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1、2022年高二數(shù)學 排列 組合 和概率 10.2 組合同步教案 新人教A版 【教學內容】 第十章 排列 組合 和概率 10.2 組合 要求：1、學習掌握組合、組合數(shù)概念和組合數(shù)的兩個性質。熟練運用這些基本概念和性質解題； 2、掌握解排列組合題的思想方法，適當?shù)胤诸?，分步，構造恰當?shù)慕夥ń鉀Q問題； 3、靈活運用有關概念；開拓解題思路，力爭做到一題多解。 【學習指導】 1、掌握組合的概念： 定義：從n個不同元素中，取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。 排列與組合的共同點，就是要“從n個不同元素中，任取

2、m個元素”，而不同的是，對于所取出的m個元素，前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者卻是“不管怎樣的順序并成一組”，即排列是有序的，而組合是無序的。 2、掌握組合數(shù)公式： 另一個公式此公式的作用：當對含有字母的組合數(shù)的式子進行變形和論證時，常寫成這種形式去溝通。 3、組合數(shù)性質1： 組合數(shù)性質2： 通過本節(jié)的學習，要理解組合的意義，弄清排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別，掌握組合數(shù)的計算公式，并能解決相關的數(shù)學問題。 組合的應用題是本節(jié)教材的難點，它可分為無限制條件的組合、有限制條件的組合以及組合與排列的綜合應用題三大類。 對于無限制條件的組合應用題，可

3、應用組合數(shù)公式來計算；對于有限制條件的組合應用題及排列與組合的綜合應用題，一般有正向思考與逆向思考兩種思路，正向思考時常采用分步及乘法原理的方法或分類及加法原理的方法，逆向思考時常采用求補集的方法解決。 【典型例題分析】 例1、某班有45名同學，在畢業(yè)典禮會上，每兩人握一次手，總共能握多少次手？ 解：因為每兩人握一次手是無序的，所以總共能握：=990（次） 例2、從5名男生4名女生中選出4人去參加數(shù)學競賽。 （1）如果4人中男生與女生各選2人有多少種不同的選法？ （2）如果男生中的甲與女生中的乙都必須在內，有多少種不同的選法？ （3）如果男生中的甲與女生中的乙都不在內，有多少種不

4、同的選法？ （4）如果男生中的甲與女生中的乙有且只有1人在內有多少種不同的選法？ （5）如果男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內有多少種不同的選法？ 解：（1）分兩步完成，第一步先從5名男生中任選2名有種不同的選法；第二步從4名女生中任選2名有種不同的選法，由乘法原理：（種）。 ∴4人中男生與女生各選2人有60種不同的選法。 （2）由于男甲與女乙都必須在內，則從剩余的7名同學中任選2人即可完成這件事，則有 ∴男甲與女乙都必須在內的選法有21種。 （3）由于男甲與女乙都不在內，則從剩余的7名同學選出4人，其選法種數(shù)有 ∴男甲與女乙都不在內的選法有35種。 （4）分兩步完成，第一

5、步從男甲與女乙中任選1人有種不同的選法，第二步再從剩余的7名同學中任選3人有種不同的選法，由乘法原理： （5）解法一：分兩類，第一類男甲與女乙只有1人在內的選法有種，第二類男甲與女乙都在內的選法有種，由加法原理得： ∴男甲與女乙至少有1人在內的選法有91種。 解法二：先求出男甲與女乙都不在內的選法有種，再從5名男生4名女生中選出4人的不同選法中減去，有 例3、設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現(xiàn)將這五個球投放入這五個盒子內，要求每個盒子內投放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投入方法的總數(shù)有多少種？ 解：因為恰好有兩個球的

6、編號與盒子的編號相同，則這樣的兩個球有種不同的投入方法，還剩3個球與3個盒子，而這三個球的編號與盒子的編號不同，則第一個球投放入與它編號不同的盒子有2種不同的投放方法，最后兩個球只有一種投放方法，則有乘法原理得總的投放方法有： ∴這樣的投入方法總數(shù)有20種。 例4、方程的解為（ ） A、1 B、3 C、1或3 D、1或5 分析：這個方程的特點是：兩個組合的下標相同，上標含有未知數(shù)，由組合數(shù)性質：求之，因此求解時要討論上標的兩種可能情況。 解：當 當 因為當x=5，x=-7時，組合均無意義，故舍去。 所以原方程的解為x=1或x=3，選C。 例5、有甲、乙、丙三項任務

7、，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法共有（ ） A、1260種 B、2021種 C、2520種 D、5040種 分析：從10人中任派4人去承擔任務，并未限定哪個人承擔哪一項不同的任務，所以為無限制的組合問題。 解法一：分三步完成，先由10人中任選派2人承擔甲項任務有種不同的選法；再從剩余的8人中任選1人承擔乙項任務有種不同的選法；最后從剩余的7人中任選1人承擔丙項任務有種不同的選法，由乘法原理，共有種不同的選法，故選C。 解法二：先10中任選4人承擔任務有種不同的選法，選出的4人，從中任選2人承擔甲項任務有種不同的選法；再由剩余

