《2022年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)歸納法解題》教案 滬教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)歸納法解題》教案 滬教版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)歸納法解題》教案 滬教版 教學(xué)目標 1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力． 2.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟． 3.抽象思維和概括能力進一步得到提高． 教學(xué)重點與難點 重點：歸納法意義的認識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析． 難點：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解． 教學(xué)過程設(shè)計 （一）引入 師：從今天開始，我們來學(xué)習數(shù)學(xué)歸納法．什么是數(shù)學(xué)歸納法呢?應(yīng)該從認識什么是歸納法 開始． （板書課題．數(shù)學(xué)歸納法） （二）什么是歸納法（板書） 師：請看下面幾個問

2、題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點．問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦? （可準備一袋白球．問題用小黑板或投影幻燈片事先準備好） 生：把它例出來看一看就可以了． 師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做? 生：一個一個拿，拿一個看一個． 師：對．問題的結(jié)果是什么呢? （演示操作過程） 第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白 球． 問題2：在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an+1＝（n∈N+），先計算a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式．（問題由小

3、黑板或投影幻燈片給出） 生：a2＝，a3＝，a4＝．由此得到：an＝（n∈N+）． 師：同學(xué)們解決以上兩個問題用的都是歸納法，你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點 嗎? 生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法． 特點是由特殊 一般（板書）． 師：很好!其實在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法我們早就接觸到了．例如，給出數(shù)列的前四項，求它 的一個通項公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列項公式用的也是歸納法，今后的學(xué) 習還會看到歸納法的運用． 在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史 資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報，用的

4、就是歸納法． 還應(yīng)該指出，問題1和問題2運用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個球，全看了， 由此而得了結(jié)論．這種把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法．對于問題2，由于自然有無數(shù)個，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項體現(xiàn)的規(guī)律，進行推測，得出結(jié)論的，這種歸納法稱為不完全歸納法． （三）歸納法的認識（板書） 歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）． 師；用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點勇氣的，請大家鼓起勇氣研究問題3． 問題3：對于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大?。▎栴}由小黑板或投影幻燈片給 出） （給學(xué)

5、生一定的計算、思考時間） 生：經(jīng)過計算，我的結(jié)論是：對任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）． 師：你計算了幾個數(shù)得到的結(jié)論? 生：4個． 師：你算了n＝1，n＝2，n＝3，n＝4這4個數(shù)，而得到的結(jié)論，是吧? 生：對． 師：有沒有不同意見? 生：我驗了n＝8，這時有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的結(jié)論不對吧! 師：那你的結(jié)論是什么呢? （動員大家思考，糾正） 生：我的結(jié)論是： 當n＝1，2，3，4，5時，7n-3＜6（7n+9）； 當n＝6，7，8，…時，7n-3＞6（7n+9）． 師：由

6、以上的研究過程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗?zāi)? 首先要仔細地占有準確的材料，不能隨便算幾個數(shù)，就作推測．請把你們計算結(jié)果填入下表 內(nèi)： 師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測，決不是亂猜．要注意對數(shù)據(jù)作出謹慎地分析．由上表可看到，當n依1，2，3，4，…變動時，相應(yīng)的7n-3的值以后一個是前一個的7倍的速度在增加，而6（7n+9） 相應(yīng)值的增長速度還不到2倍．完全有理由確認，當n取較大值時，7n-3＞6（7n+9）會成立的． 師：對問題3推測有誤的同學(xué)完全不必過于自責，接受教訓(xùn)就可以了．其實在數(shù)學(xué)史上，一 些世界級的數(shù)學(xué)大師在運用歸納法時，也曾有過失誤． 資料1（事先準備好，由學(xué)生閱讀）

7、 費馬（Fermat）是17世紀法國著名數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立 作出貢獻最多的人之一，是概率論的的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻． 但是，費馬曾認為，當n∈N+時， +1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的． 18世紀偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了+1＝4 294 967 297＝6 700 417×641 ，從而否定了費馬的推測． 師：有的同學(xué)說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢?今天我們是無法回答的．但是要告訴同學(xué) 們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個上! 再請看數(shù)學(xué)史上的另一個資料（仍由學(xué)生閱讀）： 資料

8、2 f（n）＝n2+n+41,當n∈N+時，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)? f（0）=41,f（1）＝43,f（2）＝47,f（3）＝53,f（4）＝61, f（5）＝71,f（6）＝83,f（7）＝97,f（8）＝113,f（9）＝131, f（10）＝151，… f（39）＝1 601． 但f（40）＝1 681＝412是合數(shù)． 師：算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行!我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯 ，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運用歸納法出錯的原 因，并研究出對策來師：歸納法為什么會出錯呢? 生：完全

