24、3x＋4＜0；
(2)－3x2－2x＋8≤0；
(3)12x2－ax＞a2(a∈R)．
解析： (1)由Δ＝9－16＝－7＜0，故不等式的解集為?.
(2)原不等式等價于3x2＋2x－8≥0?(x＋2)(3x－4)≥0?x≤－2或x≥，
故不等式的解集為 .
(3)原不等式可化為12x2－ax－a2＞0?(4x＋a)(3x－a)＞0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0得x1＝－，x2＝.
①a＞0時，－＜，此時不等式等價于x＜－或x＞.
②a＝0時，不等式等價于x2＞0?x≠0.
③a＜0時，－＞，此時不等式等價于x＜或x＞－.
綜上所述，當a＞0時，不等式的解集為；
當
25、a＝0時，不等式的解集為{x|x≠0}；
當a＜0時，不等式的解集為 .
解下列不等式：
(1)8x－1≤16x2；
(2)ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a>0)．
解析： (1)原不等式轉化為16x2－8x＋1≥0，
即(4x－1)2≥0，∴x∈R，
故原不等式的解集為R.
(2)原不等式可化為(ax－1)(x－2)<0.
因a>0，原不等式可以化為a(x－2)<0，
根據不等式的性質知這個不等式等價于(x－2)·<0，
方程(x－2)＝0的兩個根是2，.
當0時，<2，不等式的解集是 .
26、
綜上所述，當0時，不等式的解集為 .
1.解一元二次不等式的一般步驟：
(1)對不等式變形，使一端為0且二次項系數大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
(2)計算相應的判別式；
(3)當Δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根；
(4)根據對應二次函數的圖象，寫出不等式的解集．
2．解含參數的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏．
一元二次不等式恒成立問題
設函數f(x)＝mx2－mx－1(m≠
27、0)．
(1)若對于一切實數x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范圍；
(2)若對于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．
解析： (1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，
由m≠0，得?－4＜m＜0.
所以－4＜m<0.
(2)要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即
m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下兩種方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
當m＞0時，g(x)在[1,3]上是增函數，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，
所以m＜，則0＜m＜；
當m＜0時，g(x)在[1,3]上是減函數，
所以
28、g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.
綜上所述，m的取值范圍是 .
法二：因為x2－x＋1＝2＋＞0，
又因為m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因為函數y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m＜即可．
因為m≠0，
所以，m的取值范圍是 .
1．(xx·河南鄭州調研)若不等式x2＋ax＋1≥0對一切x∈都成立，求a的最小值．
解析： 法一：由于x＞0，則由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，而當x∈時，max＝－，∴a≥－，故a的最小值為－.
法二：設f(x)＝x2＋ax＋1，則其對稱軸為x＝－.
(1)若－≥，即a≤－1時，f(x)在上
29、單調遞減，此時應有f≥0，從而－≤a≤－1.
(2)若－＜0，即a＞0時，f(x)在上單調遞增，此時應有f(0)＝1＞0恒成立，故a＞0.
(3)若0≤－＜，即－1＜a≤0時，則應有f＝－＋1＝1－≥0恒成立，故－1＜a≤0.
綜上可知a≥－，故a的最小值為－.
2.求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范圍．
解析： 將原不等式整理為形式上是關于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因為f(a)>0在|a|≤1時恒成立，所以
(1)若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，應舍去．
(2)若x≠
30、3，則由一次函數的單調性，可得即解得x<2或x>4.
故x的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)．
3．(xx·廣東湛江檢測)設奇函數f(x)在[－1,1]上是單調函數，且f(－1)＝－1.若函數f(x)≤t2－2at＋1對所有的x∈[－1,1]都成立，則當a∈[－1,1]時，求t的取值范圍．
解析： ∵f(x)為奇函數，f(－1)＝－1，
∴f(1)＝－f(－1)＝1.
又∵f(x)在[－1,1]上是單調函數，
∴－1≤f(x)≤1，
∴當a∈[－1,1]時，t2－2at＋1≥1恒成立，
即t2－2at≥0恒成立．
令g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]，
∴
31、解得t≥2或t＝0或t≤－2.
t的取值范圍為t≥2或t＝0或t≤－2.
