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1、2022年高考數(shù)學(xué)第一輪精講精練6 第六章 不等式復(fù)習(xí)教案 新人教版 【知識圖解】 不等式 一元二次不等式 基本不等式 二元一次不等式組 應(yīng)用 解法 應(yīng)用 幾何意義 應(yīng)用 證明 【方法點撥】 不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理及其變形在不等式的證明和解決有關(guān)不等式的實際問題中發(fā)揮著重要的作用.解不等式是研究方程和函數(shù)的重要工具，不等式的

2、概念和性質(zhì)涉及到求最大（?。┲?，比較大小，求參數(shù)的取值范圍等，不等式的解法包括解不等式和求參數(shù)，不等式的綜合題主要是不等式與集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大，是高考命題的熱點，也是高考復(fù)習(xí)的難點. 1. 掌握用基本不等式求解最值問題，能用基本不等式證明簡單的不等式，利用基本不等式求最值時一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個條件。 2. 一元二次不等式是一類重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化。 3. 線性規(guī)劃問題有著豐富的實際背景，且作為最優(yōu)化方法之一又與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，對于這部分內(nèi)

3、容應(yīng)能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，能解決簡單的線性規(guī)劃問題。同時注意數(shù)形結(jié)合的思想在線性規(guī)劃中的運(yùn)用。 第1課　基本不等式 【考點導(dǎo)讀】 1. 能用基本不等式證明其他的不等式，能用基本不等式求解簡單的最值問題。 2. 能用基本不等式解決綜合形較強(qiáng)的問題。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要條件(填寫充分而不必要條件、必要而不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件) 2.的最小值為 3.已知，且，則的最大值為 4.已知，則的最小值是2 【范例導(dǎo)析】 例1.已知，求函數(shù)的最大值. 分析：由于，所以首先要調(diào)整符號.

4、 解：∵∴ ∴y=4x-2+=≤-2+3=1 當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時，上式成立，故當(dāng)x=1時，. 例2.（1）已知a，b為正常數(shù)，x、y為正實數(shù)，且，求x+y的最小值。 （2） 已知，且，求的最大值． 分析：問題（1）可以采用常數(shù)代換的方法也可以進(jìn)行變量代換從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再利用基本不等式求解；問題（2）既可以直接利用基本不等式將題目中的等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，也可以采用變量代換轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)再求解. 解:(1)法一：直接利用基本不等式：≥當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立 法二： 由得 ∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由>0得y-b>0 ∴ x+y≥ 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成

5、立 （2）法一：由，可得，． 注意到．可得，． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，代入中得，故的最大值為18． 法二：，， 代入中得： 解此不等式得．下面解法見解法一，下略． 點撥：求條件最值的問題，基本思想是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù)，代入法是最基本的方法，也可考慮通過變形直接利用基本不等式解決. 【反饋練習(xí)】 1.設(shè)a＞1,且,則的大小關(guān)系為m＞p＞n 2.已知下列四個結(jié)論： ①若則； ②若,則； ③若則； ④若則。 其中正確的是④ 3.已知不等式對任意正實數(shù)恒成立，則正實數(shù)的最小值為6 4.（1）已知：，且：，求證：，并且求等號成立的條件． （

6、2）設(shè)實數(shù)x，y滿足y+x2=0，0

7、 1. 會解一元二次不等式，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。 2. 能運(yùn)用一元二次不等式解決綜合性較強(qiáng)的問題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.解不等式： （1） （2） （3） （4） 解：（1）原不等式化為，解集為 （2）原不等式化為，解集為R （3）原不等式化為，解集為 （4）由 得 點撥：解一元二次不等式要注意二次項系數(shù)的符號、對應(yīng)方程的判斷、以及對應(yīng)方程兩根大小的比較. 2. 函數(shù)的定義域為 3..二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應(yīng)值如下表： x

