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2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第2講 直接證明與間接證明教案 理 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第2講 直接證明與間接證明教案 理 新人教版 【xx年高考會(huì)這樣考】 1.在歷年的高考中,證明方法是??純?nèi)容,考查的主要方式是對(duì)它們?cè)淼睦斫夂陀梅ǎy度多為中檔題,也有高檔題. 2.從考查形式上看,主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識(shí)為載體,考查綜合法、分析法、反證法等方法. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 在備考中,對(duì)本部分的內(nèi)容,要抓住關(guān)鍵,即分析法、綜合法、反證法,要搞清三種方法的特點(diǎn),把握三種方法在解決問(wèn)題中的一般步驟,熟悉三種方法適用于解決的問(wèn)題的類型,同時(shí)也要加強(qiáng)訓(xùn)練,達(dá)到熟能生巧,有效運(yùn)用它們的目的.  

2、 基礎(chǔ)梳理 1.直接證明 (1)綜合法 ①定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法. ②框圖表示:→→→…→ (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結(jié)論). (2)分析法 ①定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.這種證明方法叫做分析法. ②框圖表示:→→→…→ . 2.間接證明 一般地,由證明p?q轉(zhuǎn)向證明:綈q?r?…?t. t與假設(shè)矛盾,或與某個(gè)真命題矛盾.從

3、而判定綈q為假,推出q為真的方法,叫做反證法. 一個(gè)關(guān)系 綜合法與分析法的關(guān)系 分析法與綜合法相輔相成,對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題,常常先從結(jié)論進(jìn)行分析,尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系,找到解決問(wèn)題的思路,再運(yùn)用綜合法證明,或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用. 兩個(gè)防范 (1)利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)命題進(jìn)行推理,沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的. (2)用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng),再說(shuō)明所要證明的數(shù)學(xué)問(wèn)題成立. 雙基自測(cè) 1.(人教A版教材習(xí)

4、題改編)p=+,q=·(m、n、a、b、c、d均為正數(shù)),則p、q的大小為(  ). A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不確定 解析 q= ≥ =+=p,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào). 答案 B 2.設(shè)a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),則a與b大小關(guān)系為(  ). A.a(chǎn)>b B.a(chǎn)<b C.a(chǎn)=b D.a(chǎn)≤b 解析 a=lg 2+lg 5=1,b=ex,當(dāng)x<0時(shí),0<b<1. ∴a>b. 答案 A 3.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí),正確的反設(shè)為(  ). A.a(chǎn),b,c都是奇數(shù) B.a(chǎn),b,c都

5、是偶數(shù) C.a(chǎn),b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D.a(chǎn),b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 解析 ∵a,b,c恰有一個(gè)偶數(shù),即a,b,c中只有一個(gè)偶數(shù),其反面是有兩個(gè)或兩個(gè)以上偶數(shù)或沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)即全都是奇數(shù),故只有D正確. 答案 D 4.(xx·廣州調(diào)研)設(shè)a、b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是(  ). A.b-a>0 B.a(chǎn)3+b3<0 C.a(chǎn)2-b2<0 D.b+a>0 解析 ∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0. 答案 D 5.在用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí),如果原命題的否定事項(xiàng)不止一個(gè)時(shí),必須將結(jié)論的否定情

6、況逐一駁倒,才能肯定原命題的正確. 例如:在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠APB>∠APC,求證:∠BAP<∠CAP,用反證法證明時(shí)應(yīng)分:假設(shè)________和________兩類. 答案 ∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP   考向一 綜合法的應(yīng)用 【例1】?設(shè)a,b,c>0,證明:++≥a+b+c. [審題視點(diǎn)] 用綜合法證明,可考慮運(yùn)用基本不等式. 證明 ∵a,b,c>0,根據(jù)均值不等式, 有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c. 三式相加:+++a+b+c≥2(a+b+c). 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào). 即++≥a+b+c. 綜合法是一種由

