《2021高考數(shù)學一輪復習 第3章 導數(shù)及其應用 經典微課堂 突破疑難點列1 函數(shù)與導數(shù)教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 第3章 導數(shù)及其應用 經典微課堂 突破疑難點列1 函數(shù)與導數(shù)教學案 理 北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、突破疑難點列1 函數(shù)與導數(shù) 突破疑難點1　構造函數(shù)證明不等式 構造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關的不等式時，根據(jù)所要證明的不等式，構造與之相關的函數(shù)，利用函數(shù)單調性、極值、最值加以證明．常見的構造方法有：(1)直接構造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進而構造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮，二是利用常見的放縮結論，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)構造“形似”函數(shù)：稍作變形再構造，對原不

2、等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)，把不等式轉化為左、右兩邊是相同結構的式子的形式，根據(jù)“相同結構”構造輔助函數(shù)；(4)構造雙函數(shù)：若直接構造函數(shù)求導難以判斷符號，導函數(shù)零點也不易求得，因此函數(shù)單調性與極值點都不易獲得，則可構造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解． 方法 高考示例 思維過程 直接構造法 (2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x＋aln x． (1)討論f(x)的單調性； (2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，證明： ＜a－2. …… (2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a＞2.由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1

3、＝0(函數(shù)在極值點處的導數(shù)為0)，所以x1x2＝1. 不妨設x1＜x2，則x2＞1(注意原函數(shù)的定義域)． 由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以＜a－2等價于－x2＋2ln x2＜0.【關鍵1：將所證不等式進行變形與化簡】 設函數(shù)g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)單調遞減，【關鍵2：直接構造函數(shù)，判斷函數(shù)單調性】 又g(1)＝0，從而當x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0，所以－x2＋2ln x2＜0，即＜a－2.【關鍵3：結合單調性得到函數(shù)最值，證明不等式】 放縮構造法 (2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－ln x－1. (1)設x＝2

4、是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區(qū)間； (2)證明：當a≥時，f(x)≥0. …… (2)證明：當a≥時，f(x)≥－ln x－1.【關鍵1：利用不等式性質放縮，將a代換掉】 設g(x)＝－ln x－1，【關鍵2：利用不等式右邊構造函數(shù)】 則g′(x)＝－.當0＜x＜1時，g′(x)＜0；當x＞1時，g′(x)＞0.所以x＝1是g(x)的最小值點．【關鍵3：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值】 故當x＞0時，g(x)≥g(1)＝0.【關鍵4：利用函數(shù)最值使放縮后的不等式得到證明】 因此，當a≥時，f(x)≥0. 構造雙函數(shù)法 (2014·全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)＝ae

5、xln x＋，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)證明：f(x)＞1. …… (2)證明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，從而f(x)＞1等價于xln x＞xe－x－.【關鍵1：將所證不等式等價轉化，為構造雙函數(shù)創(chuàng)造條件】 設函數(shù)g(x)＝xln x，則g′(x)＝1＋ln x，所以當x∈時，g′(x)＜0；當x∈時，g′(x)＞0.故g(x)在上單調遞減，在上單調遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g＝－.【關鍵2：構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求最小值】 設函數(shù)h(x)＝xe－x－，則h

6、′(x)＝e－x(1－x)．所以當x∈(0,1)時，h′(x)＞0；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＜0.故h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－.【關鍵3：構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求最大值】 因為g(x)min＝g＝h(1)＝h(x)max，所以當x＞0時，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.【關鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】 突破疑難點2　利用分類討論法確定參數(shù)取值范圍 一般地，若a＞f(x)對x∈D恒成立，則只需a＞f(x)max；若a＜f(x)對x∈D恒成立，則只需a＜f(x)min.若存在x0∈D

7、，使a＞f(x0)成立，則只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，則只需a＜f(x0)max.由此構造不等式，求解參數(shù)的取值范圍． 常見有兩種情況，一種先利用綜合法，結合導函數(shù)零點之間大小關系的決定條件，確定分類討論的標準，分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調性，得到最值，構造不等式求解；另外一種，直接通過導函數(shù)的式子，看出導函數(shù)值正負的分類標準，通常導函數(shù)為二次函數(shù)或者一次函數(shù)． 提示：求解參數(shù)范圍時，一般會涉及分離參數(shù)法，理科試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常需要設出導函數(shù)的零點，難度較大． 方法 高考示例 思維過程 結合導函數(shù)的零