恒成立問題及二次不等式恒成立的條件
(1)解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數．一般地，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰就是參數．
(2)對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應的二次函數的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．
一元二次不等式的應用
某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產產品x(百臺)，其總成本為G(x)萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產100臺的生產成本為1萬元(總成本＝固定
32、成本＋生產成本)，銷售收入R(x)滿足
R(x)＝
假定該產品產銷平衡，那么根據上述統(tǒng)計規(guī)律：
(1)要使工廠有盈利，產品數量x應控制在什么范圍？
(2)工廠生產多少臺產品時盈利最大？此時每臺產品的售價為多少？
解析： 依題意得G(x)＝x＋2，設利潤函數為f(x)，則f(x)＝R(x)－G(x)，
所以f(x)＝
(1)要使工廠有盈利，則有f(x)＞0，因為
f(x)＞0?或
?或5＜x＜8.2?或5＜x＜8.2
?1＜x≤5或5＜x＜8.2?1＜x＜8.2.
所以要使工廠盈利，產品數量應控制在大于100臺小于820臺的范圍內．
(2)0≤x≤5時，f(x)＝－0.4
33、(x－4)2＋3.6，
故當x＝4時，f(x)有最大值3.6.
而當x＞5時，f(x)＜8.2－5＝3.2，
所以當工廠生產400臺產品時，盈利最大，
又x＝4時，＝2.4(萬元/百臺)
＝240(元/臺)．
故此時每臺產品的售價為240元．
某同學要把自己的計算機接入因特網．現有兩家ISP公司可供選擇．公司A每小時收費1.5元；公司B在用戶每次上網的第1小時內收費1.7元，第2小時內收費1.6元，以后每小時減少0.1元(若用戶一次上網時間超過17小時，按17小時計算)．假設該同學一次上網時間總和小于17小時，那么該同學如何選擇ISP公司較省錢？
解析： 假設一次上網x小時
34、，則公司A收取的費用為1.5x元，
公司B收取的費用為元．
若能夠保證選擇A比選擇B費用少，則
＞1.5x(0＜x＜17)，
整理得x2－5x＜0，解得0＜x＜5，
所以當一次上網時間在5小時以內時，選擇公司A的費用少；超過5小時，選擇公司B的費用少；上網5小時，公司A、B的費用一樣．
求解不等式應用題的四個步驟
(1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系．
(2)引進數學符號，將文字信息轉化為符號語言，用不等式表示不等關系，建立相應的數學模型．
(3)解不等式，得出數學結論，要注意數學模型中自變量的實際意義．
(4)回歸實際問題，將數學結論還原為實際問題
35、的結果．
A級 基礎訓練
1．(xx·廣東惠州模擬)不等式≥0的解集為( )
A．[－2,1] B．(－2,1]
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
解析： ≥0??－2＜x≤1.
答案： B
2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，那么a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
解析： 由題意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數的關系可知，a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.
答
36、案： A
3．下列選項中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析： 由x＜＜x2可得即解得綜合知x＜－1.
答案： A
4．如果關于x的不等式5x2－a≤0的所有正整數解是1,2,3,4，那么實數a的取值范圍是( )
A．[80,125) B．(80,125)
C．(－∞，80) D．(125，＋∞)
解析： 由5x2－a≤0，得－≤x≤ ，而5x2－a≤0的所有正整數解是1,2,3,4，
∴4≤ ＜5，∴80≤a＜125.
答案： A
5．(xx·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知一
37、元二次不等式f(x)≤0的解集為，則f(ex)＞0的解集為( )
A．{x|x＜－ln 2或x＞ln 3} B．{x|ln 2＜x＜ln 3}
C．{x|x＜ln 3} D．{x|－ln 2＜x＜ln 3}
解析： 由題意可知一元二次不等式所對應的二次函數的圖象開口向下，故f(x)＞0的解集為，
又∵f(ex)＞0，∴＜ex＜3，解得－ln 2＜x＜ln 3.
答案： D
6．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________．
解析： 不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2.
