25、t＝m＋，log2t＝log2m＋1，t＝2m，則t＝m＋＝2m，解得m＝.又n＝log2m＋2,2n－2＝m,2n＝4m，所以m·2n＝4m2＝4×()2＝12.
12．函數(shù)f(x)＝cos πx與函數(shù)g(x)＝|log2|x－1||的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：選B 將兩個(gè)函數(shù)的圖象同時(shí)向左平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x＋1)＝cos π(x＋1)＝cos(πx＋π)＝－cos πx，y＝g(x＋1)＝|log2|x||的圖象，則此時(shí)兩個(gè)新函數(shù)均為偶函數(shù)．在同一坐標(biāo)系下分別作出函
26、數(shù)y＝f(x＋1)＝－cos πx 和y＝g(x＋1)＝|log2|x||的圖象如圖，可知有四個(gè)交點(diǎn)，兩兩關(guān)于y軸對(duì)稱，所以此時(shí)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0，所以函數(shù)f(x)＝cos πx與函數(shù)g(x)＝|log2|x－1||的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.
二、填空題
13．已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則滿足f(2x－1)，解得x<，或x>，所以x的取值范圍為∪
27、.
答案：∪
14．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋3x－8的零點(diǎn)x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，則a＋b＝________.
解析：由于函數(shù)f(x)＝ln x＋3x－8，故函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又a，b∈N*，f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0.f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且b－a＝1，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，∴a＋b＝5.
答案：5
15．已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，有如下結(jié)論：
①?x∈(－1,1)，f(－x)＝f(x)；②?x∈(－1,1)，f(－x)＝－f(x)；③?x∈(－1,1)
28、，f(x)為增函數(shù)；④若 f(a)＝ln 2，則a＝.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
解析：f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝ln 1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，①錯(cuò)誤，②正確；f(x)＝ln＝ln－1＋，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)為增函數(shù)，③正確；∵f(a)＝ln＝ln 2，∴＝2，∴a＝，④正確．
答案：②③④
16．已知f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋1)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，給出下列命題：
①f(2 013)＋f(－2
29、014)的值為0；
②函數(shù)f(x)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)；
③直線y＝x與函數(shù)f(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；
④函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)．
其中正確的命題序號(hào)有________．
解析：結(jié)合函數(shù)圖象逐個(gè)判斷．當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，x－1∈[0,1)，f(x)＝－f(x－1)＝－log2x，且x≥0時(shí)，f(x)＝f(x＋2)，又f(x)是R上的偶函數(shù)，作出函數(shù)f(x)的部分圖象如圖，由圖可知，②錯(cuò)誤，③④都正確；f(2 013)＝f(1)＝－f(0)＝0，f(2 014)＝f(0)＝0，所以f(2 013)＋f(－2 014)＝0，①正確，故正確的命題序號(hào)是①③④.
答
30、案：①③④
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用
[記概念公式]
1．求導(dǎo)公式
(1)(sin x)′＝cos x；
(2)(cos x)′＝－sin x；
(3)(ln x)′＝；(logax)′＝；
(4)(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a.
2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
(1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．
(2)[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
(3)′＝(v(x)≠0)．
3．導(dǎo)數(shù)與極值
函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右負(fù)”?f(x)在x0處取極大值；函數(shù)f(x
31、)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左負(fù)右正”?f(x)在x0處取極小值．
[覽規(guī)律技巧]
“切點(diǎn)”的應(yīng)用規(guī)律
(1)若題目中沒(méi)有給出“切點(diǎn)”，就必須先設(shè)出切點(diǎn)．
(2)切點(diǎn)的三種情況：切點(diǎn)在切線上；切點(diǎn)在曲線上；切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率．
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)的值等于( )
A．2 B．－2 C. D．－
解析：選D ∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，∴f′(x)＝2x＋3f
32、′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.
