. 2. 能用語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系. 3. 能用向量的方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理). 4. 了解空間向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用. 5. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算問(wèn)題. (4)設(shè)平面α和β的法向量分

2、別為u1,u2,則α∥β?　　　　.? 3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?　　　　?　　　　.? (2)設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?　　　　.? (3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?　　　　?　　　　.? 4.空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2所成的角θ滿足cosθ=　　　　.? (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α所成的角θ滿足sinθ=　　　　.? (3)求二面角的大小 如圖(1

3、),AB,CD是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=　　　　.? 如圖(2)(3),n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足cosθ=　　　　.? 5.點(diǎn)面距的求法 如圖,設(shè)AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離d=　　　　.? 基礎(chǔ)自測(cè) 1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是(　　). A. a∥c,b∥c　　　　　　　　　B. a∥b,a⊥c C. a∥c,a⊥b D. 以上都不對(duì) 2.若平面α,β垂直,則下面可以作

4、為這兩個(gè)平面的法向量的是(　　). A. n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B. n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C. n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D. n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) 3.已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量,若cos=-,則l與α所成的角為(　　). A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 指 點(diǎn) 迷 津　　 【想一想】　利用空間向量求角有哪些誤區(qū)? 【答案】　(1)異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角都可以轉(zhuǎn)化成空間向量的夾角來(lái)求;(2)空

5、間向量的夾角與所求角的范圍不一定相同,如兩向量的夾角范圍是[0,π],兩異面直線所成的角的范圍是;(3)用平面的法向量求二面角時(shí),二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補(bǔ)兩種情況. 考點(diǎn)透析 考向一　利用空間向量證明平行問(wèn)題 例1　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD. 【方法總結(jié)】用向量證明線面平行的方法有: (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直; (2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行; (3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示. 變式訓(xùn)練

6、 (第1題) 考向二　利用空間向量證明垂直問(wèn)題 例2　如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD. 【方法總結(jié)】證明線面平行和垂直問(wèn)題,可以用幾何法,也可以用向量法.用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量,再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理.若能建立空間直角坐標(biāo)系,其證法將更為靈活方便. 變式訓(xùn)練 2.(xx·安徽淮北一中高三月考)如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=λAA',點(diǎn)M,N分別為A'B和B'C'的中點(diǎn). (1)證明:MN∥平面A'ACC'; (2)若

7、二面角A'-MN-C為直二面角,求λ的值. (第2題) 考向三　求異面直線所成的角 例3　如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E,F分別是線段AB,BC上的點(diǎn),且EB=BF=1.求直線EC1與FD1所成的角的余弦值. 【方法總結(jié)】本題可從兩個(gè)不同角度求異面直線所成的角.一是把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,二是體現(xiàn)傳統(tǒng)方法(三步:作,證,算),應(yīng)注意體會(huì)兩種方法的特點(diǎn).“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵,可平移線段或化為向量的夾角.一般地,異面直線AC,BD的夾角β的余弦值為cosβ=. 變式訓(xùn)練 3.如圖,在正方體ABCD

8、-A1B1C1D1中,B1E1=D1F1= ,求BE1與DF1所成的角的余弦值. (第3題) 考向四　求二面角 例4　(xx·北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求證:AA1⊥平面ABC; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值; (3)求證:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求的值. 【方法總結(jié)】求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量,然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際

9、圖形判斷所求角是銳角還是鈍角. 變式訓(xùn)練 4.(xx·湖北)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),直線PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點(diǎn). (1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明; (2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿足,記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E-l-C的大小為β,求證:sinθ=sinαsinβ. (第4題) 考向五　利用空間向量解決探索性問(wèn)題 例5　如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角

10、為45°,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°, . (1)求證:平面PAC⊥平面PCD; (2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE∥平面PAB?若存在,請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【方法總結(jié)】對(duì)于探索性問(wèn)題,一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題.若有解且滿足題意,則存在,若有解但不滿足題意或無(wú)解,則不存在. 變式訓(xùn)練 5.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中點(diǎn),試問(wèn)在A1B上是否存在一點(diǎn)E使得點(diǎn)A1到平面AED的距離

11、為? (第5題) 經(jīng)典考題 典例　(xx·浙江)如圖,在四棱錐A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=. (1)求證:DE⊥平面ACD; (2)求二面角B-AD-E的大小. 【解題指南】　(1)根據(jù)兩垂直平面中在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面的性質(zhì)加以證明線面垂直,也可通過(guò)空間向量,利用對(duì)應(yīng)向量與平面的法向量的平行來(lái)證明;(2)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合空間向量的數(shù)量積來(lái)求解對(duì)應(yīng)的二面角的大小問(wèn)題. (1) (2) 真題體驗(yàn) 1. (xx·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn). (1)證明:PB∥平面AEC; (2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積. (第1題) 2. (xx·廣東)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點(diǎn)F,FE∥CD,交PD于點(diǎn)E. (1)證明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D-AF-E的余弦值. (第2題) 參考答案與解析 知識(shí)梳理 基礎(chǔ)自測(cè) (第5題) 考點(diǎn)透析 變式訓(xùn)練 經(jīng)典考題 真題體驗(yàn)