2021高考數(shù)學一輪復(fù)習 第1章 集合與常用邏輯用語 第1節(jié) 集合教學案 理 北師大版
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1、第1章 集合與常用邏輯用語 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 說明:“Ⅰ1”指全國卷Ⅰ第1題,“Ⅱ1”指全國卷Ⅱ第1題,“Ⅲ1”指全國卷Ⅲ第1題. 1.考查形式 本章在高考中一般考查1或2個小題,主要以選擇題為主,很少以填空題的形式出現(xiàn). 2.考查內(nèi)容 從考查內(nèi)容來看,集合主要有三方面考查:一是集合中元素的特性;二是集合間的關(guān)系;三是集合的運算,包含集合的交、并、補集運算;常用邏輯用語主要從四個方面考查:分別為命題及其關(guān)系、充分必要條件的判斷、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”以及全稱量詞與存在量詞. 3.備考策略 (1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律 ①集合的交、并、
2、補集運算問題; ②充分條件、必要條件的判斷問題; ③含有“且”“或”“非”的命題的真假性的判斷問題; ④含有一個量詞的命題的否定問題. (2)重視數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用. 第一節(jié) 集合 [最新考綱] 1.了解集合的含義,體會元素與集合的屬于關(guān)系;能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;在具體情境中,了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集.(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集.(3)能使用Venn圖表達
3、集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算. 1.集合與元素 (1)集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性. (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號∈和?表示. (3)集合的三種表示方法:列舉法、描述法、Venn圖法. (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*(或N+) Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 關(guān)系 自然語言 符號語言 Venn圖 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,則x∈B) A?B或(B?A) 真子集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一個元素不在集
4、合A中 AB或BA 集合 相等 集合A,B中的元素相同或集合A,B互為子集 A=B 3.集合的基本運算 運算 自然語言 符號語言 Venn圖 交集 由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合 A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合 A∪B={x|x∈A或x∈B} 補集 由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合 ?UA={x|x∈U且x?A} 1.集合子集的個數(shù) 對于有限集合A,其元素個數(shù)為n,則集合A的子集個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n-1,非空真子集個數(shù)為2n-2. 2.集合
5、的運算性質(zhì) (1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. (2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. (3)補集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?; ?U(?UA)=A;?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);?U(A∪B)=(?UA)∩ (?UB). 一、思考辨析(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)任何一個集合都至少有兩個子集.( ) (2){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}.( ) (3)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.( ) (4)直線
6、y=x+3與y=-2x+6的交點組成的集合是{1,4}.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改編 1.若集合A={x∈N|x≤2},a=,則下列結(jié)論正確的是( ) A.{a}?A B.a(chǎn)?A C.{a}∈A D.a(chǎn)?A D [由題意知A={0,1,2},由a=,知a?A.] 2.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},則集合M∪N的子集的個數(shù)為________. 64 [∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, ∴M∪N={0,1,2,3,4,5}, ∴M∪N的子集有26=64個.] 3.已知U={α|
7、0°<α<180°},A={x|x是銳角},B={x|x是鈍角},則?U(A∪B)=________. [答案] {x|x是直角} 4.方程組的解集為________. [由得 故方程組的解集為.] 5.已知集合A={x|x2-x-6<0},集合B={x|x-1<0},則A∩B=________,A∪B=________. (-2,1) (-∞,3) [∵A={x|-2<x<3},B={x|x-1<0}={x|x<1}, ∴A∩B={x|-2<x<1},A∪B={x|x<3}.] 考點1 集合的概念 與集合中的元素有關(guān)的問題的求解思路 (1)確定集合的元素是什么,
8、即集合是數(shù)集還是點集. (2)看清元素的限制條件. (3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù). 1.(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個數(shù)為( ) A.9 B.8 C.5 D.4 A [由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的個數(shù)為CC=9,故選A.] 2.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為________. - [由題意得m+2=3或2m2+m=3, 則m=1或m=-. 當m=1
9、時,m+2=3且2m2+m=3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意; 當m=-時,m+2=,而2m2+m=3,符合題意, 故m=-.] 3.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一個元素,則a=________. 0或 [當a=0時,顯然成立;當a≠0時,Δ=(-3)2-8a=0,即a=.] 4.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},則a2 020+b2 020=________. 1 [由已知得a≠0,則=0, 所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去,因此a=-1,故a2 020+b2 020=(-1)2 020
10、+02 020=1.] (1)求解此類問題時,要特別注意集合中元素的互異性,如T2,T4.(2)常用分類討論的思想方法求解集合問題,如T3. 考點2 集合的基本關(guān)系 判斷兩集合關(guān)系的方法 (1)列舉法:用列舉法表示集合,再從元素中尋求關(guān)系. (2)化簡集合法:用描述法表示的集合,若代表元素的表達式比較復(fù)雜,往往需化簡表達式,再尋求兩個集合的關(guān)系. (1)(2019·沈陽模擬)已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},則( ) A.AB B.BA C.A?B D.B=A (2)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<
11、5,x∈N},則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,則實數(shù)m的取值范圍為________. (1)B (2)D (3)(-∞,3] [(1)由題意知A={x|y=,x∈R}, 所以A={x|-1≤x≤1}. 所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}, 所以BA,故選B. (2)因為A={1,2},B={1,2,3,4},A?C?B,則集合C可以為:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4個. (3)因為B?A,