8、 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 則不等式ax2+bx+c>0的解集是 4.若不等式的解集是，則b=__-2____ c=__-3____. 【范例導(dǎo)析】 例.解關(guān)于ｘ的不等式 分析：本題可以轉(zhuǎn)化為含參的一元二次不等式，要注意分類討論. 解:原不等式等價于∵∴等價于： （*） a>１時，（*）式等價于>0∵<１∴x<或x>２ a<１時，（*）式等價于<0由２－＝知： 當(dāng)0２，∴２

9、當(dāng)＝２，∴x∈φ 綜上所述可知：當(dāng)a<0時，原不等式的解集為（，2）；當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為φ；當(dāng)0１時，原不等式的解集為（－∞，）∪（2，＋∞）。 思維點撥:含參數(shù)不等式,應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)挠懻摌?biāo)準(zhǔn)對所含字母分類討論,要做到不重不漏. 【反饋練習(xí)】 1.若關(guān)于x的不等式的解集為R，則的取值范圍是 2.不等式解集為，則ab值分別為-12，-2 3.若函數(shù)f(x) = 的定義域為R，則的取值范圍為 4.已知M是關(guān)于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一個元素是0，求實數(shù)a的取值范圍，并用a表示出該不等式

10、的解集. 解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 由適合不等式故得，所以，或. 若，則，∴， 此時不等式的解集是； 若，由，∴， 此時不等式的解集是。 第3課　線性規(guī)劃 【考點導(dǎo)讀】 1. 會在直角坐標(biāo)系中表示二元一次不等式、二元一次不等式組對應(yīng)的區(qū)域，能由給定的平面區(qū)域確定所對應(yīng)的二元一次不等式、二元一次不等式組. 2. 能利用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題，并從中體會線性規(guī)劃所體現(xiàn)的用幾何圖形研究代數(shù)問題的思想. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.原點（0,0）和點P（1,1）在直線的兩側(cè)，則a的取值范圍是0

11、陰影部分)是( A ) A B C D 3.下面給出四個點中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是（　C　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4.由直線x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）用不等式表示為 5.在坐標(biāo)平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為 【范例導(dǎo)析】 例1.設(shè)x,y滿足約束條件,求目標(biāo)函數(shù)z=6x+10y的最大值，最小值。 分析：求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先畫出準(zhǔn)確的可行域，然后把線性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一族平行直線，這樣就把

12、線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一族平行直線與一平面區(qū)域有交點，直線在y軸上截距的最大值與最小值問題. 解：先作出可行域，如圖所示中的區(qū)域， 例1圖 且求得A(5,2),B(1,1),C(1,) 作出直線L0：6x+10y=0，再將直線L0平移 當(dāng)L0的平行線過B點時，可使z=6x+10y達(dá)到最小值 當(dāng)L0的平行線過A點時，可使z=6x+10y達(dá)到最大值 所以zmin=16;zmax=50 點撥：幾個結(jié)論：(1)、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得。 （2）、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數(shù)。

13、 例2.已知， （1） 求的最大和最小值。 （2） 求的取值范圍。 （3） 求的最大和最小值。 解析：注意目標(biāo)函數(shù)是代表的幾何意義. 解：作出可行域。 （1），作一組平行線l：，解方程組得最優(yōu)解B（3，1），。解得最優(yōu)解C（7，9）， （2）表示可行域內(nèi)的點（x,y）與（0，0）的連線的斜率。從圖中可得，，又，。 （3）表示可行域內(nèi)的點（x,y）到（0，0）的距離的平方。從圖中易得，，（OF為O到直線AB的距離），。，，，。 點撥：關(guān)鍵要明確每一目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，從而將目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為某幾何量的取值范圍. 例3．本公司計劃xx年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超

14、過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？ 分析：本例是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用題，其解題步驟是：（1）設(shè)出變量，列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；（2）畫出可行域（3）觀察平行直線系的運(yùn)動，求出目標(biāo)函數(shù)的最值. 解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得 目標(biāo)函數(shù)為． 0 100 200 300 100 200