7、因?qū)Ч淖C明方法,即由已知條件出發(fā),推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立.因此,綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法,這就要保證前提正確,推理合乎規(guī)律,才能保證結(jié)論的正確性. 【訓(xùn)練1】 設(shè)a,b為互不相等的正數(shù),且a+b=1,證明:+>4. 證明?。健?a+b)=2++≥2+2=4. 又a與b不相等.故+>4. 考向二 分析法的應(yīng)用 【例2】?已知m>0,a,b∈R,求證:2≤. [審題視點(diǎn)] 先去分母,合并同類項(xiàng),化成積式. 證明 ∵m>0,∴1+m>0. 所以要證原不等式成立, 只需證明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即證m

8、(a2-2ab+b2)≥0, 即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立, 故原不等式得證. 逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過(guò)反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件,正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵. 【訓(xùn)練2】 已知a,b,m都是正數(shù),且a<b. 求證:>. 證明 要證明>,由于a,b,m都是正數(shù), 只需證a(b+m)<b(a+m), 只需證am<bm, 由于m>0,所以,只需證a<b. 已知a<b,所以原不等式成立. (說(shuō)明:本題還可用作差比較法、綜合法、反證法) 考向三 反證法的應(yīng)用 【例3】?已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1). (1)證明:

9、函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù). (2)用反證法證明f(x)=0沒(méi)有負(fù)根. [審題視點(diǎn)] 第(1)問(wèn)用單調(diào)增函數(shù)的定義證明;第(2)問(wèn)假設(shè)存在x0<0后,應(yīng)推導(dǎo)出x0的范圍與x0<0矛盾即可. 證明 (1)法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,ax2-x1>1,且ax1>0. 所以ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.又因?yàn)閤1+1>0,x2+1>0,所以-==>0, 于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->0, 故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù). 法二 f′(x)=axln a+>0, ∴f(x)在(-1,

10、+∞)上為增函數(shù). (2)假設(shè)存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則ax0=-,又0<ax0<1,所以0<-<1,即<x0<2,與x0<0(x0≠-1)假設(shè)矛盾.故f(x0)=0沒(méi)有負(fù)根. 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”,“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證法來(lái)證,反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是:①與已知條件矛盾;②與假設(shè)矛盾;③與定義、公理、定理矛盾;④與事實(shí)矛盾等方面,反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具,是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器. 【訓(xùn)練3】 已知a,b為非零向量,且a,b不平行,求證:向量a+b與a-b不平行. 證明 假設(shè)向量a+b

11、與a-b平行, 即存在實(shí)數(shù)λ使a+b=λ(a-b)成立, 則(1-λ)a+(1+λ)b=0,∵a,b不平行, ∴得 所以方程組無(wú)解,故假設(shè)不成立,故原命題成立.   規(guī)范解答24——怎樣用反證法證明問(wèn)題 【問(wèn)題研究】 反證法是主要的間接證明方法,其基本特點(diǎn)是反設(shè)結(jié)論,導(dǎo)出矛盾,當(dāng)問(wèn)題從正面證明無(wú)法入手時(shí),就可以考慮使用反證法進(jìn)行證明.在高考中,對(duì)反證法的考查往往是在試題中某個(gè)重要的步驟進(jìn)行. 【解決方案】 首先反設(shè),且反設(shè)必須恰當(dāng),然后再推理、得出矛盾,最后肯定. 【示例】?(本題滿分12分)(xx·安徽)設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足

12、k1k2+2=0. (1)證明l1與l2相交; (2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上. 第(1)問(wèn)采用反證法,第(2)問(wèn)解l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程驗(yàn)證. [解答示范] 證明 (1)假設(shè)l1與l2不相交, 則l1與l2平行或重合,有k1=k2,(2分) 代入k1k2+2=0,得k+2=0.(4分) 這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾,從而k1≠k2,即l1與l2相交.(6分) (2)由方程組 解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)為(9分) 從而2x2+y2=22+2 ===1, 此即表明交點(diǎn)P(x,y)在橢圓2x2+y2=1上.(12分) 用反證法證明不等式要

13、把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理, 即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的. 【試一試】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+Sn=2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求證數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列. [嘗試解答] (1)當(dāng)n=1時(shí),a1+S1=2a1=2,則a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,兩式相減得an+1=an, 所以{an}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,所以an=. (2)反證法:假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且p,q,r∈N*), 則2·=+,所以2·2r-q=2r-p+1.① 又因?yàn)閜<q<r,所以r-q,r-p∈N*. 所以①式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立,所以假設(shè)不成立,原命題得證.

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