答案： {x|0＜x＜2}
7．(xx
38、·重慶萬州考前模擬)若關于x的不等式ax＞b的解集為，則關于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集為____________．
解析： 由已知ax＞b的解集為，可知a＜0，且＝，將不等式ax2＋bx－a＞0兩邊同除以a，得x2＋x－＜0，所以x2＋x－＜0，即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜，故原不等式的解集為.
答案：
8．若關于x的不等式ax2－x＋2a＜0的解集為?，則實數a的取值范圍是________．
解析： 依題意可知，問題等價于ax2－x＋2a≥0恒成立，
當a＝0時，－x≥0不恒成立，故a＝0舍去；
當a≠0時，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，
即f(x)＝ax
39、2－x＋2a的圖象不在x軸的下方，
∴即
解得a≥，即a的取值范圍是.
答案：
9．已知二次函數y＝x2＋px＋q，當y＜0時，有－＜x＜，解不等式qx2＋px＋1＞0.
解析： 因為當y＜0時，有－＜x＜，所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個實數根．
由根與系數的關系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0?－x2＋x＋1＞0?x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．
10．已知函數f(x)＝的定義域為R.
(1)求a的取值范圍；
(2)若函數f(x)的最小值為，解關于x的不等式x2－x－a2－a＜0
40、.
解析： (1)∵函數f(x)＝的定義域為R，
∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
當a＝0時，1≥0恒成立，
當a≠0時，則有
∴0＜a≤1.
綜上可知，a的取值范圍是[0,1]．
(2)∵f(x)＝
＝，
∵a＞0，
∴當x＝－1時，f(x)min＝，
由題意得，＝，
∴a＝，
∴不等式x2－x－a2－a＜0可化為x2－x－＜0，
解得－＜x＜，
所以不等式的解集為.
B級 能力提升
1．對一切正整數n，不等式＞恒成立，則實數x的取值范圍是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
41、
解析： 由條件知只需＞max，而＝＜1.∵≥1，解得x∈(－∞，0)∪[1，＋∞)．
答案： D
2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是________．
解析： 原不等式即(x－a)(x－1)≤0，當a＜1時，不等式的解集為[a,1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；當a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；當a＞1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，即1＜a≤3.
綜上可得－4≤a≤3.
答案： [－4,3]
3．一個服裝廠生產風衣，月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關系為p＝160－2x，生產x件的成
42、本R＝500＋30x(元)．
(1)該廠月產量多大時，月利潤不少于1 300元？
(2)當月產量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
解析： (1)由題意知，月利潤y＝px－R，
即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500.
由月利潤不少于1 300元，得－2x2＋130x－500≥1 300.
即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.
故該廠月產量在20～45件時，月利潤不少于1 300元．
(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－22＋，
由題意知，x為正整數．
故當x＝32或33時，y最大為1 612.
所以當
43、月產量為32或33件時，可獲最大利潤，最大利潤為1 612元．
4．設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c，函數F(x)＝f(x)－x的兩個零點為m，n(m＜n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比較f(x)與m的大?。?
解析： (1)由題意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，
當m＝－1，n＝2時，不等式F(x)＞0，
即a(x＋1)(x－2)＞0.
那么當a＞0時，不等式F(x)＞0的解集為{x|x＜－1或x＞2}；
當a＜0時，不等式F(x)＞0的解集為{x|－1＜x＜2}．
(2)f(x)－
44、m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.
∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.
第三節(jié) 二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題
1．會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．
2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組．
3．會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.
