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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 幾何概型教案 理 教材分析 和古典概型一樣，在特定情形下，我們可以用幾何概型來計算事件發(fā)生的概率．它也是一種等可能概型． 教材首先通過實(shí)例對比概念給予描述，然后通過均勻隨機(jī)數(shù)隨機(jī)模擬的方法的介紹，給出了幾何概型的一種常用計算方法．與本課開始介紹的P（A）的公式計算方法前后對應(yīng)，使幾何概型這一知識板塊更加系統(tǒng)和完整． 這節(jié)內(nèi)容中的例題既通俗易懂，又具有代表性，有利于我們的教與學(xué)生的學(xué)．教學(xué)重點(diǎn)是幾何概型的計算方法，尤其是設(shè)計模型運(yùn)用隨機(jī)模擬方法估計未知量；教學(xué)難點(diǎn)是突出用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，把求未知量的問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通

2、過這節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解幾何概型，理解其基本計算方法并會運(yùn)用． 2. 通過對照前面學(xué)過的知識，讓學(xué)生自主思考，尋找?guī)缀胃判偷碾S機(jī)模擬計算方法，設(shè)計估計未知量的方案，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力． 3. 通過學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性與規(guī)律性，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法，提高學(xué)生對自然界的認(rèn)知水平． 任務(wù)分析 在這節(jié)內(nèi)容中，介紹幾何概型主要是為了更廣泛地滿足隨機(jī)模擬的需要，因此，教學(xué)重點(diǎn)是隨機(jī)模擬部分．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)需要一些實(shí)物模型作為教具，如教科書中的轉(zhuǎn)盤模型、例2中的隨機(jī)撒豆子的模型等．教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意讓學(xué)生實(shí)際動手操作，以使學(xué)生相信模擬結(jié)果的真實(shí)性，然后再通過計算機(jī)或計算器產(chǎn)生均勻隨機(jī)

3、數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，得到模擬的結(jié)果．隨機(jī)模擬的教學(xué)中要充分使用信息技術(shù)，讓學(xué)生親自動手產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行模擬活動．有條件的學(xué)?？梢宰寣W(xué)生用一種統(tǒng)計軟件統(tǒng)計模擬的結(jié)果． 教學(xué)設(shè)計 一、問題情境 如圖，有兩個轉(zhuǎn)盤．甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向Ｂ區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝． 問題：在下列兩種情況下分別求甲獲勝的概率． 二、建立模型 1. 提出問題 首先引導(dǎo)學(xué)生分析幾何圖形和甲獲勝是否有關(guān)系，若有關(guān)系，和幾何體圖形的什么表面特征有關(guān)系？學(xué)生憑直覺，可能會指出甲獲勝的概率與扇形弧長或面積有關(guān)．即：字母B所在扇形弧長（或面積）與整個圓弧長（或面積）的比．接著提出這樣的問題：變換圖中B與

4、N的順序，結(jié)果是否發(fā)生變化？（教師還可做出其他變換后的圖形，以示決定幾何概率的因素的確定性）． 題中甲獲勝的概率只與圖中幾何因素有關(guān)，我們就說它是幾何概型． 注意：（1）這里“只”非常重要，如果沒有“只”字，那么就意味著幾何概型的概率可能還與其他因素有關(guān)，這是錯誤的． （2）正確理解“幾何因素”，一般說來指區(qū)域長度（或面積或體積）． 2. 引導(dǎo)學(xué)生討論歸納幾何概型定義，教師明晰———抽象概括 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型． 在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下： 3. 再次提出問題，并

5、組織學(xué)生討論 （1）情境中兩種情況下甲獲勝的概率分別是多少？ （2）在500ml的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率． （3）某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10min的概率． 通過以上問題的研討，進(jìn)一步明確幾何概型的意義及基本計算方法． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30之間把報紙送到你家，而你父親離開家去工作的時間在早上7：00～8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率是多少． 分析：我們有兩種方法計算事件的概

6、率． （1）利用幾何概型的公式． （2）利用隨機(jī)模擬的方法． 解法1：如圖，方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示送報人送到報紙的時間，縱坐標(biāo)表示父親離開家去工作的時間．假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在方形內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件．根據(jù)題意，只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示父親在離開家前能得到報紙，即事件A發(fā)生，所以 解法2：設(shè)X，Y是0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)．X＋6.5表示送報人送到報紙的時間，Y＋7表示父親離開家去工作的時間．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父親在離開家前能得到報紙．用計算機(jī)做多次試驗(yàn)，即可得到P（A）． 教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解答，充分調(diào)動學(xué)生自主設(shè)計隨機(jī)模擬方法

7、，并組織學(xué)生展示自己的解答過程，要求學(xué)生說明解答的依據(jù)．教師總結(jié)，并明晰用計算機(jī)（或計算器）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的模擬試驗(yàn)．強(qiáng)調(diào)：這里采用隨機(jī)數(shù)模擬方法，是用頻率去估計概率，因此，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率． 2. 如圖，在正方形中隨機(jī)撒一大把豆子，計算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比，并以此估計圓周率的值． 解：隨機(jī)撒一把豆子，每個豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個區(qū)域的豆子數(shù)與這個區(qū)域的面積近似成正比，即 假設(shè)正方形的邊長為2，則 由于落在每個區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來的，所以 這樣就得到了π的近似值． 另外，我們也可以用計算器或計算機(jī)模擬，步驟如下：

8、 （1）產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b1＝RAND； （2）經(jīng)平移和伸縮變換，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2； （3）數(shù)出落在圓內(nèi)a2＋b2＜1的豆子數(shù)N1，計算（N代表落在正方形中的豆子數(shù)）． 可以發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，得到π的近似值的精度會越來越高． 本例啟發(fā)我們，利用幾何概型，并通過隨機(jī)模擬法可以近似計算不規(guī)則圖形的面積． ［練　習(xí)］ 1. 如圖30-4，如果你向靶子上射200鏢，你期望多少鏢落在黑色區(qū)域． 2. 利用隨機(jī)模擬方法計算圖30-5中陰影部分（y＝1和y＝x2圍成的部分）的面積． 3. 畫一橢圓，讓學(xué)生設(shè)計方案，求此橢圓的面積． 四、拓展延伸 1. “概率為數(shù)‘0’的事件是不可能事件，概率為1的事件是必然事件”，這句話從幾何概型的角度還能成立嗎？ 2. 你能說一說古典概型和幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系嗎？ 3. 你能說說頻率和概率的關(guān)系嗎？ 點(diǎn)　 評 這篇案例設(shè)計完整，整體上按知識難易逐漸深入，同時充分調(diào)動了學(xué)生的積極性，以學(xué)生之間互動為主，教師引導(dǎo)為輔．例題既有深化所學(xué)知識的，又有應(yīng)用所學(xué)知識的．“拓展延伸”既培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，又有利于學(xué)生從總體上把握這節(jié)課所學(xué)的知識．