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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第5講 立體幾何 1．一個物體的三視圖的排列規(guī)則是俯視圖放在正(主)視圖下面，長度與正(主)視圖一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖右面，高度與正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣，即“長對正，高平齊，寬相等”．在畫一個物體的三視圖時，一定注意實線與虛線要分明． [問題1]　如圖，若一個幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為________． 2．在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段．“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半”． [問題2]　如圖

2、所示的等腰直角三角形表示一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則這個平面圖形的面積是________． 3．簡單幾何體的表面積和體積 (1)S直棱柱側(cè)＝c·h(c為底面的周長，h為高)． (2)S正棱錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)． (3)S正棱臺側(cè)＝(c′＋c)h′(c與c′分別為上、下底面周長，h′為斜高)． (4)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl(r為底面半徑，l為母線)， S圓錐側(cè)＝πrl(同上)， S圓臺側(cè)＝π(r′＋r)l(r′、r分別為上、下底的半徑，l為母線)． (5)體積公式 V柱＝S·h (S為底面面積，h為高)， V錐＝S·h(S

3、為底面面積，h為高)， V臺＝(S＋＋S′)h(S、S′為上、下底面面積，h為高)． (6)球的表面積和體積 S球＝4πR2，V球＝πR3. [問題3]　如圖所示，一個空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(cè)(左)視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為(　　) A．4π B．3π C．2π D.π 4．空間直線的位置關(guān)系 (1)相交直線——有且只有一個公共點．(2)平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點．(3)異面直線——不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點． [問題4]　在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點，則直線EG和FH的位置

4、關(guān)系是________． 5．空間的平行關(guān)系 (1)線面平行：?a∥α；?a∥α；?a∥α； (2)面面平行：?α∥β；?α∥β； ?α∥γ； (3)線線平行：?a∥b；?a∥b； ?a∥b；?a∥b. [問題5]　判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”號，錯誤的畫“×”號． ①如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面．(　　) ②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行．(　　) ③如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b.(　　) ④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.(　　) 6．空間

5、的垂直關(guān)系 (1)線面垂直：?l⊥α；?a⊥β；?a⊥β；?b⊥α； (2)面面垂直：二面角90°；?α⊥β；?α⊥β； (3)線線垂直：?a⊥b. [問題6]　已知兩個平面垂直，下列命題 ①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線； ②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線； ③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面； ④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 7．空間向量 (1)用空間向量求角的方法步驟 ①異面直線所成的角 若異面直線l1和l2

6、的方向向量分別為v1和v2，它們所成的角為θ，則cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ②直線和平面所成的角 利用空間向量求直線與平面所成的角，可以有兩種方法： 方法一　分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩條直線的方向向量的夾角(或其補角)． 方法二　通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角． ③利用空間向量求二面角也有兩種方法： 方法一　分別在二面角的兩個面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。? 方法二　通過平面的法向量來求，設(shè)二面角的兩個面的法向

7、量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 易錯警示：①求線面角時，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，容易誤以為是線面角的余弦． ②求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析． (2)用空間向量求A到平面α的距離： 可表示為d＝. [問題7]　(1)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于________． (2)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點O到平面ABC1D1的距離為________． 例1　某

8、空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C．1 D．2 錯因分析　解本題易出現(xiàn)的錯誤有(1)還原空間幾何體的形狀時出錯，不能正確判斷其對應(yīng)的幾何體；(2)計算時不能準(zhǔn)確把三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)幾何體中的線段長度，尤其側(cè)視圖中的數(shù)據(jù)處理很容易出錯． 解析　由三視圖，可知該空間幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，直角邊長分別為1和，三棱柱的高為，則該幾何體的體積為V＝×1××＝1.故選C. 答案　C 易錯點2　旋轉(zhuǎn)體辨識不清 例2　如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積． 錯因分析　注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分

