《2021高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù) 第10節(jié) 實際問題的函數(shù)建模教學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù) 第10節(jié) 實際問題的函數(shù)建模教學案 文 北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第十節(jié)　實際問題的函數(shù)建模 [最新考綱]　1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用． (對應學生用書第35頁) 1．常見的幾種函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函數(shù)模型：y＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)． (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)． (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)． (5

2、)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 2．三種函數(shù)模型之間增長速度的比較 　　函數(shù) 性質　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增減性 遞增 遞增 遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 因n而異 圖像的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax 3.解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字) (1)審題：

3、弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型； (2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； (3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論； (4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題． 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型： (1)該函數(shù)在(－∞，－]和[，＋∞)內單調遞增，在[－，0)和(0，]上單調遞減． (2)當x＞0時，x＝時取最小值2， 當x＜0時，x＝－時取最大值－2. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝2x與函數(shù)y＝x2的圖像有且只有兩個公共點． (

4、　　) (2)冪函數(shù)增長比直線增長更快． (　　) (3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0. (　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是(　　) (注：結余＝收入－支出) A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1 B．結余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同 D．前6個月的平均收入為40萬

5、元 D　[由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3∶1，故A正確；由題圖可知，7月份的結余最高，為80－20＝60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(萬元)，故D錯誤．] 2．在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 則對x，y最適合的擬合函數(shù)是(　　) A．y＝2x　　 B．y＝x2－1 C．y

6、＝2x－2 D．y＝log2 x D　[根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意，故選D.] 3．生產一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業(yè)一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產該商品數(shù)量為________萬件． 18　[利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當x＝18時，L(x)有最大值．] 4．用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形

7、的面積最大，則隔墻的長度為________． 3　[設隔墻的長度為x(0＜x＜6)，矩形面積為y，則y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18， ∴當x＝3時，y最大．] (對應學生用書第36頁) ⊙考點1　用函數(shù)圖像刻畫變化過程 　判斷函數(shù)圖像與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法 (1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖像． (2)驗證法：當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結合圖像的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案． 　1.(2019·遵義模擬)如圖

8、，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4 m和a m(0＜a＜12)．不考慮樹的粗細，現(xiàn)用16 m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD，設此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖像大致是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[設AD的長為x m，則CD的長為(16－x)m，則矩形ABCD的面積為x(16－x)m2.因為要將點P圍在矩形ABCD內，所以a≤x≤12.當0＜a≤8時，當且僅當x＝8時，u＝64；當8＜a＜12時，u＝a(16－a)．畫出函數(shù)圖像可得其形狀與B選項接近，故選B.] 2

9、．有一個盛水的容器，由懸在它的上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時間t與水面高度y之間的關系如圖所示．若圖中PQ為一線段，則與之對應的容器的形狀是(　　) A　　　 　B　　　　C　　　　 D B　[由函數(shù)圖像可判斷出該容器必定有不同規(guī)則的形狀，且函數(shù)圖像的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細．再由PQ為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，選B.] 3．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是(　　) A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛

10、5千米 B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多 C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油 D．某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油 D　[根據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對．] 　準

11、確掌握常見函數(shù)模型圖像的變化趨勢是解決此類問題的關鍵． ⊙考點2　應用所給函數(shù)模型解決實際問題 　求解所給函數(shù)模型解決實際問題的三個關注點 (1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)． (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)． (3)利用該模型求解實際問題． 　小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本為W(x)萬元，在年產量不足8萬件時，W(x)＝x2＋x(萬元)．在年產量不小于8萬件時，W(x)＝6x＋－38(萬元)．每件產品售價為5元．通過市場分析，小王生產的商品能當年全

12、部售完． (1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本) (2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？ [解](1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元， 依題意得，當0＜x＜8時， L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3； 當x≥8時，L(x)＝5x－－3＝35－. 所以L(x)＝ (2)當0＜x＜8時，L(x)＝－(x－6)2＋9. 此時，當x＝6時， L(x)取得最大值L(6)＝9萬元， 當x≥8時，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，此時