1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
不等式
表示區(qū)域
Ax＋By＋C＞0
直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區(qū)域
不包括邊界直線
Ax＋By
45、＋C≥0
包括邊界直線
不等式組
各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分
2.二元一次不等式(組)的解集
滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構成的有序數對(x，y)，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數對(x，y)構成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集．
3．線性規(guī)劃的有關概念
名稱
意義
約束條件
由變量x，y組成的不等式(組)
線性約束條件
由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)
目標函數
關于x，y的函數解析式，如z＝x＋2y
線性目標函數
關于x，y的一次解析式
可行解
滿足線性約束條件的解(x，y)
可行域
所有可行解組成
46、的集合
最優(yōu)解
使目標函數取得最大值或最小值的可行解
線性規(guī)劃問題
在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題
1．確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法
確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域，常采用“直線定界，測試點定域”的方法．
(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線．
(2)特殊點定域，由于對在直線Ax＋By＋C＝0同側的點，實數Ax＋By＋C的值的符號都相同，故為確定Ax＋By＋C的值的符號，可采用特殊點法，如取原點、(0,1)、(1,0)等點．
2．求二元一次函數z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法
將函
47、數z＝ax＋by轉化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．
(1)當b＞0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；
(2)當b＜0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值．
1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域．( )
(3)線性目標函數的最優(yōu)解可能是不唯一的．( )
(4)線性目標函數取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上．( )
(5
48、)目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．下面給出的四個點中，位于表示的平面區(qū)域內的點是( )
A．(0,2) B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(2,0)
解析： 將四個點的坐標分別代入不等式組滿足條件的是(0，－2)．
答案： C
3．(xx·湖北卷)若變量x，y滿足約束條件則2x＋y的最大值是( )
A．2 B．4
C．7 D．8
解析： 畫出x，y的約束條件限定的可行域為如圖陰影區(qū)域，令u＝2x＋y，則y＝－2x＋u，先畫出直線y
49、＝－2x，再平移直線y＝－2x，當經過點A(3,1)時，代入u，可得最大值為7，故選C．
答案： C
4．已知實數x，y滿足則此不等式組表示的平面區(qū)域的面積是________．
解析： 作出可行域為如圖所示的三角形，
∴S△＝×1×1＝.
答案：
5．若x，y滿足約束條件，則z＝x－y的最大值是________．
解析： 作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，當直線z＝x－y過點A(1,1)時，目標函數z＝x－y取得最大值0.
答案： 0
二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
1．若關于x，y的不等式組所表示的區(qū)域為三角形，則實數a的取值范圍是(
50、)
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(－1,1) D．(1，＋∞)
解析： y＝ax為過原點的直線，當a≥0時，若能構成三角形，則需0≤a＜1；當a＜0時，若能構成三角形，則需－1＜a＜0，綜上a∈(－1,1)．
答案： C
2．(xx·安徽卷)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為________．
解析： 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4.
答案： 4
1.作平面區(qū)域時要“直線定界，測試點定域”，當不等式無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線，若直線不過原點，測試點常選取原點．
2．求平面區(qū)域的面積，要先確
51、定區(qū)域，若是規(guī)則圖形可直接求，若不規(guī)則可通過分割求解．
求線性目標函數的最值
(1)(xx·遼寧卷)已知x，y滿足約束條件則目標函數z＝3x＋4y的最大值為________．
(2)(xx·湖南卷)若變量x，y滿足約束條件且z＝2x＋y的最小值為－6，則k＝________.
解析： (1)畫出x，y滿足約束條件的可行域如圖陰影部分．
由得
∴點A的坐標為(2,3)．作直線l0：3x＋4y＝0，可知當平移l0到l(l過點A)時，目標函數有最大值，此時zmax＝3×2＋4×3＝18.
(2)由題意知
當z＝2x＋y過(k，k)時z＝2x＋y有最小值，將(k，k)代入z＝2
52、x＋y，∴3k＝－6，∴k＝－2.
答案： (1)18 (2)－2
1．(xx·全國卷Ⅱ)設x，y滿足約束條件則z＝2x－y的最大值為( )
A．10 B．8
C．3 D．2
解析： 作出可行域如圖中陰影部分所示，
由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直線y＝2x，平移使之經過可行域，觀察可知，當直線經過點A(5,2)時，對應的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.
