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1、2022年高中數(shù)學 圓錐曲線中的方法與運算教案 新人教A版選修1 1. (與名師對話第51練) 已知拋物線,點, 問是否存在過點的直線, 使拋物線上存在不同的兩點關于直線對稱,如果存在, 求出直線的斜率的取值范圍; 如果不存在,請說明理由. 分析: 這是一個求變量(斜率)的取值范圍問題, 我們必須給出與變量(斜率)相關的變量(根據題設尋找)的關系式(組), 顯然,這個關系式(組)應由按題設揭示出的幾何條件轉換得到. 我們由題設揭示出的幾何條件是: 拋物線上關于直線對稱的不同的兩點所在直線必須與拋物線有兩個不同的交點,并且交點為端點的線段的中點在直線上. 相應得到一個不等式和一個等

2、式組成的變量關系式(組). 解這個關于式組即可得變量的取值范圍. 解: 設直線的方程為,若,則結論顯然成立,即可取.若, 則直線PQ的方程為, 由方程組 可得,. ∵ 直線PQ與拋物線有兩個不同的交點, ∴ 即 . 設線段PQ的中點為G(), 則, ∴ , ∵ 點G()在直線上, ∴ =, 由 可得, , ∴ , () , ∴ 或. 綜上所述, 直線的斜率的取值范圍為. 2. (與名師對話第51練)已知橢圓, 點A是橢圓與軸的交點, F為橢圓的右焦點, 直線與 橢圓交于B,C兩點. （1） 若點M滿足,求直線的方程; （2） 若,在上,且,

3、求動點的軌跡 方程. 分析: 題(1)是個定狀態(tài)的問題: 由可知,點M是定點,且由 是線段BC的中點, 由此可求得直線BC即直線的方程. 解(1) 由橢圓可知A(0,4), F(2,0). ∵ , ∴ (2,0)-(0,4)=2[()-(2,0)], ∴ 即 M(3,-2). ∵ , ∴ 點M是線段BC的中點, ∴ 直線BC即直線的斜率為. (可以有四中方法:①,②點差法,③設法,④設而不求法求得). ∴ 直線的方程為,即. 分析: 題(2)是一個動狀態(tài)的問題:①點D隨AB的變化而變化,從而點D的坐標是刻畫直線AB的變化的量的參數(shù)(斜率)的函數(shù), ②可設BC的方程為(k

4、存在), 從而點M是直線AM(直線AD用參數(shù)k刻畫)與直線BC的交點,在由是直角得參數(shù)k與b的關于式,消參數(shù)k與b即得點D的方程. 解法(一) 設直線AB的斜率為,則直線AC的斜率為. 直線AB的斜率為方程為,由方程組可得, ∴ , ， 同理得, . ∴ ， ∴ 直線BC的方程為, +， ，， . ∵ 直線AD的方程為, , ∴由與移項相乘消去可得, 即 . 說明: 本解法用的是參數(shù)法中的特殊方法--------交軌法. 解法(二): 設直線的方程為, 則直線AD的方程為. (顯然由方程和方程消去和即可得點D的軌跡方程, 這里 我們必須給出和的關系式,將這一幾

5、何條件轉化為代數(shù)形式即可得和的關系式) 由方程組可得,, 設, 則. ∵ , ∴ , ∴ , , , +化簡得,. 解得,(舍去)或. ∴ 方程即為, 由方程和方程消去得, , 即 . 3. (與名師對話第51練)已知直線過點(1,0),且與拋物線交于兩點, 為原點,點 在軸的右側且滿足:. （1）求點的軌跡C的方程; （2） 若曲線的切線的斜率為,滿足:,點到軸的 距離為,求的取值范圍. 分析：由可知，點的軌跡C就是弦AB的中點的軌跡. 解(1) 顯然直線的斜率存在,設為,則直線的方程為: ,由方程組消去整理得,設, , ∴

