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1、2022年高二數(shù)學(xué) 球同步教案 新人教A版 一、本講進(jìn)度 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 9.9 研究性課題；多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn) 9.10 球 二、主要內(nèi)容 球的概念、性質(zhì)及體積與表面積的計(jì)算。 三、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1、球的定義可以從兩個(gè)角度來(lái)理解，從靜止的角度看，球面可以看作與定點(diǎn)（球心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的所有點(diǎn)的集合；從運(yùn)動(dòng)的角度看，半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。 球面與球是兩個(gè)不同的概念，球面是球體的表面，其大小用面積來(lái)度量；球是球面圍成的幾何體，其大小用體積來(lái)度量。 球的相關(guān)概念：（1）球心；（2）半徑；（3）直徑。見課本P.6

2、5 2、球的性質(zhì)： （1） 定義，例如球面上任一點(diǎn)到球心的距離都相等，長(zhǎng)度等于半徑； （2） 截面的性質(zhì)： ① 用平面去截球，截面是圓面； ② 球心和截面的圓心的連線垂直于截面； ③球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面勾股定理關(guān)系：r2+d2=R2，如圖； ④當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面是大圓，當(dāng)截面不過(guò)球心時(shí)，截面是小圓。 研究球的截面性質(zhì)，通常類比于平面幾何中直線與圓相交時(shí)的性質(zhì)。這種類比的降維思想是學(xué)習(xí)立體幾何的重要方法。 3、關(guān)于地球，應(yīng)用球的數(shù)字知識(shí)研究地球，得到下列概念： （1） 經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓； 經(jīng)度：經(jīng)線與地軸（南北

3、兩極連線）構(gòu)成的半平面與00經(jīng)線（本初子午線）及地軸構(gòu)成的平面所形成的二面角的大小。如果設(shè)這兩個(gè)半平面與赤道平面的交線為OA、OB，則∠AOB=θ0，如圖； （2） 緯線：球面上，平行于赤道平面的小圓； 緯度：緯線上任一點(diǎn)的半徑與赤道平面所成的線面角。 如果設(shè)小圓圓心為O’，則∠OPO’=α0，如圖； （3）球面的距離：球面上某兩點(diǎn)之間的球面距離就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長(zhǎng)度。 其特征是球面上這兩點(diǎn)連線的最小長(zhǎng)度。注意，這是曲線的長(zhǎng)度，而不是直線段的長(zhǎng)度。 計(jì)算公式：l==Rα，其中α為球面上兩點(diǎn)對(duì)球心張角的弧度數(shù)。 4、球的體積公式：，球的表面積公式：S=4

4、πR2，其中R為球的半徑。 這兩個(gè)公式的推導(dǎo)思想是近代數(shù)字的重要思想，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是“以曲代直”的思想，其步驟為：分割→求和→求極限。 5、在研究球與其它幾何體構(gòu)成的組合體時(shí)，應(yīng)緊抓球心的位置特征及球半徑的大小這兩個(gè)基本元素，通常作出過(guò)球心的截面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平幾問(wèn)題。 四、典型例題 例1、 四棱錐A—BCDE中，AD⊥平面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE， （1）求證A、B、C、D、E五點(diǎn)都在以AB為直徑的同一球面上； （2）若∠CBE=900，CE=，AD=1，求B、D兩點(diǎn)的球面距離。 解題思路分析： （1）設(shè)AB中點(diǎn)為O，則只需證明OA=OB=OC=OD=

5、OE，其途徑通常有全等三角形或等量代換。本題用等量代換。 設(shè)AB中點(diǎn)為O，則OA=OB=AB ∵ AD⊥平面BCDE ∴ AD⊥DB ∴ DO=AB ∵ AC⊥BC，AE⊥EB ∴ EO=CO=AB ∴ OA=OB=OC=OD=OE=AB 即A、B、C、D、E五點(diǎn)都在以AB為直徑的同一球面上 （2）根據(jù)球面距離的定義，只需求出球的半徑R及∠BOD的大小即可。下從分析圖形A—BCDE的性質(zhì)著手。 ∵ AD⊥平面BCDE ∴ DE、DC分別為AE、AC在平面BCDE上的射影 ∵ BE⊥EA，BC⊥CA ∴ BE⊥ED，BC⊥CD 又∠CBE=900 ∴ BCDE

6、為矩形 ∴ BD=EC= ∴ AB==2 ∴ 球半徑R=1 △ BOD中，BO=OD=1，BD= ∴ cos∠BOD= ∴ ∠BOD= ∴ B、D兩點(diǎn)球面距離 例2、有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱都相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比及體積之比。 解題思路分析： 因球的表面積及體積與球的半徑有關(guān)，故求出三個(gè)球的半徑之間關(guān)系即可。將正方體的棱長(zhǎng)作為基本元素，以此找出三個(gè)半徑的關(guān)系式。 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，三個(gè)球的依次為R1、R2、R3，分別作出過(guò)球的球心的截面，得如圖所示三種組合體的截面圖。