8、點分類討論 (2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x－1－aln x． (1)若f(x)≥0，求a的值； (2)設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，…＜m，求m的最小值. (1)f(x)的定義域為(0，＋∞)(求函數(shù)定義域)． ①若a≤0，因為f＝－＋aln 2＜0，所以不滿足題意．【關鍵1：利用原函數(shù)解析式的特點確定分類標準】 ②若a＞0，由f′(x)＝1－＝知，當x∈(0，a)時，f′(x)＜0；當x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)上單調遞減，在(a，＋∞)上單調遞增．【關鍵2：根據(jù)導函數(shù)的零點分類討論】 故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最

9、小值點． 由于f(1)＝0，所以當且僅當a＝1時，f(x)≥0，故a＝1. …… 結合導函數(shù)的零點分類討論 (2015·全國卷Ⅱ)設函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增； (2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍. …… (2)由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1,0]上單調遞減，在[0,1]上單調遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是即①【關鍵1：利用充要條件把不等

10、式恒成立等價轉化】 設函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.【關鍵2：直接構造函數(shù)，并求導】 當t＜0時，g′(t)＜0；當t＞0時，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當t∈[－1,1]時，g(t)≤0.【關鍵3：根據(jù)導函數(shù)的零點分類討論】 故當m∈[－1,1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 當m＞1時，由g(t)的單調性，知g(m)＞0，即em－m＞e－1； 當m＜－1時，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.【關鍵4：通過分類討論得到參數(shù)的取值范圍】

11、綜上，m的取值范圍是[－1,1]. 由導函數(shù)的特點直接分類討論 (2014·全國卷)函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)． (1)討論f(x)的單調性； (2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍. …… (2)當a＞0，x＞0時，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0.【關鍵1：函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)的特點確定分類標準】 故當a＞0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)． 當a＜0時，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，當且僅當f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0.【關鍵2：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，結合需滿足的條件，求解關于參數(shù)的不等式，得到參數(shù)的取值

12、范圍】 綜上，a的取值范圍是∪(0，＋∞). 突破疑難點3　兩法破解函數(shù)零點個數(shù)問題 兩類零點問題的不同處理方法：利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判斷一個零點時，若函數(shù)為單調函數(shù)，則只需取值證明f(a)·f(b)＜0；②分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結合單調性，確定分類討論的標準，再利用零點存在性定理，在每個單調區(qū)間內取值證明f(a)·f(b)＜0. 方法 高考示例 思維過程 直接法 (2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0. (1)求a； (2)證明：f

13、(x)存在唯一的極大值點x0，且e－2＜f(x0)＜2－2. (2)證明：由(1)知f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x． …… 設h(x)＝2x－2－ln x， 則h′(x)＝2－.當x∈時，h′(x)＜0；當x∈時，h′(x)＞0.所以h(x)在上單調遞減，在上單調遞增．【關鍵1：構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性】 又h(e－2)＞0，h＜0，h(1)＝0，所以h(x)在上有唯一零點x0，在上有唯一零點1，【關鍵2：利用零點存在性定理判斷導函數(shù)零點的位置】 且當x∈(0，x0)時，h(x)＞0；當x∈(x0,1)時，h(x)＜0；當x∈(1，＋∞

14、)時，h(x)＞0. 因為f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值點．由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)， 故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈得f(x0)＜.【關鍵3：求二次函數(shù)值域得到f(x0)的范圍】 因為x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值點，由e－1∈(0,1)，f′(e－1)≠0得f(x0)＞f(e－1)＝e－2，所以e－2＜f(x0)＜2－2.【關鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】 分類討 論法 (2015·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln x． (1)當a為何值時，x軸為曲線y＝f(x)的切線； (2)用

15、min{m，n}表示m，n中的最小值，設函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，討論h(x)零點的個數(shù). …… (2)當x∈(1，＋∞)時，g(x)＝－ln x＜0，從而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上無零點．【關鍵1：對x的取值分類討論，適當放縮，判斷h(x)的符號，確定函數(shù)零點個數(shù)】 當x＝1時，若a≥－，則f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零點；若a＜－，則f(1)＜0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)＜0，故x＝1不是h(x)的零點．【關鍵2：

