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1、2022年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊一 離散型隨機(jī)變量及其分布列2完整講義（學(xué)生版） 知識(shí)內(nèi)容 1． 離散型隨機(jī)變量及其分布列 ⑴離散型隨機(jī)變量 如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母表示． 如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機(jī)變量． ⑵離散型隨機(jī)變量的分布列 將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為

2、離散型隨機(jī)變量的分布列． 2．幾類典型的隨機(jī)分布 ⑴兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布． 二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點(diǎn)分布． 兩點(diǎn)分布又稱分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為時(shí)的概率為 ，為和中較

3、小的一個(gè)． 我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率，從而列出的分布列． ⑶二項(xiàng)分布 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項(xiàng)分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … …

4、… … 由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布， 記作． 二項(xiàng)分布的均值與方差： 若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時(shí)， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而

5、且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)

6、準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機(jī)變量的期望與方差 1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望）． 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平． 2．離散型隨機(jī)變量的方差 一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，，…

7、，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差． 離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量． 3．為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為． ⑵二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨(dú)立性 如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生

8、的概率沒有影響，即， 這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件，相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件． 如果事件，，…，相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì) 【例1】 袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量，則所有可能取值的個(gè)數(shù)

9、是（ ） A．5 B．9 C．10 D．25 【例2】 下列表中能成為隨機(jī)變量的分布列的是 A． －1 0 1 0．3 0．4 0．4 B． 1 2 3 0．4 0．7 －0．1 C． －1 0 1 0．3 0．4 0．3 D． 1 2 3 0．3 0．4 0．4 【例3】 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 4 0．2 0．1 0．1

10、0．3 0．3 求⑴的分布列；⑵的分布列． 【例4】 已知隨機(jī)變量的分布列為： 分別求出隨機(jī)變量的分布列． 【例5】 袋中有個(gè)大小規(guī)格相同的球，其中含有個(gè)紅球，從中任取個(gè)球，求取出的個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)的概率分布． 【例6】 某人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，能答對(duì)其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，求答對(duì)試題數(shù)的概率分布．

11、【例7】 盒中的零件有9個(gè)正品和3個(gè)次品，每次取一個(gè)零件，如果取出的次品不放回，求在取得正品前已取出的次品數(shù)的概率分布． 【例8】 有六節(jié)電池，其中有2只沒電，4只有電，每次隨機(jī)抽取一個(gè)測(cè)試，不放回，直至分清楚有電沒電為止，所要測(cè)試的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列． 【例9】 在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求： ⑴不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列； ⑵放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列． 【例10】 設(shè)隨機(jī)變量所有可能取值為，且已知概率與成正比，求的分布． 【例11】 某一隨機(jī)變量的概率分布如下

12、表，且，則的值為（ ） 　　A．　　　B．　　　　C．　　　D． 0 1 2 3 【例12】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則的值為（ ） A ．1 B． C． D． 【例13】 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，求的值 -1 0 1 【例14】 隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為，其中是常數(shù)，則的值為（ ） 　 A． B． C． D． 【例15】 一批產(chǎn)品分為一、二

13、、三級(jí)，其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍，三級(jí)品為二級(jí)品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn)，其級(jí)別為隨機(jī)變量，則（ ） A． B． C． D． 【例16】 某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10 0．02 0．04 0．06 0．09 0．28 0．29 0．22 求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)”的概率________． 【例17】 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 P 1/3 1/2 1/6 求⑴；⑵．

14、 【例18】 隨機(jī)變量的分布列，為常數(shù)，則（ ） A． B． C． D． 【例19】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為，其中為常數(shù)，則的值為（ ） A． B． C． D． 【例20】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，求的取值． 【例21】 已知為離散型隨機(jī)變量的概率分布，求的取值． 【例22】 若，，其中，則等于（ ） A． B． C． D． 【例23】 甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員輪流投籃直至