15、300 400 500 y x l M 二元一次不等式組等價于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域． 如圖： 作直線， 例3 即． 平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 聯(lián)立解得． 點的坐標(biāo)為． （元） 答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元． 【反饋練習(xí)】 1.不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是 2.已知點P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動，則z＝x－y的取值范圍是[－1，2] 3.設(shè)、滿足約束條件則使得目標(biāo)函數(shù)的最大的點是（2

16、,3）． 4.已知實數(shù)滿足則的取值范圍是 5.畫出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標(biāo)函數(shù)z=3x－2y的最大值和最小值. 分析：本例含三個問題：①畫指定區(qū)域；②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式——不等式組；③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值 解：如圖，連結(jié)點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求△ABC區(qū)域 直線AB的方程為x+2y－1=0，BC及CA的直線方程分別為x－y+2=0，2x+y－5=0 第10題 在△ABC內(nèi)取一點P（1，1）， 分別代

17、入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5 得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0 因此所求區(qū)域的不等式組為 x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0 作平行于直線3x－2y=0的直線系3x－2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y=x－t過A（3，－1）時，縱截距－t最小此時t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；當(dāng)直線y=x－t經(jīng)過點B（－1，1）時，縱截距－t最大，此時t有最小值為tmin= 3×（－1）－2×1=－5 因此，函數(shù)z=3x－2y在約束條件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值為11，最小值

18、為－5 。 第4課　不等式綜合 【考點導(dǎo)讀】 能利用不等式性質(zhì)、定理、不等式解法及證明解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題和實際問題，如最值問題、恒成立問題、最優(yōu)化問題等. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.若函數(shù)，則與的大小關(guān)系是 2.函數(shù)在區(qū)間上恒為正，則的取值范圍是0＜a＜2 3.當(dāng)點在直線上移動時，的最小值是7 4.對于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，則x的取值范圍是x＞3或x＜－1 【范例導(dǎo)析】 例1、已知集合，函數(shù)的定義域為Q （1）若，求實數(shù)a的取值范圍。 （2）若方程在內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍。

19、 分析：問題（1）可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有有解；從而和問題（2）是同一類型的問題，既可以直接構(gòu)造函數(shù)角度分析，亦可以采用分離參數(shù). 解：（1）若，在內(nèi)有有解 令 當(dāng)時， 所以a>-4,所以a的取值范圍是 （2）方程在內(nèi)有解， 則在內(nèi)有解。 當(dāng)時， 所以時，在內(nèi)有解 點撥：本題用的是參數(shù)分離的思想. 例2.甲、乙兩地相距，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過，已知汽車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度的平方成正比，且比例系數(shù)為；固定部分為元． （1）把全程運(yùn)輸成本元表示為速度的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域； （2）為了使全程

20、運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 分析：需由實際問題構(gòu)造函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解 解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為，全程運(yùn)輸成本為 ．故所求函數(shù)為，定義域為． （2）由于都為正數(shù)， 故有，即． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式中等號成立． 若時，則時，全程運(yùn)輸成本最小； 當(dāng)，易證，函數(shù)單調(diào)遞減，即時，． 綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本最小， 在時，行駛速度應(yīng)為； 在時，行駛速度應(yīng)為． 點撥：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、不等式性質(zhì)（公式）的應(yīng)用．也是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實際問題的一道優(yōu)秀試題． 【反饋練習(xí)】 1.設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是 2.如果函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，a]，那么實數(shù)a的取值范圍是____ a<-1____ 3.若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 4已知二次函數(shù)f (x)=,設(shè)方程f (x)=x的兩個實根為x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函數(shù)f (x)的對稱軸為x=x0，求證：x0＞—1． 證明：設(shè)g(x)= f (x)—x=，且g(4)>0，即 ∴