12、 所以①若B=?,則2m-1<m+1,此時m<2. ②若B≠?,則解得2≤m≤3. 由①②可得,符合題意的實數(shù)m的取值范圍為(-∞,3].] [母題探究] 1.(變問法)本例(3)中,若BA,求m的取值范圍. [解] 因為BA, ①若B=?,成立,此時m<2. ②若B≠?,則且邊界點不能同時取得,解得2≤m≤3. 綜合①②,m的取值范圍為(-∞,3]. 2.(變問法)本例(3)中,若A?B,求m的取值范圍. [解] 若A?B,則即所以m的取值范圍為?. 3.(變條件)若將本例(3)中的集合A改為A={x|x<-2或x>5},試求m的取值范圍. [解] 因為B?A,
13、 所以①當B=?時,2m-1<m+1,即m<2,符合題意. ②當B≠?時,或 解得或即m>4. 綜上可知,實數(shù)m的取值范圍為(-∞,2)∪(4,+∞). (1)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系,常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題. (2)空集是任何集合的子集,當題目條件中有B?A時,應(yīng)分B=?和B≠?兩種情況討論. 1.設(shè)M為非空的數(shù)集,M?{1,2,3},且M中至少含有一個奇數(shù)元素,則這樣的集合M共有( ) A.6個 B.5個 C.4個 D.3個 A [由題意知,M={1},{3},{
14、1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共6個.] 2.若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且B?A,則實數(shù)m的取值范圍為________. [-2,2) [①若B=?,則Δ=m2-4<0, 解得-2<m<2,符合題意; ②若1∈B,則12+m+1=0, 解得m=-2,此時B={1},符合題意; ③若2∈B,則22+2m+1=0, 解得m=-,此時B=,不合題意. 綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為[-2,2).] 考點3 集合的基本運算 集合運算三步驟 集合的運算 (1)(2019·全國卷Ⅰ)已知集合M={
15、x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},則M∩N=( ) A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2} C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3} (2)(2019·浙江高考)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},則(?UA)∩B=( ) A.{-1} B.{0,1} C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3} (3)設(shè)集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},則A∪B等于( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞) (1)C (2)A (3
16、)C [(1)∵N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},M={x|-4<x<2}, ∴M∩N={x|-2<x<2},故選C. (2)∵?UA={-1,3},∴(?UA)∩B={-1},故選A. (3)∵A={y|y>0},B={x|-1<x<1}, ∴A∪B=(-1,+∞),故選C.] [逆向問題] 已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(?UB)∩A={9},則A=( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} D [法一:(直接法)因為A∩B={3},所以3∈A,又(?UB)∩A={9},所以9
17、∈A.若5∈A,則5?B(否則5∈A∩B),從而5∈?UB,則(?UB)∩A={5,9},與題中條件矛盾,故5?A.同理,1?A,7?A,故A={3,9}. 法二:(Venn圖)如圖所示. ] 集合運算的常用方法 (1)若集合中的元素是離散的,常用Venn圖求解. (2)若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù),則用數(shù)軸表示,此時要注意端點的情況. 利用集合的運算求參數(shù) (1)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},則a的值為( ) A.0 B.1 C.2 D.4 (2)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},
18、若A∩B=B,則實數(shù)a的取值范圍是( ) A.a(chǎn)<1 B.a(chǎn)≤1 C.a(chǎn)>2 D.a(chǎn)≥2 (1)D (2)D [(1)根據(jù)并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故只能是a=4. (2)B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}, 又A∩B=B,故B?A. 又A={x|x<a},結(jié)合數(shù)軸,可知a≥2.] 利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法 (1)若集合中的元素能一一列舉,則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,再列方程(組)求解.如T(1). (2)與不等式有關(guān)的集合,一般利用數(shù)軸解決,要注意端點值能否取到,如T(2). 提醒:在求出參數(shù)后,
19、注意結(jié)果的驗證(滿足互異性). [教師備選例題] 1.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個數(shù)為( ) A.77 B.49 C.45 D.30 C [如圖,集合A表示如圖所示的所有圓點“”,集合B表示如圖所示的所有圓點“”+所有圓點“”,集合A⊕B顯然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四個點{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整點
20、(即橫坐標與縱坐標都為整數(shù)的點),則集合A⊕B表示如圖所示的所有圓點“”+所有圓點“”+所有圓點“”,共45個.故A⊕B中元素的個數(shù)為45.故選C. ] 2.設(shè)集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0},若A∩B中恰含有一個整數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( ) A. B. C. D.(1,+∞) B [A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2ax-1,因為函數(shù)f(x)=x2-2ax-1圖像的對稱軸為直線x=a(a>0),f(0)=-1<0,根據(jù)對稱性可知若A∩B中恰有一個整數(shù),則這個整數(shù)為2, 所以有即所
21、以 即≤a<.故選B.] 1.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},則A∩B=( ) A.(-∞,1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞) A [由題意得A={x|x<2或x>3},B={x|x<1}, ∴A∩B={x|x<1}.] 2.(2019·洛陽模擬)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|-2≤x≤2},則如圖所示陰影部分所表示的集合為( ) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤2或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤2} D [依題意得A={x|x<-1或x>4},因此?RA={x|-1≤x≤4},題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B={x|-1≤x≤2},故選D.] 3.已知A={1,2,3,4},B={a+1,2a}.若A∩B={4},則a=________. 3 [因為A∩B={4},所以a+1=4或2a=4.若a+1=4,則a=3,此時B={4,6},符合題意;若2a=4,則a=2,此時B={3,4},不符合題意.綜上,a=3.] 9
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