15、有人投中為止，設(shè)每次投籃甲投中的概率為，乙投中的概率為，而且每次不受其他次投籃結(jié)果的影響，甲投籃的次數(shù)為，若甲先投，則_________． 【例24】 某人的興趣小組中，有名三好生，現(xiàn)從中任意選人參加競(jìng)賽，用表示這人中三好生的人數(shù)，則________． 【例25】 設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下： … … 求常數(shù)的值． 【例26】 設(shè)隨機(jī)變量等可能的取值，如果，那么（ ） A． B． C． D．

16、 【例27】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為，則的值是（ ） A． B． C． D． 【例28】 已知隨機(jī)變量的分布列為，則 ． 【例29】 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布是，為常數(shù)，，則（ ） A． B． C． D． 離散型隨機(jī)分布列的計(jì)算 【例30】 在第路公共汽車都要依靠的一個(gè)站（假設(shè)這個(gè)站只能停靠一輛汽車），有一位乘客等候第路或第路汽車．假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可能性都是相等，則首先到站正好是這位乘客所需求的汽車的

17、概率等于 ． 【例31】 在個(gè)村莊中有個(gè)村莊交通不便，現(xiàn)從中任意選取個(gè)村莊，其中有個(gè)村莊交通不便，下列概率中等于的是（ ） A． B． C． D． 【例32】 已知隨機(jī)量服從正態(tài)分布，且，則（ ） A． B． C． D． 【例33】 某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提高通過．已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確

18、完成與否互不影響．分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列． 【例34】 一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍，黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得分，試寫出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)的分布列，并求出所得分?jǐn)?shù)不為0的概率． 【例35】 旅游公司為3個(gè)旅游團(tuán)提供4條旅游線路，每個(gè)旅游團(tuán)任選其中一條．求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的分布列． 【例36】 甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被

19、隨機(jī)地分到四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者． ⑴ 求甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率； ⑵ 求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率； ⑶ 設(shè)隨機(jī)變量為這五名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù)，求的分布列． 【例37】 某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為，，……，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖4所示． ⑴ 根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量． ⑵ 在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件，設(shè)為重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列； ⑶ 從該流水線上

20、任取件產(chǎn)品，求恰有件產(chǎn)品的重量超過克的概率． 【例38】 甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲次，記國(guó)徽面（記為正面）朝上的次數(shù)為隨機(jī)變量；乙用一枚硬幣擲次，記國(guó)徽面（記為正面）朝上的次數(shù)為隨機(jī)變量． ⑴求隨機(jī)變量與的分布列； ⑵求甲得到的正面朝上的次數(shù)不少于的概率． ⑶求甲與乙得到的正面朝上的次數(shù)之和為的概率； ⑷求甲得到的正面朝上的次數(shù)大于乙的概率． 【例39】 一袋中裝有編號(hào)為的個(gè)大小相同的球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出個(gè)球，以表示取

21、出的最大號(hào)碼． ⑴ 求的概率分布；⑵ 求的概率． 【例40】 袋中裝有黑球和白球共個(gè)，從中任取個(gè)球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用表示取球終止所需要的取球次數(shù)． ⑴ 求袋中所有的白球的個(gè)數(shù)； ⑵ 求隨機(jī)變量的概率分布； ⑶ 求甲取到白球的概率． 【例41】 一個(gè)袋中有個(gè)球，編號(hào)為，在其中同時(shí)取3個(gè)球，以表示取出的個(gè)球中的最大號(hào)碼，試求的概率分布列以及最大號(hào)碼不小于4的概率．

22、 【例42】 對(duì)于正整數(shù)，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率． ⑴求及；⑵求證：對(duì)任意正整數(shù)，有． 【例43】 某種電子玩具按下按鈕后，會(huì)出現(xiàn)紅球或綠球，已知按鈕第一次按下后，出現(xiàn)紅球與綠球的概率都是，從按鈕第二次按下起，若前次出現(xiàn)紅球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為；若前次出現(xiàn)綠球，則下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別為；記 第次按下按鈕后出現(xiàn)紅球的概率為． ⑴求的值； ⑵當(dāng)時(shí)，求用表示的表達(dá)式； ⑶求關(guān)于的表達(dá)式．