2．已知函數(shù)f(x)＝2－2ln x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是( )
A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋y－2＝0 D．y＝0
解析：選B 函數(shù)f(x)＝2－2ln x，f(1)＝0，f′(x)＝2－.曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝2.從而曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1)) 處的切線方程為y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
3．若曲線f(x)＝x3＋x2＋mx的所有切線中，只有一
33、條與直線x＋y－3＝0垂直，則實(shí)數(shù)m的值等于( )
A．0 B．2 C．0或2 D．3
解析：選B f′(x)＝x2＋2x＋m，直線x＋y－3＝0的斜率為－1，由題意知關(guān)于x的方程x2＋2x＋m＝1，即(x＋1)2＝2－m有且僅有一解，所以m＝2.
4.dx＝( )
A．2ln 3＋4 B．2ln 3 C．4 D．ln 3
解析：選A dx＝[2ln(x＋1)＋x2]＝2ln 3＋4.
5．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝a(x＋b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x) 的
34、圖象可能是( )
解析：選D 由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，排除A，B.當(dāng)00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，因此，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值，排除C.
6．函數(shù)f(x)＝(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：選B 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝＝.由于a>0，要使f′(x)>0，只需(1－x)(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)．
7．函數(shù)f(x)的圖
35、象如圖所示，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排列正確的是( )
A．0>f′(2)>0.
8．已知a≥0，函數(shù)f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是( )
A. B.
C
36、. D.
解析：選C f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由題意當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立，
即解得a≥.
9．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且對(duì)任意x∈R都有f′(x)<，則不等式f(x2)>的解集為( )
A．(1,2) B．(0,1) C．(－1,1) D．(1，＋∞)
解析：選C 令g(x)＝f(x)－(x＋1)，∴g′(x)＝f′(x)－<0，故g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)
37、遞減且g(1)＝0.令g(x)>0，則x<1，f(x2)>?f(x2)－>0?g(x2)>0?x2<1?－10，得到a<－3.
11．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－2(a≠0)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則( )
38、A．當(dāng)a<0時(shí)，x1＋x2<0，x1x2>0
B．當(dāng)a<0時(shí)，x1＋x2>0，x1x2<0
C．當(dāng)a>0時(shí)，x1＋x2<0，x1x2>0
D．當(dāng)a>0時(shí)，x1＋x2>0，x1x2<0
解析：選B 由于函數(shù)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，因此必有一個(gè)零點(diǎn)是重零點(diǎn)，則令f(x)＝a(x－x1)(x－x2)2＝ax3－a(x1＋2x2)x2＋ax2(2x1＋x2)x－ax1x，
則ax1x＝2 ①，
ax2(2x1＋x2)＝0?、冢?
當(dāng)a<0時(shí)，由①式得，x1<0且x2≠0，
由②式得，2x1＋x2＝0，x2＝－2x1.
因此，x1＋x2＝－x1>0，x1x2＝－2x<0.
當(dāng)a>0時(shí)，
39、由①式得，x1>0且x2≠0，
由②式得，2x1＋x2＝0，x2＝－2x1.
因此，x1＋x2＝－x1<0，x1x2＝－2x<0.只有B項(xiàng)符合．
12．我們常用以下方法求形如函數(shù)y＝f(x)g(x)(f(x)>0)的導(dǎo)數(shù)：先兩邊同取自然對(duì)數(shù)ln y＝g(x)ln f(x)，再兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到·y′＝g′(x)ln f(x)＋g(x)··f′(x)，于是得到y(tǒng)′＝f(x)g(x)g′(x)ln f(x)＋g(x)··f′(x)，運(yùn)用此方法求得函數(shù)y＝x(x>0)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(e,4) B．(3,6) C．(0，e)
40、 D．(2,3)
解析：選C 由題意知f(x)＝x，g(x)＝，則f′(x)＝1，g′(x)＝－，所以y′＝x＝x·，由y′＝x·>0得1－ln x>0，解得0
41、答案：－
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝a(a>0)與拋物線y＝x2所圍成的封閉圖形的面積為，則a＝________.
解析：根據(jù)定積分的應(yīng)用可知所求面積為2∫0(a－x2)dx＝20＝，即＝，解得a＝2.