6、, , 消去得點的軌跡C的軌跡方程為: . ∵ , ∴ 或, ∵ 點在軸的右側, ∴ ,故點的軌跡C為拋物線上的一段弧. 分析: 點到軸的距離為就是點的橫坐標的絕對值.因為曲線的切線的斜率為,所以=,由知,,由此可知,我們必須建立點的橫坐標的絕對值關于的關系. 解(2): 設, 則由可知,=[], ∴, , ∴ , , ∴ ∵ , ∴ , 方法(一) , (), ∴ , ∴ . 方法(二) , (), ∴ , , ∴ 且 ∴ . 4. (與名師對話第51練) 已知拋物線的方程為 ,過點且傾斜角 為(0<<)的直線交拋物線于兩

7、點,且. （1）求的值; （2）若點分所成的比為,求關于的函數(shù)關系式. 分析: 要求的值,必須給出關于的方程. 解(1): 設過點且傾斜角為(0<<)的直線的方程為. 由方程組消去整理得, 則, ∵ , ∴ , . 分析: 由可知過點且傾斜角為(0<<)的直線為.先建立關于的函數(shù)關系式,再轉換為關于的函數(shù)關系式. 解(2): ∵ 關于的函數(shù)關系式, ∴ , , 由(1)可知, 由方程組可消去得,. ∵ 0<< , ∴ , 故==. 5. (與名師對話第51練) 已知方向向量為的直線過點(0,-2)和橢圓C: 的焦點, 且橢圓C的中心關于直線的對

8、稱點在橢圓C的右準線上. （1）求橢圓C的方程; （2）是否存在過點E(-2,0)的直線交橢圓C于,滿足: 為原點? 若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由. 6．(與名師對話第52練20) 橢圓C的方程為，F(xiàn)是它的左焦點，M是橢圓C上的一個動點，O為坐標原點. (1) 求的重心的軌跡方程; (2) 若的重心對原點和點P(-2,0)的張角最大, 求點的坐標. 解(1): 設點 (y0) , M(x1,y1)由題設可知,F() 則, ∴ , ∴ 的重心的軌跡方程為 (). (2) 由(1)可知, 原點和點P(-2,0)是橢圓的兩個焦點.下面證明當點M與橢

9、圓的短軸的端點重合時張角最大. 方法(一) 用橢圓的定義 設橢圓C上的一個動點到橢圓的兩個焦點的距離為、，則由橢圓的定義可知+=2. 在中, == == (當且僅當時,等于號成立) =0 ∴ 當,即點M與短軸的端點重合時張角最大, 最大角為,這時點M的坐標為(-1,1)、（-1，-1）. 方法(二) 用橢圓的焦半徑公式 將橢圓平移到中心在原點的位置,這時橢圓的方程為,原張角就是在點P處的兩條焦半徑的夾角.設點P的坐標為(),則= 當時,, 當時, , 故, 的最大值為,這時相應點P的坐標為(0,1),在橢圓的原位置相應點P的坐標為(-1,1). 7. (與名師對話

10、第52練21) 已知動點與雙曲線的兩個焦點的距 離之和為定值,且的最小值為. (1) 求動點的軌跡方程; (2) 若已知點(0,3),點在動點的軌跡上,且,求實 數(shù)的取值范圍; (3) 若已知點(1,1), 點在動點的軌跡上,且,求直線 的方程. 分析: 由題設可知, 動點的軌跡是以雙曲線的兩個焦點為其焦點 的橢圓,因此動點的軌跡方程可以用待定系數(shù)法求得. 解(1): 由題設可知, 動點的軌跡是以雙曲線的兩個焦點為其焦點 的橢圓,設其方程為 (). 可以證明(仿例6)當動點在橢圓的短軸的端點時的值最小,這時, ∴ , . ∴ , ∴ 動點的軌跡方程為.