16、當x的取值固定時，對參數(shù)a的取值分類討論，確定函數(shù)值的符號得到零點個數(shù)】 當x∈(0,1)時，g(x)＝－ln x＞0，所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點個數(shù)． (ⅰ)若a≤－3或a≥0，則f′(x)＝3x2＋a在(0,1)上無零點，故f(x)在(0,1)上單調．而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以當a≤－3時，f(x)在(0,1)上有一個零點；當a≥0時， f(x)在(0,1)上沒有零點． (ⅱ)若－3＜a＜0，則f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，故在(0,1)上，當x＝時，f(x)取得最小值，最小值為f＝＋. ①若f＞0，即－＜a＜0，則f(x)在(0,1)上無零點； ②若

17、f＝0，即a＝－，則f(x)在(0,1)上有唯一零點； ③若f＜0，即－3＜a＜－，由于f(0)＝，f(1)＝a＋，所以當－＜a＜－時，f(x)在(0,1)上有兩個零點；當－3＜a≤－時，f(x)在(0,1)上有一個零點．【關鍵3：當x的取值固定在一個范圍內時，對參數(shù)a的取值分類討論，利用函數(shù)單調性、最值、零點存在性定理得到零點個數(shù)】 綜上，當a＞－或a＜－時，h(x)有一個零點；當a＝－或a＝－時，h(x)有兩個零點；當－＜a＜－時，h(x)有三個零點. 突破疑難點4　兩法破解由零點個數(shù)確定參數(shù)問題 已知函數(shù)有零點求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足

18、函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結合單調性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍． 方法 高考示例 思維過程 由導數(shù)特點分類討論 (2018·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，證明：當x≥0時，f(x)≥1； …… (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個

19、零點，求a. (2)設函數(shù)h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一個零點當且僅當h(x)在(0，＋∞)只有一個零點．【關鍵1：構造函數(shù)h(x)，將f(x)的零點情況轉化為h(x)的零點情況】 (ⅰ)當a≤0時，h(x)＞0，h(x)沒有零點． (ⅱ)當a＞0時，h′(x)＝ax(x－2)e－x.【關鍵2：對參數(shù)a分類討論，結合函數(shù)值判斷函數(shù)零點情況】當x∈(0,2)時，h′(x)＜0；當x∈(2，＋∞)時，h′(x)＞0.所以h(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增．故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)的最小值．【關鍵3：分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)單調

20、性，求函數(shù)最值】 ①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)沒有零點； ②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一個零點； ③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)有一個零點． 由(1)知，當x＞0時，ex＞x2，所以h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0. 故h(x)在(2,4a)有一個零點．因此h(x)在(0，＋∞)有兩個零點．【關鍵4：對函數(shù)最小值的符號分類討論，結合函數(shù)單調性判斷零點情況，求出參數(shù)值】 綜上，f(x)在(0，＋∞)只有一個零點時，a＝. 直接分類討論 (2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ae2x＋(a－2

21、)ex－x. (1)討論f(x)的單調性； (2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍. …… (2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個零點．【關鍵1：針對f(x)解析式的特點，可對參數(shù)a直接分類討論】 (ⅱ)若a＞0，由(1)知，當x＝－ln a時，f(x)取得最小值，最小值為f(－ln a)＝1－＋ln a． 【關鍵2：結合函數(shù)單調性求函數(shù)最小值，進而根據(jù)最小值直接判斷零點的情況】 ①當a＝1時，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一個零點； ②當a∈(1，＋∞)時，由于1－＋ln a＞0，即f(－ln a)＞0，故f(x)沒有零點； ③當a∈(0,1)時，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0. 又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－ln a)上有一個零點． 設正整數(shù)n0滿足n0＞ln，則f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0. 由于ln＞－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)上有一個零點．【關鍵3：對參數(shù)a分類討論，結合函數(shù)單調性與最小值判斷函數(shù)零點情況，求參數(shù)取值范圍】 綜上，a的取值范圍為(0,1). 9