9、，不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時候邊界形成一個圓臺，并在上面挖去了一個“半球”，其體積應(yīng)是圓臺的體積減去半球的體積．解本題易出現(xiàn)的錯誤是誤以為旋轉(zhuǎn)的是梯形ABCD，在計算時沒有減掉半球的體積． 解　由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺和球的體積公式，得 V圓臺＝×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)， V半球＝π×23×＝π(cm3)． 所以旋轉(zhuǎn)體的體積為V圓臺－V半球＝52π－π＝π(cm3)． 易錯點3　空間線面關(guān)系把握不準(zhǔn) 例3　設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，且a?α，a?β，則下列結(jié)論中不成立的是(　　) A．若b?β，a∥b，則a∥β B．若a⊥β，α⊥β，則a

10、∥α C．若a⊥b，b⊥α，則a∥α D．若α⊥β，a⊥β，b∥a，則b∥α 錯因分析　本題易出現(xiàn)的問題就是對空間點、線、面的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面，不能準(zhǔn)確把握題中的前提——a?α，a?β，對空間中的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準(zhǔn)導(dǎo)致判斷失誤．如A項中忽視已知條件中的a?β，誤以為該項錯誤等． 解析　對于選項A，若有b?β，a∥b，且已知a?β，所以根據(jù)線面平行的判定定理可得a∥β，故選項A正確；對于選項B，若a⊥β，α⊥β，則根據(jù)空間線面位置關(guān)系可知a?α或a∥α，而由已知可知a?α，所以有a∥α，故選項B正確；對于C項，若a⊥b，b⊥α，所以a?α或a∥

11、α，而由已知可得a?α，所以a∥α，故選項C正確；對于D項，由a⊥β，b∥a可得b⊥β，又因為α⊥β，所以b?α或b∥α，故不能得到b∥α，所以D項錯，故選D. 答案　D 易錯點4　混淆空間角與向量夾角 例4　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，點E是AB上一點，求AE等于何值時，二面角P－EC－D的平面角為. 錯因分析　本題易出錯的地方是誤以為兩個平面的法向量所成的角的大小等于所求二面角的大小，在計算時對兩個平面的法向量所成的角和二面角的關(guān)系判斷錯誤，導(dǎo)致在平面的法向量方向不同時把銳二面角的余弦值算出個負(fù)值而出錯．

12、解　以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)． 設(shè)E(1，y0,0)，則＝(－1,2－y0,0)， 設(shè)平面PEC的一個法向量為n1＝(x，y，z)， 所以??x∶y∶z ＝(2－y0)∶1∶2， 記n1＝(2－y0,1,2)． 而平面ECD的一個法向量為n2＝(0,0,1)， 則二面角P－EC－D的平面角的余弦值 cos ＝|cos〈n1，n2〉|＝， 所以cos ＝＝＝?y0＝2－或y0＝2＋(舍去)． 所以當(dāng)AE＝2－時，二面角P－EC－D

13、的平面角為. 1．(xx·浙江)設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β(　　) A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m 2．設(shè)m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列選項中不正確的是(　　) A．當(dāng)m?α?xí)r，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件 B．當(dāng)m?α?xí)r，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件 C．當(dāng)n⊥α?xí)r，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件 D．當(dāng)m?α?xí)r，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件 3．(xx·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該

14、幾何體的體積是(　　) A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3 4．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　　) A．PA＝PB>PC B．PA＝PB

15、1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M為線段BB1上的一動點，則過A、M、C1三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為______． 7．對于四面體ABCD，給出下列四個命題： ①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD； ④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD. 其中正確的是________．(填序號) 8.如圖，四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，則二面角A－BC－D的大小為________． 9．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β

16、，給出四個命題： ①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l∥m，則α⊥β. 其中為真命題的是________．(填序號) 10.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D，E分別為棱PB，PC的中點． (1)求證：平面PBC⊥平面PAC； (2)求AD與平面PAC所成角的余弦值． 　 　 　 學(xué)生用書答案精析 5．立體幾何 要點回扣 [問題1]　 [問題2]　2 [問題3]　D [問題4]　相交 [問題5]?、佟痢、凇痢、邸痢、堋? [問題6]　C [問題7