13、，當且僅當x＝，即x＝10時，L(x)取得最大值15萬元． 因為9＜15，所以當年產量為10萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元． 　解決實際問題時，應注意自變量的取值范圍，如本例中x∈(0，＋∞)． 　一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內還有一半的沙子，則再經過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一． 16　[當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即y＝ae－b

14、 t＝a，e－b t＝＝(e－8 b)3＝e－24b，則t＝24，所以再經過16 min.] ⊙考點3　構建函數(shù)模型解決實際問題 　構建函數(shù)模型解決實際問題的步驟 　構造二次函數(shù)、分段函數(shù)模型 　國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止．每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15 000元． (1)寫出飛機票的價格關于人數(shù)的函數(shù)； (2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？ [解](1)設每團人數(shù)為x，由題意得0＜x≤75(x∈N*)，飛機

15、票價格為y元， 則y＝ 即y＝ (2)設旅行社獲利S元， 則S＝ 即S＝ 因為S＝900x－15 000在區(qū)間(0,30]上為增函數(shù)，故當x＝30時，S取最大值12 000. 又S＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30,75]，所以當x＝60時，S取得最大值21 000. 故當x＝60時，旅行社可獲得最大利潤． 　解題過程——謹防兩種失誤 (1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調性等解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯． (2)求分段函數(shù)的最值時，應先求出每一段上的最值，然后比較大小得解． 　構造y＝x＋(a＞0)模型 　某養(yǎng)殖場需定期購買

16、飼料，已知該養(yǎng)殖場每天需要飼料200千克，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元．求該養(yǎng)殖場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少． [解]　設該養(yǎng)殖場x(x∈N*)天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y元． 因為飼料的保管費與其他費用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天飼料的保管費與其他費用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)． 從而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥2＋357＝417， 當且僅當＝3x，即x＝10時，y有最小值．故該養(yǎng)殖

17、場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少． 　利用模型f(x)＝ax＋求解最值時，要注意自變量的取值范圍及取得最值時等號成立的條件． 　構建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型 (1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　) A．1.5%　　 B．1.6% C．1.7% D．1.8% (2)十三屆全國人大一次會議《政府工作報告》指出：過去五年來，我國經濟實力躍上新臺階．國內生產總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經濟比重從11.4%提高到15%左右，對世界經濟增長貢獻率超

18、過30%,2018年發(fā)展的預期目標是國內生產總值增長6.5%左右．如果從2018年開始，以后每年的國內生產總值都按6.5%的增長率增長，那么2020年的國內生產總值約為(提示：1.0653≈1.208)(　　) A．93.8萬億元 B．99.9萬億元 C．97萬億元 D．106.39萬億元 (1)C　(2)B　[(1)設每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故選C. (2)由題意可知，2020年我國國內年生產總值約

19、為：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(萬億元)．故選B.] (1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型有關的實際問題，在求解時，要先學會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長速度越來越快的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型． (2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖像求解最值問題，必要時可借助導數(shù)． 　1.某化工廠生產一種溶液，按市場要求雜質含量不超過0.1%，若初時含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少，至少應過濾________次才能達到市場要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477

20、1) 8　[設至少過濾n次才能達到市場要求， 則2%≤0.1%，即≤， 所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.] 2．某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)

21、試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？ [解](1)當x≤6時，y＝50x－115， 令50x－115＞0，解得x＞2.3， ∵x為整數(shù)，∴3≤x≤6，x∈Z. 當x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，結合x為整數(shù)得6＜x≤20，x∈Z. ∴y＝ (2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)， 顯然當x＝6時，ymax＝185； 對于y＝－3x2＋68x－115＝－3＋(6＜x≤20，x∈Z)，當x＝11時，ymax＝270. ∵270＞185，∴當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多． - 8 -