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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（奧賽班） 本試卷分第I卷和第II卷兩部分.考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效. 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.請把答案涂在答題卡的相應(yīng)位置. 1.若那么下列命題中正確的是( ). A. B. C. D. 2.關(guān)于的不等式的解集是,則等于( ). A.24 B.6 C.14 D. 3.當(dāng)時,不等式恒成立,則的取值范圍是( ). A. B. C. D. 4.若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是( ). A.

2、13 B.15 C.20 D.28 5.命題是的圖象的一條對稱軸,命題是的最小正周期,下列命題:①②③④其中真命題的有( ). A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 6.若拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離,則點的坐標(biāo)為( ). A. B. C. D. 7.過雙曲線的一個焦點,作垂直于實軸的弦,是另一個焦點,若,則雙曲線的離心率等于( ). A. B. C. D. 8.若直線與橢圓相交于兩點,當(dāng)變化時, 的最大值為( ). A. 2 B. C. D. 9.若存在實數(shù)使成立,則實數(shù)的

3、取值范圍是( ). A. B. C. D. 10.已知正數(shù)滿足,則的最小值為( ). A.27 B.18 C.36 D.54 11.已知是橢圓的兩個焦點, 是橢圓上任一點,過一焦點引的外角平分線的垂線,垂足為,則的軌跡為( ). A橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓 12.設(shè)正實數(shù)滿足,則當(dāng)取得最大值時, 的最大值為( ). A.0 B.1 C. D.3 第II卷(非選擇題,共90分) 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分. 13.不等式的解集為 . 14.已知函數(shù),在時

4、取最小值，則 . 15.已知點是拋物線上一點，設(shè)點到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為 . 16.已知過點的直線L與雙曲線只有一個公共點，則直線L的斜率k= . 三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.(本題滿分11分)在直角坐標(biāo)系中，直線L的參數(shù)方程為在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系長度單位相同，且以O(shè)為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓C與直線L交于點A，B,若點P的坐標(biāo)為，求的值. 18. (本題滿分12分)正方形所在平

5、面與四邊形所在平面互相垂直，為等腰直角三角形, （1）求證：; （2）設(shè)線段的中點為，在直線上是否存在一點,使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由； （3）求二面角的余弦值. 19.(本題滿分12分)設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點,點與點關(guān)于軸對稱,O為坐標(biāo)原點,若,且,求點的軌跡方程. 20.(本題滿分12分)已知,對于值域內(nèi)的所有實數(shù),使不等式恒成立,求的取值范圍. 21.(本題滿分12分)設(shè)是圓上的動點,點是在軸上的投影, 為上一點,且. (1)當(dāng)在圓上運(yùn)動時,求點的軌跡的方程; (2)求過點(3,0)且斜

6、率為的直線被曲線所截得的線段的長度. 22.(本題滿分12分) 是拋物線上的一點,動弦分別交軸于兩點,且. (1)若為定點,證明直線的斜率為定值; (2)若為動點,且,求的重心的軌跡方程. 參考答案 一、選擇題DACAC.BCCDB,DB 二、填空題 三、解答題17.解：（1）由題意知1，b為方程的兩根 即 （2）不等式等價于 17（奧賽）解（1） （2）將L的參數(shù)方程代入圓C得 化簡得 由t的幾何意義得= 18（奧賽）提示建立空間直角坐標(biāo)系（2）M為線段AE的中點（3） 18.解： 因此所求的充要條件是，一個必要而不充分條件是 19.解由已知， 由得 20.解：對于值域內(nèi)的所有實數(shù), 不等式恒成立, 即 21.解： 22解：設(shè) （2） 由（1）得，