17、]　(1)　(2) 解析　(1)方法一　取A1C1的中點E，連接AE，B1E，如圖． 由題意知B1E⊥平面ACC1A1， 則∠B1AE為AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角． 設(shè)正三棱柱側(cè)棱長與底面邊長為1， 則sin∠B1AE＝＝＝. 方法二　如圖， 以A1C1中點E為原點建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz，設(shè)棱長為1， 則A，B1， 設(shè)AB1與平面ACC1A1所成的角為θ，為平面ACC1A1的法向量． 則sin θ＝|cos〈，〉|＝＝. (2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O. 設(shè)平面ABC1

18、D1的法向量為n＝(x，y，z)，則 ∴ 令z＝1，得∴n＝(1,0,1)， 又＝， ∴O到平面ABC1D1的距離d＝＝＝. 查缺補漏 1．A　[選項A：∵l⊥β，l?α，∴α⊥β，A正確；選項B：α⊥β，l?α，m?β，l與m位置關(guān)系不固定；選項C，∵l∥β，l?α，∴α∥β或α與β相交．選項D：∵α∥β，l?α，m?β.此時，l與m位置關(guān)系不固定，故選A.] 2．A　[當(dāng)m?α?xí)r，若n∥α可得m∥n或m，n異面；若m∥n可得n∥α或n?α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要條件，答案選A.] 3．C　[該幾何體是棱長為2 cm的正方體與一底面邊長為2 cm的正方形

19、、高為2 cm的正四棱錐組成的組合體，V＝2×2×2＋×2×2×2＝ cm3.故選C.] 4．C　[∵M(jìn)為AB的中點，△ACB為直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.] 5．D　[若PB⊥AD，則AD⊥AB，但AD與AB成60°角，A錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C錯誤；直線PD與平面ABC所成角為∠PDA，在Rt△PAD中，AD＝PA， 所以∠PDA＝45°，D正確．] 6．3＋ 解析　由圖形可知，當(dāng)A

20、M＋MC1最小時， 所得截面的周長最小，如圖所示把平面A1ABB1與平面C1CBB1展開成一個平面AA1C1C，則AM＋MC1最短為AC1＝＝3，所以截面的最小周長為 3＋＝3＋. 7．①④ 解析　取線段BC的中點E，連接AE，DE， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴BC⊥AE，BC⊥DE， ∴BC⊥平面ADE， ∵AD?平面ADE， ∴BC⊥AD，故①正確． 設(shè)點O為點A在平面BCD上的射影， 連接OB，OC，OD， ∵AB⊥CD，AC⊥BD， ∴OB⊥CD，OC⊥BD， ∴點O為△BCD的垂心， ∴OD⊥BC， ∴BC⊥AD，故④正確，易知②③不正確，填①④.

21、 8. 解析　由∠ABC＝∠DCB＝知， 與的夾角θ就是二面角A－BC－D的平面角． 又＝＋＋，∴2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2·. 因此2·＝(2)2－12－32－22＝－2， ∴cos(π－θ)＝－，且0<π－θ<π， 則π－θ＝π，故θ＝. 9．①④ 解析　對命題①，由l⊥α，α∥β得，l⊥β，m?β， ∴l(xiāng)⊥m，故①正確． 對命題②，l⊥m?l⊥β，則l⊥m?α∥β，故②錯誤． 對命題③，當(dāng)α⊥β時，l與m也可能相交或異面或平行，故③錯誤． 對命題④，由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m?β， ∴α⊥β，故④正確． 10．(1)證明　如圖所示，以A為坐標(biāo)原點

22、，AC，AP所在直線分別為y軸，z軸，過點A且平行于BC的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PA＝2，由已知可得 A(0,0,0)，B(－1，，0)，C(0，，0)，P(0,0,2)， D(－，，1)，E(0，，1)． 因為＝(0,0,2)，＝(1,0,0)，所以·＝0.， 所以BC⊥AP，又∠BCA＝90°， 所以BC⊥AC. 因為AC∩AP＝A且AC?平面PAC，AP?平面PAC，所以BC⊥平面PAC. 又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC. (2)解　設(shè)AD與平面PAC所成的角為θ. 由(1)知BC⊥平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為＝(1,0,0)． 又＝(－，，1)， 所以 sin θ＝|cos〈，〉 |＝＝＝. 所以AD與平面PAC所成角的余弦值為cos θ＝＝.