7、 2R1=a，R1= a=2R2，R2=a a=2R3,R3=a ∴ R1∶R2∶R3=1∶∶ ∴ S1∶S2∶S3=R12∶R22∶R32=1∶2∶3 V1∶V2∶V3=R13∶R23∶R33=1∶∶ 評(píng)注：本題通過(guò)作截面圖，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，是立體幾何的重要思想方法之一。對(duì)于這類組合體，通常作出過(guò)球心的截面，然后緊抓球心及半徑兩個(gè)要素，找位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系。 例3、A、B、C為半徑為1的球面上的三點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)的球面距離為，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為，設(shè)球心為O，求：（1）∠BOC、∠AOB的大小；（2）球心到截面ABC的距離。

8、 解題思路分析： 從轉(zhuǎn)化球面距離著手 （1） 由球面距離定義可知，∠BOC=，∠AOB=∠AOC=； （2） 法一：利用截面性質(zhì)，求出△ABC的外接圓半徑r即可 ∵ BC=1，AC=AB= ∴ cos∠BAC= ∴ sin∠BAC= 設(shè)△ABC外接圓半徑為r，則由正弦定理 2r= ∴ r= ∴ 球心到截面ABC的距離為 法二：一般說(shuō)，立體幾何的解題習(xí)慣是將點(diǎn)、線、面置于某一幾何體中，充分利用幾何體的有關(guān)性質(zhì)解決這些點(diǎn)、線、面的問(wèn)題。因此本題可考慮O、A、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的四面體 ∵ OA⊥OB，OA⊥OC ∴ OA⊥平面OBC，如圖 為了確定O在平面ABC上的

9、射影，應(yīng)先找到平面ABC的垂面（輔助平面） 取BC中點(diǎn)M，則OM⊥BC ∴ BC⊥平面OAM ∴ 平面OAM⊥平面ABC 在△OAM內(nèi)作OH⊥AM，H為垂足，則OH⊥平面ABC ∴ OH長(zhǎng)度就是點(diǎn)O到平面ABC的距離 ∵ OA=1，OM= ∴ AM= 由OA·OM=AM·OH得：OH= 法三：在法二圖形的基礎(chǔ)上，也可用等積法求點(diǎn)O到平面ABC的距離 設(shè)O到平面ABC的距離為x，則 又 ∴ 求得：S△ABC、S△OBC、OA后代入上式，求得x= 這種方法的優(yōu)越性在于不需要作出O在平面ABC上的射影 例4、三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=

10、900，求這個(gè)三棱錐外接球球心的位置。 解題思路分析： 為了確定球心（點(diǎn)）的位置，可將它轉(zhuǎn)化為某兩條直線的公共點(diǎn)。那么球心在哪條直線上呢？ 根據(jù)球的截面小圓的性質(zhì)，球心在過(guò)截面圓的圓心且與截面圓垂直的直線上。 如圖：∵ ∠ABC=900 ∴ △ABC的外接圓圓心為AC中點(diǎn)O1，在△PAC內(nèi)作O1M∥PA，則O1M⊥平面ABC ∴ 球心O在直線O1M上 ∵ PA⊥平面ABC ∴ PA⊥BC 又BC⊥BA ∴ CB⊥平面PAB ∵ ∠PAB=900 ∴ △PAB的外接圓圓心為PB中點(diǎn)O2，在△PBC內(nèi)作O2N⊥CB，則O2N⊥平面PAB ∴ 球心O在直線O2N上 ∵ O

11、1M、O2N均與直線PC相交且交點(diǎn)O為PC中點(diǎn) ∴ O1M∩O2M=0 ∴ O為三棱錐P—ABC外接球的球心 例5、已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，且相距為1，求球的體積。 解題思路分析： 利用解方程思想與球的半徑R 這里還需要對(duì)兩截面是在球心O的同側(cè)還是異側(cè)進(jìn)行討論 當(dāng)兩截面在球心O的同側(cè)時(shí)，作出截面大圓，如圖 則 解之得R=3 當(dāng)兩截面在球心O的兩側(cè)時(shí) 則，無(wú)解 ∴ 同步練習(xí) （一）選擇題 1、 棱長(zhǎng)為a的正方體外接球的表面積是 A、πa2 B、2πa2 C、3πa2 D、4πa2

12、 2、A、B為球面上相異兩點(diǎn)，則過(guò)A、B可作大圓個(gè)數(shù) A、0個(gè) B、只有一個(gè) C、無(wú)窮多個(gè) D、以上都不對(duì) 3、若球的大圓面積擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則球的體積比原來(lái)增加 A、2倍 B、4倍 C、倍 D、倍 4、兩個(gè)球的體積之比為8∶27，那么這兩個(gè)球的表面積之比為 A、2∶3 B、4∶9 C、∶ D、∶ 5、表面積為Q的多面體的每一個(gè)面都外切于半徑為3的一個(gè)球，則這個(gè)多面體體積為 A、Q B、3Q