8、的2人中任選1人承擔乙項任務，最后1人自然承擔丙項任務，因此有種不同的選法，由乘法原理得：（種） 例6、四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 種。 分析：因為三點確定一個平面，取4個不共面的點，相當于從這10個點中取4個點，組成多少個四面體的問題，本題宜采用逆向思考方法。 解：不考慮順序，從10個點中任取4個點，總數(shù)為，其中四點共面的有三類：四個點在同一側面的有4=60種；在6個中點中，四點共面的情況有3種；而每個棱中點與它所對棱的棱上的三個點也共面，共有6種。 所以，不同的取法有210-（60+6+3）=141（種） 注：本題涉及選取方法中有重

9、復計算的問題，一般選擇減的方法，去掉不合理的情況，但要做到不重復，不遺漏，需要認真思考體會。 例7、有編號為1，2，3，…，9，10的十只燈，為了節(jié)約用電，可以將其中三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的二只或三只，也不能關掉兩端的燈，則滿足條件的關燈方法有多少種？ 分析：由于這10只燈是無區(qū)別的10只燈，在滿足題設的條件下，關掉的三只燈也是無序的，因此這是一個有限制條件的組合問題，一般常用插位法。 解：從10只燈中關掉3只還余7只，把這7只燈排成一列，由于無序所以只有一種排法。 又因為關掉的三只燈不能相鄰且不 能在兩端，所以只能在7個燈之間的6個方位任選三個如圖： 1 ○ 2 ○

10、 3 ○ 4 ○ 5 ○ 6 ○ 7 ∴滿足條件的關燈方式有=20（種） 注：此題首先要弄清是排列問題還是組合問題，另外此題涉及到不相鄰的問題，一般采用插位法。 例8、從1，3，5，7，9中取3個數(shù)字，從2，4，6，8中任取2個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)。 分析：此題是一個組合與排列的綜合應用題。可分三步完成：第一步從1，3，5，7，9中取3個數(shù)字以及第二步從2，4，6，8中任取2個數(shù)字為組合問題，而第三步由前兩步取出的5個數(shù)字組成五重復的五位數(shù)是排列問題，可采用分步方法及乘法原理來解決。 解：分三步完成： 第一步從1，3，5，7，9這五個數(shù)字

11、中任取3個有種不同的取法； 第二步從2，4，6，8這四個數(shù)字中任取2個有種不同的取法； 第三步由前兩步取出的5個數(shù)全排列有種不同的排法。 由乘法原理共有：=7200（個） ∴一共可以組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)有7200個。 注：這是一個排列與組合的綜合應用題，解題應分清哪一步是排列，哪一步是組合，一般采用分步方法、乘法原理解決。 例9、6本不同的書分成三堆：（1）若平均分給甲、乙、丙三人，有多少種不同的分法？（2）若平均分成三堆，有多少種不同的分法？（3）若有一堆一本，一堆二本，一堆3本，有多少種不同的分法？（4）若有一堆4本，另兩堆各1本的不同分法有多少種？ 分析：6本不同的書平

12、均分給甲、乙、丙三人是有順序的，而平均分成三堆是無順序的，所以此題的第（2）問在一般分法種重復次，第（4）問在一般分法中重復次。 解：（1）6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人可分三步完成：第一步從6本不同的書中任取2本給甲有種不同的分法。第二從剩余的4本不同的書中任取2本給乙有種不同的分法，最后把剩余的2本不同的書給丙有種不同 的分法，根據(jù)乘法原理總共有：（種） ∴6本不同的書，平均分給甲、乙、丙三人總共有90種不同的分法。 （2）假設將6本不同的書分成三堆有x種方法。在每一種分法中，再把這三堆分別分給甲、乙、丙三人有種分法，根據(jù)乘法原理將6本不同的書平均分給3個人的不同分法有，從而：

13、 ∴（種） （3）從6本不同的書中任取1本放一堆，有種取法；再從剩下的5本書中任取2本放成一堆，有種不同的取法； 最后余下的3本書放成一堆，有種不同的取法，因為各堆書的數(shù)目互不相同，所以這種分堆方法與6本不同的書分給甲一本，乙二本，丙三本完全相同，所以這樣的分堆方法總數(shù)為：=60（種） ∴一堆1本，一堆2本，一堆3本，有60種不同的分法。 （4）如果將6本不同的書分給甲4本，乙1本，丙1本，共有種不同的分法。這里給乙第一本，丙第二本與給乙第二本，丙第一本是不同的分法。但作為分堆第一本書一堆、第二書一堆與第二本書一堆、第一本書一堆是相同的分法，所以分堆方法是：（種）或（種） ∴一堆4本