答案：2
15．已知向量a＝，b＝(1，t)，若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間(－1,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：f(x)＝ex＋－tx，x∈(－1,1)，f′(x)＝ex＋x－t，∵函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間(－1,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴f′(x)＝ex＋x－t>0在區(qū)間(－1,1)上有解，即t
42、解，而在區(qū)間(－1,1)上ex＋x0，原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)2kπ＋π
43、)取得極大值，此時(shí)f(2kπ＋π)＝e2kπ＋π[sin(2kπ＋π)－cos(2kπ＋π)]＝e2kπ＋π(k∈Z)，又∵0≤x≤2 015π，∴0和2 015π都不是極值點(diǎn)，∴函數(shù)f(x)的各極大值之和為eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2 011π＋e2 013π＝＝.
答案：
三角函數(shù)與解三角形
[記概念公式]
1．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式(k∈Z)的本質(zhì)
奇變偶不變(對(duì)k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù))，符號(hào)看象限(看原函數(shù)，同時(shí)把α看成是銳角)．
2．兩角和與差的三角函數(shù)公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αc
44、os β?sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
3．二倍角公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，cos2α＝，sin2α＝；
(3)tan 2α＝.
4．正弦定理及其變形
在△ABC中，＝＝＝2R(其中R是外接圓的半徑)；
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
5．余弦定理及其變形
a2＝b2＋c2－2bccos A；cos A＝.
6．三角形的面積公式
S＝absin C＝acsin B＝bc
45、sin A.
[覽規(guī)律技巧]
1．三角函數(shù)的兩種常見(jiàn)變換
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
2．整體法：求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間、周期、值域、對(duì)稱軸(中心)時(shí)，將ωx＋φ看作一個(gè)整體，利用正弦曲線的性質(zhì)解決．
3．換元法：在求三角函數(shù)的值域時(shí)，有時(shí)將sin x(或cos x)看作一個(gè)整體，換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解決．
4．公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為
46、，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為.
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1．已知函數(shù)f(x)＝tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝所得的線段長(zhǎng)為，則f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
解析：選A 由題意知T＝，由T＝＝，得ω＝4，∴f(x)＝tan 4x，∴f＝tan π＝0.
2．已知cos＋sin α＝，則sin的值是( )
A. B．－ C. D．－
解析：選A cos＋sin α＝cos αcos＋sin α·sin＋sin α
47、＝sin α＋cos α＝sin＝，所以sin＝.
3．sin 25°、cos 24°、tan 61°的大小關(guān)系正確的是( )
A．cos 24°
48、則m＝( )
A. B. C. D.
解析：選A 因?yàn)閒(x)＝sin x－cos x＝sinx－，所以將其圖象向右平移m(00,0<φ<一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的五個(gè)點(diǎn)，如圖所示，A－，0，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱
49、，在x軸上的投影為，則( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析：選A 由題知，T＝4×＝π，所以ω＝2.因?yàn)锳在曲線上，所以sin＝0，又0<φ<，所以φ＝.
6．已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是( )
A. B.
C. D．(0,2]
解析：選A 由題意可知≥2，則ω≤2.因?yàn)棣豿＋∈?，k∈Z，所以ω＋≥＋2kπ，πω＋≤＋2kπ，k∈Z，故＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z.即ω∈.
7．在△A
50、BC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則AB邊上的高等于( )
A. B. C. D．2
解析：選C 設(shè)AB＝c，由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，得7＝c2＋4－2×c×2×cos 60°，c2－2c－3＝0，得c＝3，因此×2×3×sin 60°＝×3×hAB(hAB為AB邊上的高)，所以hAB＝.
8．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，則△ABC的面積為( )
A. B. C.
51、 D．3
解析：選C ∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.又a＝，cos A＝＝，∴c＝2，b＝4.∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.
