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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第三周 星期二 概率統(tǒng)計(jì)與立體幾何習(xí)題 理 1．立體幾何知識(命題意圖：以四棱錐為載體考查線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化，考查由二面角的大小求邊長的比．考查空間向量方法的應(yīng)用．) 已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD＝120°，PA＝b. (1)求證：平面PBD⊥平面PAC； (2)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，M為OC中點(diǎn)，若二面角 O-PM-D的正切值為2，求a∶b的值． (1)證明　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD. 又ABCD為菱形，所以AC⊥BD， 所以BD⊥平面PAC，從而平面PBD⊥平面PAC.

2、 (2)解　如圖，以A為原點(diǎn)，AD，AP所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，b)，D(0，a，0)， M， O. 從而＝(0，a，－b)，＝， ＝. 因?yàn)锽D⊥平面PAC， 所以平面PMO的一個法向量為＝. 設(shè)平面PMD的法向量為n＝(x，y，z)， 由⊥n，⊥n得 取x＝b，y＝b，z＝a， 即n＝. 設(shè)與n的夾角為θ， 從而|tan θ|＝2，得|cos θ|＝， |cos θ|＝＝＝， 整理得4b＝3a，即a∶b＝4∶3. 2．概率統(tǒng)計(jì)知識(命題意圖：考查統(tǒng)計(jì)知識與概率知識的綜合問題，主要涉及到頻率分布直方圖中的有關(guān)知識以及獨(dú)立重復(fù)事件的概

3、率分布列等．) 市一中隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]． (1)求直方圖中x的值； (2)如果上學(xué)路上所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請?jiān)趯W(xué)校住宿，若招生1 200名，請估計(jì)新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿； (3)從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時間少于20分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(以直方圖中的頻率作為概率)． 解　(1)由直方圖可得： 20×x＋0.025×20＋0.0 065×20＋0.003×2×20＝1， 所以x＝0.0 125. (2)新生上學(xué)所需時間不少于1小時的頻率為： 0．003×2×20＝0.12， 因?yàn)? 200×0.12＝144， 所以1 200名新生中有144名學(xué)生可以申請住宿． (3)X的可能取值為0，1，2，3，4. 由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時間少于20分鐘的概率為， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)＝C＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P