答案： B
2．(xx·北京卷)若x，y滿足且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，則k的值為( )
A．2 B．－2
C． D．－
解析： 作出可行域，如圖中陰影部分所示，當k>0時，z＝y(tǒng)－x無最小
53、值，所以k<0，當k＝－2時可行域內為點(0,2)，不合題意．∴k＝－，故選D．
答案： D
3．(xx·浙江卷)若實數x，y滿足則x＋y的取值范圍是________．
解析： 畫出約束條件所確定的可行域(如圖中陰影部分所示)．
令z＝x＋y，則y＝－x＋z，畫出直線l：y＝－x，平移直線l，當l經過可行域中的點A(1,0)時，z取最小值，且zmin＝1＋0＝1；當l經過可行域中的點B(2,1)時，z取最大值，且zmax＝2＋1＝3，故x＋y的取值范圍是[1,3]．
答案： [1,3]
4．若x，y滿足條件當且僅當x＝y(tǒng)＝3時，z＝ax－y取得最小值，則實數a的取值范圍
54、是________．
解析： 畫出可行域，如圖中陰影部分所示，直線3x－5y＋6＝0與2x＋3y－15＝0交于點M(3,3)，由目標函數z＝ax－y，得y＝ax－z，其縱截距為－z，當z最小時，－z最大．依題意，有－＜a＜.
答案：
5．(xx·課標全國卷Ⅰ)不等式組的解集記為D，有下面四個命題：
p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命題是( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p1，p4 D．p1，p3
解析： 畫出可行域如
55、圖陰影部分所示．作直線l0：y＝－x，平移l0，當直線經過A(2，－1)時，x＋2y取最小值，此時(x＋2y)min＝0.故p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2為真，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2為真．故選B．
答案： B
6．(xx·浙江卷)當實數x，y滿足時，1≤ax＋y≤4恒成立，則實數a的取值范圍是________．
解析： 畫可行域如圖所示，設目標函數z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，則a＞0，數形結合知，滿足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范圍是1≤a≤.
答案：
線性目標函數最值問題的解題策略
(1)求線性目標函數的最值．線性目
56、標函數的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數求出相應的數值，從而確定目標函數的最值．
(2)由目標函數的最值求參數．求解線性規(guī)劃中含參數問題的基本方法有兩種：一是把參數當成常數用，根據線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數確定最值，通過構造方程或不等式求解參數的值或取值范圍；二是先分離含有參數的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數．
求非線性目標函數的最值
(1)(xx·福建卷)已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x
57、軸相切，則a2＋b2的最大值為( )
A．5 B．29
B．37 D．49
(2)實數x，y滿足不等式組求z＝的取值范圍．
解析： (1)平面區(qū)域Ω，如圖中陰影部分所示，
∵圓C與x軸相切，∴b＝1，
把y＝1分別代入x－y＋3＝0和x＋y－7＝0，
得x＝－2和x＝6，∴－2≤a≤6，
∴(a2)max＝36，∴(a2＋b2)max＝36＋1＝37，故選C．
(2)作出不等式組表示的可行域，如圖中的陰影部分．z＝＝，所以z的幾何意義是動點(x，y)與定點A(－1,1)所連直線的斜率．結合圖可知，z的最小值為直線l1的斜率，z的最大值無限接近于直線l2的斜率值．
58、l1的斜率k1＝kAB，l2與直線x－y＝0平行．
由得點B的坐標為(1,0)，k1＝－.
∴z∈.
答案： (1)C
變量x，y滿足
(1)設z＝，求z的最小值；
(2)設z＝x2＋y2，求z的取值范圍．
解析： 由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示．
由
解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)∵z＝＝，
∴z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率．
觀察圖形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方．
結合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，
dmin＝|OC|＝，dmax
59、＝|OB|＝.
∴2≤z≤29.
常見代數式的幾何意義有
(1)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；
(2)表示點(x，y)與點(a，b)之間的距離；
(3)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；
(4)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．
實際生活中的線性規(guī)劃問題
(xx·北京豐臺第一學期期末練習)小明準備用積攢的300元零用錢買一些科普書和文具，作為禮品送給山區(qū)的學生．已知科普書每本6元，文具每套10元，并且買的文具的數量不少于科普書的數量．那么最多可以買的科普書與文具的總數是________．
解析： 設買科普書x本與文具y套，總數為z＝x＋y，由題意
60、可得作出可行域如圖中陰影部分，將z＝x＋y轉化為y＝－x＋z，作出直線y＝－x并平移，使之經過可行域，易知經過點A時，縱截距最大，但因x，y均屬于正整數，故取得最大值時的最優(yōu)解應為(18,19)，此時z最大為37.