9、歸納法不會出錯． 師：對!但運用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢? 生：由于用不完全歸納法時，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份． 師：完全同意．那么怎么辦呢? 生：應(yīng)該予以證明． 師：大家同意吧?對于生活、生產(chǎn)中的實際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實踐的檢驗 ，因為實踐是檢驗真理的唯一標準．對于數(shù)學(xué)問題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明． （四）歸納與證明（板書） 師：怎么證明呢?請結(jié)合以下問題1思考． 生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了． 師：也可以換個角度看，12個球，一一驗看了，這一一驗看就可以看作證明．數(shù)學(xué)上稱這種 證法為窮舉

10、法．它體現(xiàn)了分類討論的思想． 師：如果這里不是12個球，而是無數(shù)個球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那 么怎么證明呢? （稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來） 師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀．第一個正式 研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科．他運用遞推的思想予以證明． 結(jié)合問題1來說，他首先確 定第一次拿出來的是白球． 然后再構(gòu)造一個命題予以證明．命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來的是白球”，結(jié)論是“下 一次拿出來的也是白球”． 這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個條件能保

11、證下一次也是白球的邏輯必然性． 大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢? 生：是．第一次拿出的是白球已確認，反復(fù)運用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第 四次、……拿出的都是白球． 師：對．它使一個原來無法作出一一驗證的命題，用一個推一個的遞推思想得到了證明． 生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎? 生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會倒下一排． 生：再例如多米諾骨牌游戲． （有條件可放一段此種游戲的錄相） 師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條： （1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；

12、 （2）第一張牌被推倒． 用這種思想設(shè)計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué) 歸納法． （五）數(shù)學(xué)歸納法（板書） 師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上推測問題而得的命題，應(yīng)該證明什么呢? 生：先證n＝1時，公式成立（第一步）； 再證明：若對某個自然數(shù)（n＝k）公式成立，則對下一個自然數(shù)（n＝k+1）公式也成立（第 二步）． 師：這兩步的證明自己會進行嗎?請先證明第一步． 生：當n＝1時，左式＝a1＝1，右式＝＝1．此時公式成立． （應(yīng)追問各步計算推理的依據(jù)） 師：再證明第二步．先明確要證明什么? 生：設(shè)n＝k時，

13、公式成立，即ak＝．以此為條件來證明n＝k+1時，公式也成立，即ak+1＝也成立．師：應(yīng)注意，這里是證明遞推關(guān)系成立，證明ak+1＝成立時，必須用到ak＝這個條件 生：依已知條件，ak+1＝． 師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學(xué)歸納法進行的證明的基本要求． 師：請小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟． 生：共兩步（學(xué)生說，教師板書）： （1）n＝1時，命題成立； （2）設(shè)n＝k時命題成立，則當n＝k+1時，命題也成立． 師：其實第一步一般來說，是證明開頭者命題成立．例如，對于問題3推測得的命題：當n＝6，7，8，…時，7n-3＞6（7n+9

14、）．第一步應(yīng)證明n＝6時，不等式成立． （若有時間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時間可布置學(xué)生課下思考） （六）小結(jié) 師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下： （1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法． （2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種． （3）由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸 納法進行． （4）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必 須是二步． 數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學(xué)習． （七）課外作業(yè) （1）閱讀

15、課本 （2）書面作業(yè)課堂教學(xué)設(shè)計說明 1.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認為不能把教學(xué)過程當作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢?于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n＝k時命題成立呢?教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設(shè)想強化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使

16、學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機． 數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的 認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞 推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結(jié)束． 把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)帶來指導(dǎo)意義 ，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試．

17、2.在教學(xué)方法上，這里運用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強 學(xué)生對教學(xué)過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引 導(dǎo)和點撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當?shù)膯栴}，并提出思維要求， 讓學(xué)生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分 明的分解，并選擇適當?shù)膯栴}，把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用 已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計也想在這方面作些研究． 3.理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n＝k+1命題成立時必須用到n ＝k時命題成立這個條件． 例如用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n∈N+）時，其中第二步采用下 面證法： 設(shè)n＝k時，等式成立，即，則當n＝k+1時， ， 即n＝k+1時等式也成立． 這是不正確的．因為遞推思想要求的不是n＝k，n＝k+1時命題到底成立不成立，而是n＝k時命題成立作為條件能否保證n＝k+1時命題成立這個結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應(yīng)改為 以下理解不僅是正確認識數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第二步證明過程的設(shè)計指明了正確的思維 方向．