14、，另兩堆各1本的不同分法有15種。 注：這是一個偶數(shù)個元素平均分成幾組，且各組之間是無序的組合問題，一般重復次，解題時應審清題意，弄清平均分組組數(shù)n，謹防重復而使解題出錯。 【同步練習】 1、在所有的三位數(shù)中，如果它的百位數(shù)字比十位數(shù)字大，十位數(shù)字比個位數(shù)字大，這樣的三位數(shù)共有（ ） A、240個 B、210個 C、120個 D、108個 2、2名醫(yī)生和4名護士被分配到2所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士的不同分配方法共有（ ） A、6種 B、12種 C、18種 D、24種 3、有15個隊參加籃球賽，首輪平均分成三組進行單循環(huán)賽，然后由各

15、組前2名共6個隊進行單循環(huán)決賽，且規(guī)定同組的兩個隊不再賽第二場，則所進行的比賽共有（ ） A、42場 B、45場 C、22場 D、25場 4、圓周上有八個等分圓周點，以這些等分點為頂點的銳角三角形或鈍角三角形的個數(shù)是（ ） A、16 B、24 C、32 D、48 5、如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在內的12條直線中，異面直線共有（ ） A、12對 B、24對 C、36對 D、48對 6、某年級有6個班，分別派3名語文教師任教，每個教師教2個班，不同的任課方法的種數(shù)為（ ） A、 B、 C、 D、

16、 7、假設在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件是次品的抽法有（ ） A、 B、 C、 D、 8、從某班學生中，選出四個組長的不同選法有x種，選出正副班長各一名的不同選法有y種，若x:y=13:2，則該班學生人數(shù)是（ ） A、22 B、20 C、15 D、10 9、四不同的小球全部隨意放入三個不同的盒子，使每個盒子都不空的放法為（ ） A、 B、 C、 D、 10、5項不同的工程由3個工程隊全部承包下來，每隊至少承包一項，則不同的承包方案有（ ） A、420種 B、240種

17、 C、150種 D、90種 11、整數(shù)360的正約數(shù)（包括1和360）共有 個。 12、以正方體的頂點為棱錐的頂點，可作 個棱錐。 13、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選出5人組成一個醫(yī)療小組，如果醫(yī)療小組中要求至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則有 種不同的選法。 14、圓周上有20個點，過任意兩點連結一條弦，這些弦在圓內的交點最多只能有 個。 15、某電子器件的電路中有6個焊接點，只要有一個焊接點脫落，整個電路就不通，今發(fā)現(xiàn)電路不通，求焊接點脫落的可能性有多少？ 16、晚會由3個歌曲，2個舞蹈和4個曲藝節(jié)目組成，要求第一個節(jié)目為歌曲，結尾是曲藝，且每兩個曲藝節(jié)目不相鄰

18、，問能安排多少種不同的節(jié)目順序表？ 17、9名同學分成三組： ①每組3人，有多少種不同的分組方法？ ②每組3人，且這三組同學分別參加文藝、體育和科技活動小組，有多少種不同的分組方法？ ③若第一組5人，其余兩組各2人有多少種不同的分組方法？ 18、求證： 【練習答案】 1、C 2、B 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、C 9、A 10、C 提示： 1、有“0”的三位數(shù)： 無“0”的三位數(shù)： 故共有（個） 錯誤解法： 主要對有“0”無“0”的情況不同沒有深刻理解。 2、 3、首輪比賽場，第二輪比賽場，故共有42場

19、比賽。 4、（采用“逆向思維法”，若兩等分點連線是）直徑，則所對圓周角是直角不符。 5、每一條側棱與底面4條邊組成“4對”，共六條側棱，故共有： 6、 7、有兩種情況：3件正品，2件次品；2件正品，3件次品。注意分類的不重不漏。 8、設共有學生n人。 9、注意三個盒子內的球數(shù)只有分別有2，1，1個這一種情況故共有（種）不同放法。 錯誤解法：，見例9第（4）問已有詳細分析解答。 10、工程隊承包項目分別為2，2，1項和3，1，1項兩種情況。 故共有方案：（種） 11、 故約數(shù)中對2，3，5的取法個數(shù)分別討論如下： 對2可取0，1，2，3個4種情況； 對3可取0，1，

20、2個3種情況； 對5可取0，1個2種情況； 由乘法原理，故有正約數(shù)（包括1和360）共有：（個） 12、可構成三棱錐或四棱錐。 ①從正方體的頂點中任取4個有種，其中表面和對角面上4點共面，不構成三棱錐，這樣的4點組共12組，故可構成個三棱錐。 ②先定底面，再定頂點，共有個四棱錐，故共可構成58+48=106個棱錐。 13、分2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生：與3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生：兩種情況。 ∴共有（種）不同的選法。 錯誤答案：產(chǎn)生了不少重復計數(shù)。 14、運用“對應思想”，一個交點對應著一個圓內接四邊形，當這些交點均不重合時，最多有（個） 15、共有（種）可能。 16、第一個節(jié)目有種排法； 結尾節(jié)目有種排法； 還剩下的2個歌曲和2個舞蹈有種排法； 還有3個曲藝節(jié)目要求不相鄰，用“插空法”排，把它們插在第一，第二，第三，第四，第五這五個節(jié)目之間的空擋中，有種插法，由乘法原理共有=6912（種）。 17、①（種） ②（種） ③（種） 18、證明：（1）