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1、2022年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)講解 函數(shù)值域及求法教案 舊人教版 函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會(huì)用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題. ●難點(diǎn)磁場(chǎng) (★★★★★)設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+). (1)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M. (2)當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值. (3)求證：對(duì)每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1. ●案例探究 ［例1］設(shè)計(jì)一幅宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840 cm2,畫(huà)面的寬

2、與高的比為λ(λ<1),畫(huà)面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最?。咳绻螃恕剩郏?，那么λ為何值時(shí)，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最?。? 命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問(wèn)題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬★★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí). 錯(cuò)解分析：證明S(λ)在區(qū)間［］上的單調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決. 技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決. 解：設(shè)畫(huà)面高為x cm,寬為λ

3、x cm,則λx2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即λ=<1)時(shí)S取得最小值.此時(shí)高：x==88 cm,寬：λx=×88=55 cm. 如果λ∈［］可設(shè)≤λ1<λ2≤,則由S的表達(dá)式得： 又≥,故8－>0, ∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內(nèi)單調(diào)遞增. 從而對(duì)于λ∈［］,當(dāng)λ=時(shí)，S(λ)取得最小值. 答：畫(huà)面高為88 cm,寬為55 cm時(shí)，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［］,當(dāng)λ=時(shí)，所用紙張面積最小. ［例2］已知函數(shù)f(

4、x)=,x∈［1,+∞ (1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值. (2)若對(duì)任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力，屬★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：本題主要通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類(lèi)討論的思想. 錯(cuò)解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決. 技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類(lèi)討論思想解得. (1)解：當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x++2 ∵f(x)在區(qū)間［1，+

5、∞上為增函數(shù)， ∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)=. (2)解法一：在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立. 設(shè)y=x2+2x+a,x∈［1,+∞ ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增， ∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3. 解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞ 當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正； 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)min=3+a, 當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3. ●錦

6、囊妙計(jì) 本難點(diǎn)所涉及的問(wèn)題及解決的方法主要有： (1)求函數(shù)的值域 此類(lèi)問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域. (2)函數(shù)的綜合性題目 此類(lèi)問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目. 此類(lèi)問(wèn)題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力.在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng). (3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問(wèn)題 此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決.此類(lèi)題要求考生具有較強(qiáng)的分

7、析能力和數(shù)學(xué)建模能力. ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)函數(shù)y=x2+ (x≤－)的值域是( ) A.(－∞,－ B.［－,+∞ C.［,+∞ D.(－∞,－］ 2.(★★★★)函數(shù)y=x+的值域是( ) A.(－∞,1 B.(－∞,－1 C.R D.［1,+∞ 二、填空題 3.(★★★★★)一批貨物隨17列貨車(chē)從A市以V千米/小時(shí)勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長(zhǎng)400千米，為了安全，兩列貨車(chē)間距離不得小于()2千米 ，那么這批物資全部運(yùn)到B市，最快需要_________小時(shí)(不計(jì)貨車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)). 4

8、.(★★★★★)設(shè)x1、x2為方程4x2－4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m=_________時(shí)，x12+x22有最小值_________. 三、解答題 5.(★★★★★)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為500臺(tái)，銷(xiāo)售的收入函數(shù)為R(x)=5x－x2(萬(wàn)元)(0≤x≤5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺(tái)) (1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)； (2)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大？ (3)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？ 6.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］

9、 (1)若f(x)的定義域?yàn)?－∞,+∞)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若f(x)的值域?yàn)?－∞,+∞),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 7.(★★★★★)某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周(按120個(gè)工時(shí)計(jì)算)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái).已知生產(chǎn)家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表： 家電名稱(chēng) 空調(diào)器 彩電 冰箱 工時(shí) 產(chǎn)值(千元) 4 3 2 問(wèn)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(以千元為單位) 8.(★★★★)在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB所在直線為軸將△

10、ABC旋轉(zhuǎn)一周生成兩個(gè)圓錐，設(shè)這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之積為S1，△ABC的內(nèi)切圓面積為S2，記=x. (1)求函數(shù)f(x)=的解析式并求f(x)的定義域. (2)求函數(shù)f(x)的最小值. 參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) (1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+］, 當(dāng)m∈M時(shí)，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)镽. 反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M.

11、(2)解析：設(shè)u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函數(shù)，∴當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小.而u=(x－2m)2+m+,顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+,此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值. (3)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，m+=(m－1)+ +1≥3,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立. ∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：∵m1=x2在(－∞,－）上是減函數(shù)，m2=在(－∞,－）上是減函數(shù)， ∴y=x2+在x∈(－∞,－)上為減函數(shù), ∴y=x2+ (x≤－)的值域?yàn)椋郏?∞. 答案：B 2.解析：令=t(t≥0),則x=. ∵y=+t=－

12、 (t－1)2+1≤1 ∴值域?yàn)?－∞,1. 答案：A 二、3.解析：t=+16×()2/V=+≥2=8. 答案：8 4.解析：由韋達(dá)定理知：x1+x2=m,x1x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－=(m－)2－,又x1,x2為實(shí)根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－)2－在區(qū)間(－∞,1）上是減函數(shù)，在［2，+∞上是增函數(shù)又拋物線y開(kāi)口向上且以m=為對(duì)稱(chēng)軸.故m=1時(shí)， ymin=. 答案：－1 三、5.解：(1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差，由題意，當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x>5時(shí)，只能銷(xiāo)

13、售500臺(tái)，所以 y= (2）在0≤x≤5時(shí)，y=－x2+4.75x－0.5,當(dāng)x=－=4.75(百臺(tái)）時(shí)，ymax=10.78125(萬(wàn)元），當(dāng)x>5(百臺(tái)）時(shí)，y＜12－0.25×5=10.75(萬(wàn)元）， 所以當(dāng)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大. (3）要使企業(yè)不虧本，即要求 解得5≥x≥4.75－≈0.1(百臺(tái)）或5＜x＜48(百臺(tái)）時(shí)，即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺(tái)到4800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本. 6.解：(1）依題意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0對(duì)一切x∈R恒成立，當(dāng)a2－1≠0時(shí)，其充要條件是， ∴a＜－1或a>.又a=－1時(shí)，f(x)=0滿足題意，a=1時(shí)不合題意.故a≤

14、－1或a>為所求. (2）依題意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域?yàn)镽，故有,解得1＜a≤,又當(dāng)a2－1=0即a=1時(shí)，t=2x+1符合題意而a=－1時(shí)不合題意，∴1≤a≤為所求. 7.解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，由題意得： x+y+z=360 ① ②x>0,y>0,z≥60. ③ 假定每周總產(chǎn)值為S千元，則S=4x+3y+2z,在限制條件①②③之下，為求目標(biāo)函數(shù)S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x.

15、 ④ 將④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤ ∵z≥60,∴x≥30. ⑥ 再將④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2·2x,即S=－x+1080.由條件⑥及上式知，當(dāng)x=30時(shí)，產(chǎn)值S最大，最大值為S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分別代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60. ∴每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)器30臺(tái)，彩電270臺(tái)，冰箱60臺(tái)，才能使產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值為1050千元. 8.解：(1）如圖所示：設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,則斜邊AB上的高h(yuǎn)=, ∴S1=πah+πbh=, ∴f(x)= ① 又 代入①消c，得f(x)=. 在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,則 x==sinA+cosA=sin(A+).∴1＜x≤. (2)f(x)= +6,設(shè)t=x－1,則t∈(0, －1),y=2(t+)+6在(0，－1上是減函數(shù)，∴當(dāng)x=(－1)+1=時(shí)，f(x)的最小值為6+8.