9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，其中A＝150°，b＝2，且△ABC的面積為1，則＝( )
A．4(＋) B．4(－)
C．2(＋) D．2(－)
解析：選C 因?yàn)椤鰽BC的面積S＝bcsin A＝1，A＝150°，b＝2，所以c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝8
52、＋4，解得a＝＋.設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則有＝2R，得2R＝2(＋)，所以＝2R＝2(＋)．
10．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤對(duì)x∈R恒成立，且ff
C．f(x)是奇函數(shù)
D．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)
解析：選D 由f(x)≤恒成立知x＝是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z.又f0，所以φ＝，f(x)＝sin.由－＋2kπ≤2x
53、＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)．
11．若sin α＝1－tan 10°sin α，則銳角α的值為( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
解析：選B 原式可變形為sin α(1＋tan 10°)＝1，可得sin α(1＋tan 10°)＝2sin α·＝2sin α·＝＝1，所以sin α＝sin 50°.又因?yàn)棣翞殇J角，所以α＝50°.
12．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1(x∈R)，若在△ABC中，內(nèi)角A，
54、B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝，A為銳角，且f＝，則△ABC面積的最大值為( )
A. B.
C. D.
解析：選A f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＝sin，f＝?sin2A＋＝?cos 2A＝，∴2cos2A－1＝，cos A＝，sin A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝3≥2bc－bc，∴bc≤，∴S△ABC＝bcsin A≤××＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝時(shí)等號(hào)成立，故△ABC面積的最大值為.
二、填空題
13．已知角α的
55、終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角α的最小正值為_(kāi)_______．
解析：由題知，tan α＝＝＝－，且sin>0，cos<0，所以α是第四象限角，因此α的最小正值為.
答案：
14．函數(shù)y＝2sin的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______．
解析：由y＝2sin，得y＝－2sin，
由＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為＋3kπ，＋3kπ，k∈Z.
答案：，k∈Z
15．對(duì)于函數(shù)f(x)＝給出下列四個(gè)結(jié)論：
①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②當(dāng)且僅當(dāng)x＝π＋kπ(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)取得最小值－1；
③該函數(shù)的圖象關(guān)于x＝＋2kπ
56、(k∈Z)對(duì)稱；
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ
57、得塔頂A的仰角為30°，則塔高為_(kāi)_______米．
解析：如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝h.
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，OD2＝OC2＋CD2－2OC×CD×cos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，所以h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．
答案：10
平面向量
[記概念公式]
1．兩非零向量平行、垂直的充要條件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1
58、＝0；
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
2．兩非零向量的數(shù)量積
若非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2.
3．利用向量的數(shù)量積求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題
(1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝.
[覽規(guī)律技巧]
1．三點(diǎn)共線的判定
三個(gè)點(diǎn)A，B，C共線?共線；向量中三終點(diǎn)A，B，C共線?存在實(shí)數(shù)α，β，使得＝，且α＋β＝1.
2．平面向量夾角大小的判定方法
若a·b>0?a與b的夾角θ為銳角或零角；
若a·b<0?a與b的夾角θ為鈍角或平角
59、；
若a·b＝0?a與b的夾角為90°(a≠0，b≠0)．
3．三角形兩心的向量形式
設(shè)O為△ABC所在平面上的一點(diǎn)．
(1)O是三條中線的交點(diǎn)?O是△ABC的重心?
(2)O是三條高線的交點(diǎn)?O是△ABC的垂心?
[練經(jīng)典考題]
一、選擇題
1．若向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3，則b＝( )
A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：選A 設(shè)b＝(x，y)，由已知條件得解得或(舍去)，∴b＝(－3,6)．
2．已知A，B，C是半徑為2的圓O上三點(diǎn)，若＝(＋)，則 的值為( )
A．0
60、 B．1 C．2 D．4
解析：選A 由題易知點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓O的直徑，故在△ABC中，角A為直角，即AC與AB的夾角為90°，∴＝0.
3．在△ABC中，且a·b＝b·c＝c·a，則△ABC的形狀是( )
A．等腰非等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
解析：選D ∵a·b＝b·c＝c·a，∴a·b－b·c＝0，∴b·(a－c)＝0，∴(a－c)⊥b.又a－c＝過(guò)CA的中點(diǎn)，∴BC＝BA，同理，BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形．
61、
A．－ B．－ C. D.