11、分析: 由可知, 點共線, 直線MN的變化可以用其斜率表示(直線的方程為這時要k作討論),也可以用表示(直線的方程為,這時不需要對作討論).下面用直線方程求解. 解法(一): 由可知, 點共線. 若直線MN的斜率不存在,則. 若直線MN的斜率存在,設直線MN的方程為則由方程組可得, , 設,則. 又由可得, , ∴ , ∴ ∴ . ∵ , ∴ . ∴ , ∴ , 綜上所述, . 分析：用點的坐標表示直線MN的變化. 解法(二): 由可知, 點共線. 設,則,. ∵ , ∴ , , ∴ , . ∴ , , ∴ 或, 解得. 8. 拋物線C的方程為,

12、過拋物線C上一點 ()作斜率 為的兩條直線分別交拋物線C于兩點(三點各不相同),且滿足. (1) 求拋物線C的焦點坐標和準線方程; (2) 設直線上一點滿足:,證明線段的中點在軸上; (3)當時,若點的坐標為(1,-1),求為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍. 分析: 將看作常量. 解(1): 拋物線C的方程為, 故拋物線C的焦點坐標為(),準線方程為. 分析: 從形式上看, 線段的中點坐標與相關,而實際上肯定橫坐標可以消元為0. 解(2): 由題設可知,直線的方程為:,由方程組可得,,即, ∴ , 同理 , ∵ , ∴ , = ∵ , ∴ -,

13、∴ 線段的中點橫坐標為0, 即線段的中點在軸上. 分析: 解(3): 由題設和題(2)可知, 拋物線C的方程為, ,又,故, ∴ , ∴ ,, ∵ 為鈍角, 三點各不相同, ∴ 即有,, ∴ , ∴ , , ∴ . 9.已知橢圓C的中心在原點,焦點在X軸上,一條經過點且方向向量為的直線交橢圓C于A,B兩點,交X軸于點,又. (1) 求直線的方程; (2) 求橢圓C的長軸長的取值范圍. 解(1): 直線的方程為. 分析: “直線與橢圓C有兩個不同的交點”可以轉化為一個關于的不等式, 向量等式 可以轉化為一個關于的等式. 解(2): 由方程組可得.

14、 設設, 則. 由可知, , ∴ ,, ∴ , ∴ ∵ , ∴ , ∴ ∴ . ∵ ∴ , ∴ , ∴ , , ∴ ,即橢圓C的長軸長的取值范圍為. 10.自點向拋物線C:作切線AB,切點為,且點在第一象限,再過線 段AB的中點作直線與拋物線C交于不同的兩點E,F,直線AE,AF分別交拋物線C于P,Q兩點. (1) 求切線AB的方程及切點B的坐標; (2) 證明. 解(1): 設切點B的坐標為,過點B的切線的方程為, ∵ 切線過點, ∴ , , ∵ 點B在拋物線上, ∴ ,

15、 ∴ 切線AB的方程為, 切點B的坐標為(1,1). 分析: 即證明∥. (2) 證明: 由(1)可知, 線段AB的中點的坐標為,設直線的方程為, . 由方程組 可得, 故. . ∵ A,E,P三點共線, ∴ =, , 同理, ∴ = 由可知, . 11. 設雙曲線的右頂點為A, P為雙曲線上異于點A的一個動點, 從A引雙曲線的漸近線的兩條平行線與直線OP分別交于Q和R兩點. (1) 證明:無論P點在什么位置,總有(O為坐標原點); (2) 若以OP為邊長的正方形的面積等于雙曲線的實,虛軸圍成的矩形的面積,求雙曲線的離心率的取值范圍. (1) 證明: 設直線OP的方程為, 直線AR的方程為, AQ的方程為. 由方程組 得 , ∴ =, 同理=, ∴ ==. 設, 由方程組得, ∴ =. ∵ 直線OP過原點, ∴ , ∴ . (2) 解: 由題設知, =, 又, ∴ , (恒成立)) 解得, ∴ .