答案： 37
某企業(yè)生產甲、乙兩種產品．已知生產每噸甲產品要用A原料3噸、B原料2噸；生產每噸乙產品要用A原料1噸、B原料3噸．銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元．該企業(yè)在一個生產周期內消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是( )
A．12萬元 B．20萬元
C．25萬元 D．27萬元
解析： 設生產
61、甲產品x噸，生產乙產品y噸，該企業(yè)獲得的利潤為z萬元，則由題目可獲得如下信息：
A原料
B原料
甲產品x噸
3x
2x
乙產品y噸
y
3y
所以目標函數為z＝5x＋3y，作出可行域后如圖所示：
由得A(3,4)，
當直線z＝5x＋3y過點A(3,4)時，z取到最大值，故zmax＝15＋12＝27，故選D．
答案： D
線性規(guī)劃應用題的求解應注意
(1)明確問題中的所有約束條件，并根據題意判斷約束條件中是否能夠取到等號．
(2)注意結合實際問題的實際意義，判斷所設未知數x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數、非負數等．
(3)正確地寫出目標函數
62、，一般地，目標函數是等式的形式．
A級 基礎訓練
1．已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為( )
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析： 根據題意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0.即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
答案： B
2．直線2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有( )
A．0個 B．1個
C．2個 D．無數個
解析： 直線2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的位置關系如圖所示
63、，故直線與此區(qū)域的公共點有1個．
答案： B
3．(xx·廣東卷)若變量x，y滿足約束條件且z＝2x＋y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：
作出可行域(如圖中陰影部分所示)后，結合目標函數可知，當直線y＝－2x＋z經過點A時，z的值最大，由?，則m＝zmax＝2×2－1＝3.當直線y＝－2x＋z經過點B時，z的值最小，由?，由n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6.
答案： B
4．已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定，若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(，1)，則z＝·的最大值為
64、( )
A．4 B．3
C．4 D．3
解析： z＝·＝x＋y，目標函數的可行域如圖所示，z取最大值的最優(yōu)解為(，2)，所以zmax＝×＋2＝4.
答案： C
5．(xx·安徽卷)x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數a的值為( )
A．或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析： 畫出x，y約束條件限定的可行域，如圖陰影區(qū)域所示，由z＝y(tǒng)－ax得y＝ax＋z.
當直線y＝ax與直線2x－y＋2＝0或直線x＋y－2＝0平行時，符合題意，則a＝2或－1.
答案： D
6．不等式組表示的區(qū)域為D，z＝x＋y是定義在D上的目標
65、函數，則區(qū)域D的面積為______；z的最大值為________．
解析： 圖象的三個頂點分別為(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面積為.因為目標函數的最值在頂點處取得，把它們分別代入z＝x＋y，得x＝2，y＝3時，有zmax＝5.
答案： 5
7．(xx·遼寧省五校聯(lián)考)已知z＝2x＋y，x，y滿足，且z的最大值是最小值的4倍，則m的值是________．
解析： 根據題中所給的約束條件所得的可行域如圖．根據y＝－2x＋z可知z的幾何含義為直線在y軸上的截距，顯然y＝－2x＋z在點(1,1)和(m，m)處直線的截距分別取得最大值3和最小值3m，故3＝4·3m，解得m
66、＝.
答案：
8．(xx·廣東十二校第二次聯(lián)考)已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動點，點A(，0)，則z＝||的最大值為________．
解析： 根據線性規(guī)劃的知識，畫出可行域如圖所示．
因為z的最大值即為可行域內的點到點A的距離的最大值，該點應為可行域中的點B(2,0)，所以
zmax＝＝.
答案：
9．已知關于x，y的二元一次不等式組求函數z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
解析： 作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．
由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率為－，在y軸上的截距為z－1，隨z變化的一組平行線，
由圖可知，當直線經過可行域上的A點時，截距z－1最小，即z最小，
解方程組得A(－2，－3)，
∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
當直線與直線x＋2y＝4重合時，截距z－1最大，
即z最大，∴zmax＝4＋2＝6.
∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.
10．(xx·陜西卷)在直角坐標系xOy中，已知點A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點P(x
2022年高考數學大一輪復習 第六章 不等式、推理與證明同步練習 文