5．如圖，將45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜邊與30°直角三角板的30°角所對(duì)的直角邊重合．若則x，y的值分別為( )
A.，1 B．1＋，
C．2， D.，1＋
解析：選B 設(shè)AD＝DC＝1，則AC＝，AB＝2，BC＝.在△BCD中，由余弦定理得DB2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos(45°＋90°)＝7＋2.以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則D(0,0)，A(1，0)
62、，C(0,1)，B(y，x)，＝(y，x－1)，＝(y，x)，∴6＝(x－1)2＋y2，x2＋y2＝7＋2，∴x＝1＋，y＝.
6．如圖，△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，CD與BE交于F，設(shè)則m＋n＝( )
A．1 B. C. D.
解析：選C 設(shè)∵E，D分別為AC，AB的中點(diǎn)，＝－a＋b，＝(b－a)＋λ＝a＋(1－λ)b，∵共線，∴＝，∴λ＝，∴＝b＋CD―→＝b＋＝a＋b，故m＝，n＝，m＋n＝.
7．若G是△ABC的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若則角A＝( )
A．90°
63、 B．60° C．45° D．30°
( )
A．－6 B．－2 C．2 D．6
9．在△ABC中，若對(duì)任意的m∈R，恒成立，則△ABC的形狀為( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
10．設(shè)平面向量a，b，c的模均等于2，且a·b＝0，則(a－c)·(b－c)的最小值為( )
A．4 B．4－4
C．－4 D．4－4
解析：選D (a－c)·(
64、b－c)＝c2－c·(a＋b)≥4－|c|·|a＋b|＝4－2＝4－4，∴(a－c)·(b－c)的最小值為4－4.
11．已知A，B是圓O：x2＋y2＝1上的兩個(gè)點(diǎn)，P是AB線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，則－的最大值是( )
A．－1 B．0 C. D.
解析：選C S△AOB＝r2sin∠AOB，當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)面積取得最大值，即由于點(diǎn)P在線段AB上，故設(shè)則－＝＝－2x2＋x＝－2×2＋(0≤x≤1)(*)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)(*)式取得最大值.
12.已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a
65、＋λb(λ∈R)，向量d如圖所示，則存在λ>0，使得〈c，d〉＝( )
A. B.
C. D．π
解析：選A 因?yàn)閍＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，所以c＝(1，λ)，由圖象可知d＝(4,3)，所以cos〈c，d〉＝>0，排除C，D項(xiàng)；當(dāng)＝，即11λ2＋96λ＋39＝0時(shí)，此方程無(wú)正根，所以無(wú)解，排除B項(xiàng)；當(dāng)＝，即39λ2－96λ＋11＝0時(shí)，此方程有兩正根．
二、填空題
13．已知點(diǎn)A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,4)，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)_______．
解析：由A(－1，
66、－1)，B(3,1)，C(1,4)，得＝(－2,3)，＝(－4，－2)，向量在向量方向上的投影為||cos〈，〉＝＝＝.
答案：
答案：1
15．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，O為△ABC的外心，P為劣弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，且 (x，y∈R)，則x＋y的最大值為_(kāi)_______．
解析：∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，x＝1，y＝0，x＋y＝1；當(dāng)P在A，C之間時(shí)，得x>0，y>0，將兩邊平方得x2＋y2－xy＝1，(x＋y)2－1＝3xy≤32＝(x＋y)2，即(x＋y)2≤4，x＋y≤2，故(x＋y)max＝2.
答案：2
16．定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y＝f(x)的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，M(x，y)是f(x)圖象上任意一點(diǎn)，其中x＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，向量若不等式≤k恒成立，則稱函數(shù)f(x)在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y＝x＋在[1,2]上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：由題意知a＝1，b＝2，所以A(1,2)，B.所以直線AB的方程為y＝(x＋3)．因?yàn)閤M＝λa＋(1－λ)b＝λ
2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題一 選擇、填空題對(duì)點(diǎn)練教案 理 新人教A版
