《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第3節(jié) 統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體教學(xué)案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第3節(jié) 統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體教學(xué)案 文 北師大版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)　統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體 [最新考綱]　1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點.2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理的解釋.4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．理解用樣本估計總體的思想，會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題． (對應(yīng)學(xué)生用書第179頁) 1．統(tǒng)計圖表 統(tǒng)計圖表是表達和分析數(shù)據(jù)的重要工具，常用的統(tǒng)計圖表有條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、象形

2、統(tǒng)計圖、莖葉圖等． 2．?dāng)?shù)據(jù)的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) ①眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． ②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． ③平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)． (2)方差和標準差 ①方差：s2＝. ②標準差：s＝＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)．標準差的單位與原始測量單位相同，在統(tǒng)計中，通常用標準差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度． 3．頻率分布直方圖與頻率

3、分布折線圖 (1)頻率分布直方圖：每個小矩形的寬度為Δxi(分組的寬度)，高為，小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi，我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖． (2)頻率分布折線圖 在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加上一個區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的中點開始，用線段依次連接頻率分布直方圖中各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區(qū)間的中點就得到頻率分布折線圖． 4．用樣本估計總體 通常我們對總體作出的估計一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征． 1．頻率分布直方圖的三個結(jié)論 (1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差Δxi稱為

4、組距，縱坐標＝，頻率＝組距×. (2)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積總和等于1，因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值，所以各小長方形高的比也就是頻率比． (3)小長方形的高＝，所有小長方形高的和為. 2．平均數(shù)、方差的公式推廣 (1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a. (2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2. ①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2； ②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在頻率分布直方圖

5、中，小矩形的高表示頻率． (　　) (2)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高． (　　) (3)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢． (　　) (4)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大． (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為(　　) A．4 B．8　　　　 C．12　　　　 D．16 B　[設(shè)頻數(shù)為n，則＝0.25，∴n＝32×＝8.] 2．若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，

6、則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是(　　) A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 A　[∵這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位數(shù)是＝91.5，平均數(shù)＝＝91.5.] 3．如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2,2.5)范圍內(nèi)的居民有________人． 25　[用水量為[2,2.5)的頻率為0.5×0.5＝0.25，則用水量為[2,2.5)的居民有100×0.25＝25(人)．] 4．已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________

7、． 0.1　[5個數(shù)的平均數(shù)＝＝5.1，所以它們的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.] (對應(yīng)學(xué)生用書第180頁) ⊙考點1　扇形圖和折線圖 (1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚的表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系． (2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢． 　1.(2018·全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村

8、的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是(　　) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 A　[設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟收入的總量為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟收入的總量為2x. 建設(shè)前種植收入為0.6x，建設(shè)后種植收入為0.74x，故A不正確； 建設(shè)前其他收入為0.04x，建設(shè)后其他收入為0.1x，故B正確； 建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確； 建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟收入總

9、量的58%，故D正確．] 2．(2017·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) A　[對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯； 對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確； 對于

10、選項C，D，由圖可知顯然正確．故選A.] 　解答第1題時，理解“經(jīng)濟收入增加了一倍”是解題的關(guān)鍵． ⊙考點2　莖葉圖 　莖葉圖的應(yīng)用 (1)莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來比較兩組數(shù)據(jù)．通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等． (2)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，比較數(shù)字特征時，“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較?。? 　1.(2017·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為(　　) A．3

11、,5　　　B．5,5　　　C．3,7　　　D．5,7 A　[由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它們的平均值相等，所以×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x＝3，故選A.] 2．在如圖所示一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個數(shù)字被污染后模糊不清，但曾計算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61，則被污染的數(shù)字為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[由題圖可知該組數(shù)據(jù)的極差為48－20＝28，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為61－28＝33，易得被污染的數(shù)字為2，故選B.] 3．甲、乙兩名籃球運動員5場比賽得分的原始記錄如

12、莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均得分分別為甲，乙，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.甲＜乙；乙比甲得分穩(wěn)定 B.甲＞乙；甲比乙得分穩(wěn)定 C.甲＞乙；乙比甲得分穩(wěn)定 D.甲＜乙；甲比乙得分穩(wěn)定 A　[因為甲＝＝11，乙＝＝16.8，所以甲＜乙且乙比甲成績穩(wěn)定，故選A.] 　第3題，從數(shù)據(jù)重心位置及數(shù)據(jù)離散程度，亦可知道答案． ⊙考點3　頻率分布直方圖 1．由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時，需掌握的兩個關(guān)系式 (1)×組距＝頻率． (2)＝頻率，此關(guān)系式的變形為＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)． 2．利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征的方法 (1)中位數(shù)：在頻率分布直方