13、C、Q D、無(wú)法求解 （二）填空題 6、如果球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的n倍，則球的大圓周長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的______倍，球的表面積擴(kuò)大為原來(lái)的______倍，球的體積擴(kuò)大為原來(lái)的______倍。 7、過(guò)球面上不經(jīng)過(guò)球心的兩點(diǎn)所作截面圓中，面積最大的圓是________，面積最小的圓是__________。 8、長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為，則它的外接球的表面積為__________。 9、設(shè)地球半徑為R，在北緯600的圈上有甲、乙兩地，它們緯度圈上的弧長(zhǎng)等于，那么甲、乙兩地球面距離為__________。 10、由半徑為R的球面上一點(diǎn)P作球的兩兩互相垂直的三條

14、弦PA、PB、PC，則PA2+PB2+PC2=__________。 （三）解答題 11、設(shè)地球半徑為R，A地在東經(jīng)300的赤道上，B地在北緯450，東經(jīng)1200處，求A、B兩地球面的距離。 12、正三棱錐高為1，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，如圖 （1） 求棱錐的全面積； （2） 求球的半徑。 13、正三棱錐內(nèi)接于半徑為R的球，如果它的高與側(cè)棱所成的角等于α，求棱錐體積。 14、已知AB為球O的直徑，C、D是球面上兩點(diǎn)，D又在以BC為直徑的小圓上，設(shè)此小圓所在平面為α （1） 求證：平面ABC⊥α； （2）設(shè)AB與α所成角為θ

15、，過(guò)球半徑OD且垂直于α的截面截BC弦于E，求△OED與經(jīng)過(guò)O、D的截面面積之比，并求θ為何值時(shí)，這面積之比最大。 參考答案 （一） 選擇題 1、 C。 2、D。 當(dāng)AB不過(guò)球O時(shí)，過(guò)A、B、O的大圓有且只有一個(gè)；當(dāng)AB過(guò)球心O時(shí)，過(guò)直徑AB可作無(wú)數(shù)個(gè)大圓。 3、D。設(shè)前后兩球半徑分別為R、R’，則，∴，∴擴(kuò)大后球體積，∴，∴ 4、B。 兩個(gè)半徑之比為2∶3 5、A。 以球心為頂點(diǎn)，多面體的每一個(gè)面為底面將原多面體分割為若干個(gè)棱錐，則棱錐的體積之和為原多面體的體積： （二）填空題 6、n，n2，n3。 7、大圓，以兩點(diǎn)所連直線段為直徑的圓。因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線

16、段最短，當(dāng)直徑最小時(shí)，面積最小。 8、 9π 。設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則不妨取，∴，∴外接圓直徑，∴ 9、?！呔暥葓A的半徑為Rcos600=，∴甲、乙兩地在緯度圓上的圓心角為π，即甲、乙兩地為直徑，∴甲、乙兩地直線距離為R，∴甲、乙對(duì)球心張角為，球面距離為 10、 4R2 。以PA、P、PC為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，其對(duì)角線長(zhǎng)為直徑，∴PA2+PB2+PC2=(2R)2=4R2 （三）解答題 11、如圖，設(shè)球心為O，北緯450的圓的圓心為O’，O’B=Rcos450=R，OO’=R ∵ 二面角B—OO’—A大小為1200-300=900 ∴ AB=

17、∵ OA=OB=R ∴ ∠AOB= ∴ A、B兩點(diǎn)球面距離為 12、過(guò)PA、PO作球O及正三棱錐P—ABC的截面，如圖，PO’為棱錐的高，PO’=1，PD為正三棱錐的斜高，E為球O與正三棱錐PBC的切點(diǎn) ∵ O’D= ∴ ∴ S側(cè)= ∴ S全=S底+S側(cè)= ∵ （S全為P-ABC表面積） ∴ 或由△PEO∽△PO’D求R 13、設(shè)棱錐高為SO’，O∈SO’，過(guò)SA與SO’確定的平面作球及正三棱錐的截面，如圖 延長(zhǎng)SO交大圓于E，連AE 則∠ASE=α，SE=R Rt△SAE中，SA=SEcosα=2Rcosα ∴ SO’=SAsin∠SAD=SAsi

18、n(900-α)=2Rcos2α AO’=SAcos∠SAD=SAcos(900-α)=2Rcosαsinα=Rsin2α ∵ O’為△ABC外接圓圓心 ∴ AB=AO’ ∴ AB=AO’=Rsin2α ∴ ∴ 14、（1）設(shè)BC中點(diǎn)為O’，則OO’⊥平面α 又OO’平面ABC ∴ 平面ABC⊥α （2）∵ OE∥AC ∴ AC⊥平面α ∴ ∠ABC為AB與平面α所成的角，∠ABC=θ 易證點(diǎn)E即為O’ ∴ OE=OBsinθ=Rsinθ，ED=cosθ ∴ sinθ·Rcosθ=sinθcosθ=sin2θ 過(guò)O、D的截面為大圓，S=πR2 ∴ S△OED∶S過(guò)OD大圓= ∴ 當(dāng)時(shí)，面積比最大為