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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 5.7 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　利用正、余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中，AB＝，BC＝1，cos C＝. (1)求sin A的值；(2)求的值. 【解析】(1)由cos C＝得sin C＝. 所以sin A＝＝＝. (2)由(1)知，cos A＝. 所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C ＝－＋＝－. 所以·＝·(＋)＝＋ ＝－1＋1××cos B＝－1－＝－. 【點(diǎn)撥】在解三角形時(shí)，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí). 【變式訓(xùn)

2、練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為，則∠C＝　　　. 【解析】S＝＝absin C. 所以sin C＝＝cos C.所以tan C＝1， 又∠C∈(0，π)，所以∠C＝. 題型二　利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題 【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，并且sin2A＝sin(＋B)sin(－B)＋sin2B. (1)求角A的值； (2)若＝12，a＝2，求b，c(其中b＜c). 【解析】(1)因?yàn)閟in2A＝(cos B＋sin B)(cos B－sin B)＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B

3、＝，所以sin A＝±.又A為銳角，所以A＝. (2)由＝12可得cbcos A＝12.① 由(1)知A＝，所以cb＝24.② 由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，將a＝2及①代入得c2＋b2＝52.③ ③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10. 因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的兩個(gè)根. 又b＜c，所以b＝4，c＝6. 【點(diǎn)撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識(shí)，考查綜合運(yùn)算求解能力. 【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且滿(mǎn)

4、足(2a－c)cos B＝ bcos C. (1)求角B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積. 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入(2a－c)cos B＝bcos C， 整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B， 即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A， 在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1， 因?yàn)椤螧是三角形的內(nèi)角，所以B＝60°. (2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac

5、－2accos B， 將b＝，a＋c＝4代入整理，得ac＝3. 故S△ABC＝acsin B＝sin 60°＝. 題型三　正、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 【例3】(xx陜西模擬)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 【解析】由題意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋

6、30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得＝， 所以DB＝＝ ＝＝＝10(海里). 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900， 所以CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí)). 所以，救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí). 【點(diǎn)撥】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是： (1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形； (2)確定實(shí)際問(wèn)題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系； (3)選用

7、正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解； (4)給出結(jié)論. 【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m km后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周?chē)鷑 km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿(mǎn)足條件　　　時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn). 【解析】由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得＝，解得BM＝，要使船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin(90°－β)＝＞n.所以α與β的關(guān)系滿(mǎn)足mcos αcos β＞nsin(α－β)時(shí)，船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn). 總結(jié)提高 1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角A＞B與sin A＞sin B是一種等價(jià)關(guān)系. 2.在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會(huì)漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.