13、圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值． (2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和． (3)眾數(shù)：最高的矩形的中點的橫坐標． (1)在某次高中學(xué)科競賽中，4 000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表，則下列說法中有誤的是(　　) A．成績在[70,80]分的考生人數(shù)最多 B．不及格的考生人數(shù)為1 000人 C．考生競賽成績的平均分約70.5分 D．考生競賽成績的中位數(shù)為75分 (2)(2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將2

14、00只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70. ①求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值； ②分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)． (1)D　[由頻率分布直方圖可得，成績在[70,80]的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；由頻率分布直方圖可得，成績在[40,

15、60)的頻率為0.25，因此，不及格的人數(shù)為4 000×0.25＝1 000，故B正確；由頻率分布直方圖可得：平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正確；因為成績在[40,70)的頻率為0.45，由[70,80]的頻率為0.3，所以中位數(shù)為70＋10×≈71.67，故D錯誤．故選D.] (2)[解]?、儆梢阎?.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35. b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. ②甲離子殘留百分比的平均值的估計值為 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.1

16、0＋7×0.05＝4.05， 乙離子殘留百分比的平均值的估計值為 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 　頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，在求參數(shù)的值時，經(jīng)常用到這個結(jié)論． [教師備選例題] 　某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖． (1)求直方圖中x的值； (2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)． [解](1)由(0.002＋0.00

17、9 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x＝0.007 5. 即直方圖中x的值為0.007 5. (2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230. ∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5， ∴月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)． 設(shè)中位數(shù)為a，則0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位數(shù)為224. 　我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查．通過抽樣，獲得了某年

18、100位居民每人的月均用水量(單位：噸)．將數(shù)據(jù)按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值； (2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由； (3)估計居民月均用水量的中位數(shù)． [解](1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在[0，0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1－(0.04＋0

19、.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a， 解得a＝0.30. (2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12＝36 000. (3)設(shè)中位數(shù)為x噸． 因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，又前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝

20、2.04. 故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸． ⊙考點4　樣本的數(shù)字特征 　利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù) (1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。粯藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定． (2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征． 　樣本數(shù)字特征的計算 (1)(2019·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________． (2)(2019·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列

21、車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________． (1)　(2)0.98　[(1)由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝8， 所以該組數(shù)據(jù)的方差是[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝. (2)＝＝0.98. 則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.98.] 　本例(2)中實際上就是用樣本的平均數(shù)估計總體平均數(shù)． 　樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖或莖葉圖交匯 　(2019·全國卷Ⅱ)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)

22、中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表． y的分組 [－0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80) 企業(yè)數(shù) 2 24 53 14 7 (1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例； (2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．(精確到0.01) 附：≈8.602. [解](1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的

23、企業(yè)頻率為＝0.21. 產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為＝0.02. 用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%. (2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30， s2＝ni(yi－)2 ＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6， s＝＝0.02×≈0.17. 所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值分別為0.30,0.17. 　求標準差時，應(yīng)先求平均數(shù)，再求方差，最后求標準差． [教師

24、備選例題] 1．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則 (　　) 甲　　　　　　　　　　　　乙 A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 C　[甲的平均數(shù)是＝6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是＝2；乙的平均數(shù)是＝6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是＝，故選C.] 2．甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9

25、 如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應(yīng)是________． 甲　[甲＝乙＝9，s＝×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝＞s，故甲更穩(wěn)定．] 　甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖所示： (1)請?zhí)顚懴卤?寫出計算過程)： 平均數(shù) 方差 命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù) 甲 乙 (2)從下列三個不同的角度對這次測試結(jié)果進行分析： ①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績更穩(wěn)定)； ②從平均

26、數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些)； ③從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看(分析誰更有潛力)． [解]　由題圖，知 甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 將它們由小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 將它們由小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10. (1)甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(環(huán))， 乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(環(huán))， s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4

27、＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2， s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2] ＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4. 填表如下： 平均數(shù) 方差 命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù) 甲 7 1.2 1 乙 7 5.4 3 (2)①∵平均數(shù)相同，s＜s， ∴甲成績比乙穩(wěn)定． ②∵平均數(shù)相同，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲比乙少， ∴乙成績比甲好些． ③∵甲成績在平均數(shù)上下波動，而乙處于上升勢頭，從第三次以后就沒有比甲少的情況發(fā)生，∴乙更有潛力． - 12 -